Retta tangente a una curva y=f(x)

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RETTA TANGENTE a una curva y=f(x)
1. derivabile ( continua) nel punto P(xo,yo) :
y – yo = f’(xo) (x – xo)
se la derivata f’(xo)=0  m=0 tangente orizzontale (// asse x)
se f’(xo)=∞ (derivata infinita) m=∞ tangente verticale (// asse y)
PUNTI CRITICI = massimi o minimi
PUNTI STAZIONARI = PUNTI CRITICI E FLESSI:
 se nel punto la derivata cambia segno, da + a – , è un massimo
 se nel punto la derivata cambia segno, da – a + , è un minimo
 se è sempre positiva (+,+) allora è un flesso crescente
 se è sempre negativa (–,–)allora è un flesso decrescente
2. continua e non derivabile nel punto:
f+’ (xo) ≠ f–’ (xo)
 punto angoloso ordinario (in esso la f(x) ha due tangenti
distinte, di cui una può essere verticale o no)
 cuspide, con due tangenti verticali coincidenti
3. non continua ( non derivabile) nel punto,
I PUNTI CRITICI c possono esistere o no:
SONO DERIVABILI tutti i polinomi, le funzioni razionali fratte (!),
le funzioni irrazionali (!), le funzioni sen x e cos x, le funzioni
ln x log x ax ex .
DERIVATA di y = f[g(x)] è y’= f ’[g(x)]* g’(x)
Esempio: y = ln (e3x – 1 ) y’ = 1/ ( e3x – 1) * e3x – 1 * 3
DERIVATA di y = f(x)g(x) : per calcolare la derivata si fa il
logaritmo naturale di entrambi i membri.
Teorema di Rolle: Data una funzione y=f(x)
 continua nell’intervallo chiuso [a,b]
 e derivabile al suo interno;
 se i valori della funzione agli estremi dell’intervallo sono
uguali, cioè f(a)=f(b),
 allora ESISTE sicuramente un punto interno c nel quale la
derivata prima si annulla y’ = f’(c) = 0 cioè la tangente nel
punto è orizzontale (parallela all’asse x).
Teorema di Lagrange: Se la funzione
 è continua in [a,b]
 e derivabile al suo interno,
 ma f(b) può essere diversa da f(a)
 allora ESISTE sicuramente un punto interno c nel quale la
derivata prima
f’(c) = [f(b) – f(a)] / (b – a) .
(notate che, nel caso che f(b)=f(a) ritroviamo il teorema di Rolle)
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