RETTA TANGENTE a una curva y=f(x) 1. derivabile ( continua) nel punto P(xo,yo) : y – yo = f’(xo) (x – xo) se la derivata f’(xo)=0 m=0 tangente orizzontale (// asse x) se f’(xo)=∞ (derivata infinita) m=∞ tangente verticale (// asse y) PUNTI CRITICI = massimi o minimi PUNTI STAZIONARI = PUNTI CRITICI E FLESSI: se nel punto la derivata cambia segno, da + a – , è un massimo se nel punto la derivata cambia segno, da – a + , è un minimo se è sempre positiva (+,+) allora è un flesso crescente se è sempre negativa (–,–)allora è un flesso decrescente 2. continua e non derivabile nel punto: f+’ (xo) ≠ f–’ (xo) punto angoloso ordinario (in esso la f(x) ha due tangenti distinte, di cui una può essere verticale o no) cuspide, con due tangenti verticali coincidenti 3. non continua ( non derivabile) nel punto, I PUNTI CRITICI c possono esistere o no: SONO DERIVABILI tutti i polinomi, le funzioni razionali fratte (!), le funzioni irrazionali (!), le funzioni sen x e cos x, le funzioni ln x log x ax ex . DERIVATA di y = f[g(x)] è y’= f ’[g(x)]* g’(x) Esempio: y = ln (e3x – 1 ) y’ = 1/ ( e3x – 1) * e3x – 1 * 3 DERIVATA di y = f(x)g(x) : per calcolare la derivata si fa il logaritmo naturale di entrambi i membri. Teorema di Rolle: Data una funzione y=f(x) continua nell’intervallo chiuso [a,b] e derivabile al suo interno; se i valori della funzione agli estremi dell’intervallo sono uguali, cioè f(a)=f(b), allora ESISTE sicuramente un punto interno c nel quale la derivata prima si annulla y’ = f’(c) = 0 cioè la tangente nel punto è orizzontale (parallela all’asse x). Teorema di Lagrange: Se la funzione è continua in [a,b] e derivabile al suo interno, ma f(b) può essere diversa da f(a) allora ESISTE sicuramente un punto interno c nel quale la derivata prima f’(c) = [f(b) – f(a)] / (b – a) . (notate che, nel caso che f(b)=f(a) ritroviamo il teorema di Rolle)