ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE
1. Sistemi di equazioni
Dei seguenti sistemi di equazioni lineari, dopo averne dato una rappresentazione in forma
matriciale, si discuta la risolubilità (esistenza o meno di soluzioni) e la determinatezza
(unicità o molteplicità delle soluzioni), utilizzando i criteri basati sul determinante e il rango
delle matrici associate. Nel caso di esistenza delle soluzioni, le si determini utilizzando,
quando possibile, il metodo di Cramer, oppure il metodo di eliminazione di Gauss.
2x + y + 3z = 12
4y − z = −7
5x + 8z = 34
(1)
(2)
=1
=0
=3
=1
=0
=0
=1
=0
x − 3y + 5z = −3
3x + 2y + 4z = −9
−x − 3y + z = 3
2x + y + 3z = −6
(4)
(6)
x + 2y + 3z
x − 2y − z
2x + 8y + 10z
2x + 2z
x + 2y + 3z
x − 2y − z
2x + 8y + 10z
2x + 2z
(3)
(5)
6x − 2y − 2z − 8t = 7
−9x + 3y + 3z − 12t = 13
λx − y = 0
λy − z = 0
x − λz = 0
λ∈R
1
2
(7)
(9)
(11)
x + y + λ3 z = 0
λ∈R
2y − λ3 z = 0
3
2x + λ y − z = 0
x + y − 2z = 0
x−y =0
x + y + z = 0
kx + 2z = k
x − kz = 0
(8)
(10)
x+y+z =0
kx + z = 0
2y + z = 1
1 x + k 3 y + k 3 z = −1
2
3
2x + k y − z = 0
x + y − 2z = 0
x−y =0
λ∈R
k∈R
k∈R
k∈R
2. Determinante, rango, autovalori, trasformazioni lineari
Al variare dei parametri reali a e b, determinare rango e determinante della seguente
matrice:
(12)
a b 0
a a a
0 b a
Determinare gli autovalori delle seguenti matrici:
(13)
a 0 0
1 2 0
0 1 2
(14)
2 0 0
0 0 0
0 0 1
3
(15)
(16)
(17)
2 2 5
0 3 1
0 0 −1
2 1
1 2
−1 3
2 1
Considerando le seguenti matrici come trasformazioni del piano R2 in R2 , dire cosa
accade al quadrato di vertici (1, 1), (−1, 1), (−1, −1) e (1, −1) e come cambiano la sua
area e il suo perimetro:
(18)
2 0
0 1
(19)
−1 0
0 4
Come per l’esercizio precedente si applichi la seguente matrice al quadrato di vertici
(1, 0), (0, 1), (−1, 0) e (0, −1)
(20)
0 −1
1 0
