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Test di Autovalutazione

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Test di Autovalutazione
31/10/2016
1.
Stabilire se le seguenti matrici sono invertibili e, in caso affermativo, calcolarne l’inversa.




1 0 1
1 −1 0
 1 1 −2 
 2 1 1 
0 1 0
0 3 1
2.
Stabilire il rango delle seguenti matrici al variare del parametro reale h e stabilire, in particolare, per quali
valori di h risultano invertibili:




0 1 −1 0
1 1 −1
 0 0 0
1 


 0 0 1−h 
 h 0 −1 2 
−2 h −1
0 h h2 −1
3. Determinare il rango dei seguenti insiemi di vettori:
• S1 = {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (0, −3, −1)};
• S2 = {(0, 2, −2), (0, −1, −1), (0, 1, 1)};
• S3 = {(1, 0, 0, −5), (2, 0, 1, 5), (−2, 0, 1, 5)};
• S4 = {(1, 1, −1, 1), (2, 1, −2, 0), (0, 1, 0, 2)}.
4.
Risolvere i seguenti sistemi lineari a coefficienti reali:



 3x1 + 5x2 − 2x3 = 0
 x1 + 2x3 + x4 = 5
 x1 + x2 − x3 = 1
x1 − 2x2 + 5x3 − x4 = 1
3x2 + 2x3 + x4 = 4 ,
x1 + x3 = 4
,
.



x1 + 9x2 − 12x3 + 2x4 = −2
−x1 + 3x2 = 1
x1 + x2 + x3 = −2
5.
Studiare, al variare

 x + ky = 1
3x + y − z = k − 1

kx + y − z = 2k
3
del parametro reale k, i seguenti sistemi lineari

 kx − 2y + kz = k
ky − kz = 2

x + (k − 2)y = 2 + k
e nel caso in cui risultino indeterminati determinarne le soluzioni.
6.
Sia Σ un sistema lineare di 3 equazioni in 4 incognite. Stabilire, motivando le risposte, quali delle seguenti
affermazioni sono vere e quali false.
(i) Σ può essere incompatibile.
(ii) Σ può avere infinite soluzioni.
(iii)Σ ha sempre infinite soluzioni.
(iv) Σ ha 1 o infinite soluzioni.
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