Programma di Geometria I 2007/08
Prof. Giorgio Ottaviani, Laurea in Matematica, Università di Firenze
OBIETTIVI FORMATIVI:Conoscere il linguaggio e gli strumenti dell’algebra lineare e saperli utilizzare
per la soluzione di problemi lineari.
PREREQUISITI E PROPEDEUTICITA’: Come prerequisito occorre avere superato il test del precorso. I
corsi di Laboratorio Matematico forniscono un importante aiuto e complemento. L’algebra lineare è
necessaria per i corsi di Analisi Matematica III e di Analisi Numerica. Il corso è propedeutico per Geometria
II.
TIPOLOGIA DEL CORSO: Lezioni ed esercitazioni frontali.
1. Lo spazio Rn.
Operazioni di somma tra vettori, prodotto per uno scalare ed interpretazione geometrica. Proprietà delle
operazioni. Lunghezza e prodotto scalare. Definizione assiomatica di spazio vettoriale.
2. Le matrici ed i sistemi lineari.
Le matrici. Operazioni tra matrici e loro proprietà. Lo spazio vettoriale delle matrici. Trasposta di una
matrice. Matrici invertibili. Matrici ortogonali, simmetriche e antisimmetriche. Matrici di rotazione 2x2.
Sistemi lineari omogenei e non omogenei. Sistema omogeneo associato. Equazioni cartesiane e parametriche
di sottospazi.
3. L'algoritmo di Gauss.
Matrici a scalini. Operazioni elementari. Algoritmo di Gauss, riduzione di una matrice a scalini. Soluzione
di sistemi lineari con l’algoritmo di Gauss.
4. Spazi vettoriali e funzioni lineari. Dimensione e rango.
Sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare. Dimensione.
Completamento di vettori indipendenti ad una base. Estrazione di una base da vettori generatori. Somma e
somma diretta tra sottospazi. Formula di Grassmann. Funzioni lineari. Funzioni lineari associate a matrici.
Ogni funzione lineare da
Rn a Rn è associata ad una matrice. Composizione di funzioni lineari e prodotto tra matrici. Matrice
invertibile equivale a funzione lineare invertibile Nucleo ed immagine. Teorema della dimensione. Rango di
una matrice. Rango per righe e rango per colonne coincidono. Calcolo del rango con l’algoritmo di Gauss.
Una matrice è invertibile se e solo se ha rango massimo. Matrice associata ad una funzione lineare tra spazi
vettoriali con basi fissate. Matrice di cambiamento di base. Coordinate rispetto ad una base e cambiamento
di coordinate. Lo spazio duale e la base duale.
5. Il determinante.
Definizione di determinante. Caratterizzazione del determinante dalle proprietà D1 (linearità sulle righe), D2
(alternanza sulle righe) e D3 (normalizzazione). Comportamento del determinante attraverso l’algoritmo di
Gauss. Calcolo del determinante con l’algoritmo di Gauss. Determinante di matrici diagonali e triangolari.
Determinante della trasposta (dim. facoltativa). Sviluppo del determinante per una riga od una colonna. Una
matrice quadrata ha rango massimo se e solo se ha determinante diverso da zero. Formula di Cauchy-Binet.
Sistemi omogenei nx(n+1). Regola di Cramer . Formula dell’inversa con i determinanti.
6. Autovalori ed autovettori.
Autovalori e autovettori di una matrice quadrata. Autovalori e autovettori di una funzione lineare di uno
spazio vettoriale in sè. Polinomio caratteristico. Spettro reale e complesso. Diagonalizzabilità, equivale
all’esistenza di una base di autovettori. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Autovettori
corrispondenti ad autovalori distinti sono indipendenti. Criterio necessario e sufficiente di diagonalizzabilità
con le molteplicità. I numeri di Fibonacci.
TESTI DI RIFERIMENTO: Il testo di riferimento principale `e
• E. Sernesi, Geometria I, Boringhieri
E’ utile anche
• M. Abate, Geometria, McGraw-Hill
che e più congeniale per lo studio individuale. Alcuni argomenti sono esposti all’indirizzo
http://www.math.unifi.it/users/ottavian
MODALITA’ DI ESAME: Scritto e colloquio orale. Sono previste due prove
intermedie di verifica (compitini). Su http://www.math.unifi.it/users/ottavian c’è il regolamento completo per sostenere l’esame.
