Programma di Geometria I
2008/09 (corso annuale)
Prof. Giorgio Ottaviani, Laurea in Matematica, Università di Firenze
OBIETTIVI FORMATIVI:Conoscere il linguaggio e gli strumenti dell’algebra lineare e saperli utilizzare
per la soluzione di problemi lineari. Conoscere la geometria analitica del piano e dello spazio e sapere
risolvere problemi in questo ambito
PREREQUISITI E PROPEDEUTICITA’: L’algebra lineare è necessaria per i corsi di Analisi Matematica
II, di Analisi Numerica e Sistemi Dinamici. Il corso è propedeutico per Geometria II.
TIPOLOGIA DEL CORSO: Lezioni ed esercitazioni frontali.
1. Lo spazio Rn.
Operazioni di somma tra vettori, prodotto per uno scalare ed interpretazione geometrica. Proprietà delle
operazioni. Lunghezza e prodotto scalare. Definizione assiomatica di spazio vettoriale.
2. Le matrici ed i sistemi lineari.
Le matrici. Operazioni tra matrici e loro proprietà. Lo spazio vettoriale delle matrici. Trasposta di una
matrice. Matrici invertibili. Matrici ortogonali, simmetriche e antisimmetriche. Matrici di rotazione 2x2.
Sistemi lineari omogenei e non omogenei. Sistema omogeneo associato. Equazioni cartesiane e
parametriche di sottospazi.
3. L'algoritmo di Gauss.
Matrici a scalini. Operazioni elementari. Algoritmo di Gauss, riduzione di una matrice a scalini.
Soluzione di sistemi lineari con l’algoritmo di Gauss.
4. Spazi vettoriali e funzioni lineari. Dimensione e rango.
Sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare. Dimensione.
Completamento di vettori indipendenti ad una base. Estrazione di una base da vettori generatori. Somma e
somma diretta tra sottospazi. Formula di Grassmann. Funzioni lineari. Funzioni lineari associate a
matrici. Ogni funzione lineare da
Rn a Rn è associata ad una matrice. Composizione di funzioni lineari e prodotto tra matrici. Matrice
invertibile equivale a funzione lineare invertibile Nucleo ed immagine. Teorema della dimensione. Rango
di una matrice. Rango per righe e rango per colonne coincidono. Calcolo del rango con l’algoritmo di
Gauss. Una matrice è invertibile se e solo se ha rango massimo. Matrice associata ad una funzione lineare
tra spazi vettoriali con basi fissate. Matrice di cambiamento di base. Coordinate rispetto ad una base e
cambiamento di coordinate. Lo spazio duale e la base duale.
5. Il determinante.
Definizione di determinante. Caratterizzazione del determinante dalle proprietà D1 (linearità sulle righe),
D2 (alternanza sulle righe) e D3 (normalizzazione). Comportamento del determinante attraverso
l’algoritmo di Gauss. Calcolo del determinante con l’algoritmo di Gauss. Determinante di matrici
diagonali e triangolari. Determinante della trasposta . Sviluppo del determinante per una riga od una
colonna. Una matrice quadrata ha rango massimo se e solo se ha determinante diverso da zero. Formula di
Cauchy-Binet. Sistemi omogenei nx(n+1). Regola di Cramer . Formula dell’inversa con i determinanti.
6. Autovalori ed autovettori.
Autovalori e autovettori di una matrice quadrata. Autovalori e autovettori di una funzione lineare di uno
spazio vettoriale in sè. Polinomio caratteristico. Spettro reale e complesso. Diagonalizzabilità, equivale
all’esistenza di una base di autovettori. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Autovettori
corrispondenti ad autovalori distinti sono indipendenti. Criterio necessario e sufficiente di
diagonalizzabilità con le molteplicità. I numeri di Fibonacci.
7.Spazi vettoriali euclidei
Matrici ortogonali e basi ortonormali. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare.
Algoritmo di Gram-Schmidt. Forme bilineari simmetriche definite positive, spazi vettoriali euclidei.
Angolo tra vettori. Orientazione. Il prodotto vettoriale. Operatori simmetrici. Teorema spettrale.
8. Forme quadratiche e teorema di Sylvester
Forme bilineari. Classificazione delle forme quadratiche e teorema di Sylvester. Il metodo babilonese (o
di Lagrange). Segnatura.
9.Lo spazio affine euclideo.
Lo spazio euclideo A^n come spazio metrico. Combinazioni affini. Sottospazi affini. Equazion
parametriche e cartesiane. Punti indipendenti. Convessi. Parallelismo e perpendicolarita'. Proiezioni
ortogonali su iperpiani e su sottospazi affini. Proprieta' di minima distanza della proiezione ortogonale.
Geometria metrica del piano e dello spazio. Fasci di piani. Determinante e area.
10.Gruppi di trasformazioni.
Affinita'. Isometrie e loro rappresentazione matriciale. Determinante di una trasformazione come rapporto
tra aree (o volumi). Interpretazione geometrica della disuguaglianza triangolare. Simmetrie rispetto a
iperpiani e sottospazi affini. ll teorema di Cartan-Dieudonne'. Classificazione delle isometrie del piano.
Similitudine e omotetie. Classificazione delle similitudini.
11. Le coniche
Coniche e matrici simmetricheassociate. Coniche non singolari. Comportamento della matrice per
affinita' e isometrie. Coniche a centro. La retta tangente. Fuochi e
proprieta' focali. Le sfere di Dandelin. L'eccentricita'. Classificazione metrica. Classificazione affine
delle coniche mediante invarianti. Invarianti metrici. Classificazione delle coniche a meno di similitudini
TESTI DI RIFERIMENTO: Il testo di riferimento principale `e
• E. Sernesi, Geometria I, Boringhieri
E’ utile anche
• M. Abate, Geometria, McGraw-Hill
che e più congeniale per lo studio individuale. Alcuni argomenti sono esposti all’indirizzo
http://www.math.unifi.it/users/ottavian
MODALITA’ DI ESAME: Scritto e colloquio orale. Su http://www.math.unifi.it/users/ottavian c’è il
regolamento completo per sostenere l’esame.
