ESERCITAZIONE 15 : FUNZIONI
GONIOMETRICHE
Giacomo Tommei
e-mail: [email protected]
web: www.dm.unipi.it/∼tommei
Ricevimento: su appuntamento
Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 114
12 Marzo 2013
Circonferenza goniometrica
La circonferenza goniometrica è una circonferenza di raggio unitario
centrata nell’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali.
y
xP= cos α
yP= sin α
P(xP, yP)
OP=1
B
P’’
C
B
α
P
A
α
O
yT= tan α
xQ= cot α
Q
y
P’
T
α
x
D
C
Ο
D
Giacomo Tommei
A
x
Funzioni goniometriche - Valori
Principali valori delle funzioni goniometriche per angoli compresi tra 0 e
π/2; ND sta per “non definita”.
0
π/6
π/4
π/3
π/2
cos α
√1
√3/2
2/2
1/2
0
sin α
0
1/2
√
√2/2
3/2
1
Giacomo Tommei
tan α
√0
3/3
√1
3
ND
cot α
ND
√
3
1
√
3/3
0
Funzioni goniometriche - Grafici
| cos(x)| ≤ 1, cos(−x) = cos x ∀x ∈ R
| sin(x)| ≤ 1, sin(−x) = − sin x ∀x ∈ R
Giacomo Tommei
Funzioni goniometriche - Grafici
Il grafico di sin x è spesso chiamato sinusoide e qualunque altra curva
ottenuta da una sinusoide tramite traslazioni, o più in generale tramite
affinità, si chiama curva sinusoidale, grafico di una funzione
sinusoidale.
Una funzione sinusoidale f : R → R è caratterizzata da quattro grandezze,
espresse da numeri reali:
il periodo T (per seno e coseno vale T = 2 π);
l’ampiezza A, data da A = (M − m)/2, dove M è il valore massimo e
m il valore minimo assunto da f (per seno e coseno vale A = 1);
il valor medio y, dato da y = (M + m)/2, che rappresenta il punto
centrale dell’intervallo di variazione di f (per seno e coseno si ha
y = 0);
la fase x0 , che è l’ascissa positiva del primo punto di massimo (il
coseno ha fase x0 = 0, mentre il seno ha fase x0 = π/2).
Una generica funzione sinusoidale f (x) con periodo T , ampiezza A, valor
medio y e fase x0 si può scrivere
2π
f (x) = A cos
(x − x0 ) + y
T
Giacomo Tommei
Esercizio 1
Determina una funzione sinusoidale che descriva la quantità di una certa
sostanza nella corteccia di un albero, che varia nel tempo periodicamente
con periodo 48 ore, con valore minimo 60 mg alle ore 8 e valore massimo
120 mg alle ore 16.
Giacomo Tommei
Esercizio 1
Sappiamo che il periodo T è uguale a 48 ore, l’ampiezza vale
A=
il valor medio è dato da
M −m
2
=
120 − 60
2
= 30
120 + 60
=
= 90
2
2
mentre la fase è x0 = 16. Quindi, tenendo conto dell’espressione (??), la funzione cercata è
2π
f (x) = 30 cos
(x − 16) + 90
48
y=
M +m
Giacomo Tommei
Esercizio 2
Calcola il periodo e disegna il grafico delle seguenti funzioni a partire dai
grafici di y = sin x e y = cos x:
a) y = sin 4 x
b) y = cos
x
2
c) y = 4 sin(2 x + 1)
Giacomo Tommei
d) y = 2 + sin
x
2
Funzioni goniometriche - Grafici
Sinistra: grafico della funzione y = tan x.
Destra: grafico della funzione y = cot x.
Giacomo Tommei
Funzioni goniometriche inverse - Grafici
Sinistra: grafico della funzione y = arccos x.
Destra: grafico della funzione y = arcsin x.
Giacomo Tommei
Funzioni goniometriche inverse - Grafici
Grafico della funzione y = arctan x. Tale funzione presenta due asintoti
orizzontali, ovvero due rette orizzontali, y = π/2 e y = −π/2, alle quali la
funzione si avvicina indefinitamente quando la variabile indipendente x
cresce verso +∞ o descresce verso −∞ rispettivamente.
Giacomo Tommei
Formule varie - Addizione e sottrazione
cos(α + β)
=
cos α cos β − sin α sin β
cos(α − β)
=
cos α cos β + sin α sin β
sin(α + β)
=
sin α cos β + cos α sin β
sin(α − β)
=
sin α cos β − cos α sin β
tan(α + β)
=
tan(α − β)
=
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tan α + tan β
1 − tan α tan β
tan α − tan β
1 + tan α tan β
Formule varie - Duplicazione e bisezione
cos 2 α
=
cos2 α − sin2 α
sin 2 α
=
tan 2 α
=
2 sin α cos α
2 tan α
1 − tan2 α
cos
sin
tan
α
2
α
2
α
2
=
±
=
±
=
Giacomo Tommei
±
r
1 + cos α
2
r
1 − cos α
2
r
1 − cos α
1 + cos α
Formule varie - Parametriche
Le formule parametriche permettono di esprimere il seno, il coseno e la
tangente di un angolo α (α 6= π + 2 k π) come funzione razionale della
variabile t = tan(α/2).
cos α
=
sin α
=
tan α
=
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1 − t2
1 + t2
2t
1 + t2
2t
1 − t2
Formule varie - Prostaferesi e Werner
Le formule di prostaferesi permettono di trasformare somme di funzioni
goniometriche in prodotti.
α−β
α+β
cos
cos α + cos β = 2 cos
2
2
α−β
α+β
sin
cos α − cos β = −2 sin
2
2
α+β
α−β
sin α + sin β = 2 sin
cos
2
2
α−β
α+β
sin
sin α − sin β = 2 cos
2
2
Le formule di Werner si utilizzano per trasformare prodotti di funzioni
goniometriche in somme.
1
[cos(α + β) + cos(α − β)]
2
1
sin α sin β = [cos(α − β) − cos(α + β)]
2
1
sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α − β)]
2
cos α cos β =
Giacomo Tommei
Esercizio 3
Risolvi le disequazioni
1
2
√
2
d) cos x ≤
2
a) sin x ≥
g) tan x ≥ 1
√
b) sin x ≤
3
2
1
e) cos x ≤ −
2
√
3
h) tan x ≤ −
3
Giacomo Tommei
√
2
2
√
3
f ) cos 2 x ≥
2
√
x
i) tan ≥ − 3
2
c) sin 3 x ≥ −
Esercizio 4
Risolvi l’equazione
2 cos2 x − 5 cos x + 2 = 0
L’equazione contiene solo la funzione goniometrica cos x, la quale compare al grado 2, al grado
1 e al grado 0. Operando la sostituzione t = cos x si ottiene un’equazione di secondo grado in t
2
2t − 5t + 2 = 0
che sappiamo facilmente risolvere
t=
√
25 − 16
5±
4
=
5±3
4
ottenendo le due soluzioni t1 = 1/2 e t2 = 2. Per trovare quindi le soluzioni dell’equazione di
partenza dobbiamo adesso risolvere
cos x =
1
2
e
cos x = 2
La seconda non ammette soluzioni in quanto −1 ≤ cos x ≤ 1, mentre la prima ha come soluzioni
x=
π
3
+ 2kπ
∨
Giacomo Tommei
x=
5
3
π + 2kπ
k∈Z
Esercizio 4
Risolvi l’equazione
2 cos2 x − 5 cos x + 2 = 0
L’equazione contiene solo la funzione goniometrica cos x, la quale compare al grado 2, al grado
1 e al grado 0. Operando la sostituzione t = cos x si ottiene un’equazione di secondo grado in t
2
2t − 5t + 2 = 0
che sappiamo facilmente risolvere
t=
√
25 − 16
5±
4
=
5±3
4
ottenendo le due soluzioni t1 = 1/2 e t2 = 2. Per trovare quindi le soluzioni dell’equazione di
partenza dobbiamo adesso risolvere
cos x =
1
2
e
cos x = 2
La seconda non ammette soluzioni in quanto −1 ≤ cos x ≤ 1, mentre la prima ha come soluzioni
x=
π
3
+ 2kπ
∨
Giacomo Tommei
x=
5
3
π + 2kπ
k∈Z
Esercizio 5
Risolvi la seguente equazione
tan x =
Giacomo Tommei
cos x
1 + sin x
Esercizio 5
L’equazione da risolvere contiene tre funzioni goniometriche distinte che è possibile ridurre a
due esprimendo la tangente come rapporto tra seno e coseno:
sin x
cos x
=
cos x
1 + sin x
Poiché abbiamo delle frazioni dobbiamo imporre che i denominatori siano diversi da zero:
cos x 6= 0
1 + sin x 6= 0
⇔
⇔
x 6=
sin x 6= −1
π
2
+kπ
⇔
x 6=
3
2
π + 2kπ
Quindi l’insieme di esistenza della nostra equazione è
{x ∈ R : x 6=
π
2
+ k π}
Riducendo allo stesso denominatore le due frazioni e portando tutto a primo membro si ottiene
− cos2 x + sin x + sin2 x
(1 + sin x) cos x
=0
Quest’ultima equazione è equivalente a
2
2
− cos x + sin x + sin x = 0
in quanto abbiamo già escluso i casi in cui il denominatore si annulla. Utilizzando la relazione
fondamentale (− cos2 x = sin2 x − 1) si ottiene
2
2
sin x − 1 + sin x + sin x = 0
Giacomo Tommei
⇔
2
2 sin x + sin x − 1 = 0
Esercizio 5
Ci siamo cosı̀ ricondotti ad un’equazione di un tipo già visto: operando la sostituzione t = sin x
si ha l’equazione di secondo grado in t
2
2t + t − 1 = 0
che ammette le soluzioni t = −1 e t = 1/2. Per trovare quindi le soluzioni dell’equazione in x
dobbiamo adesso risolvere
1
sin x = −1 e sin x =
2
La prima ha come soluzioni
x=
3
2
π + 2kπ
ma tali soluzioni non appartengono all’insieme di definizione dell’equazione e pertanto non
sono accettabili; infatti se sin x = −1 si annulla il denominatore del secondo membro
dell’equazione di partenza. La seconda equazione ha come soluzioni
x=
π
6
+ 2kπ
∨
x=
5
6
π + 2kπ
k∈Z
che appartengono all’insieme di definizione e sono quindi accettabili.
Giacomo Tommei
Esercizio 6
Risolvi la seguente equazione lineare in sin x e cos x
√
3 sin x + cos x = 1
In questa equazione sono presenti, al grado 1, due funzioni goniometriche dello stesso angolo x
(seno e coseno). Ci sono almeno due possibili metodi per ridursi ad un’equazione elementare:
utilizzando le formule di addizione e sottrazione;
utilizzando la relazione fondamentale.
Giacomo Tommei
Esercizio 6
Risolvi la seguente equazione lineare in sin x e cos x
√
3 sin x + cos x = 1
In questa equazione sono presenti, al grado 1, due funzioni goniometriche dello stesso angolo x
(seno e coseno). Ci sono almeno due possibili metodi per ridursi ad un’equazione elementare:
utilizzando le formule di addizione e sottrazione;
utilizzando la relazione fondamentale.
Giacomo Tommei
Esercizio 7
Risolvi le seguenti equazioni in R:
a) √sin x = 1/(4 cos x)
c) 3 sin x − cos x = 1
e) 2 sin(2 x) − 3 tan x = 0
g) sin x − cos x − cos(2 x) = 0
2
2
i) cos
√ x + 4 sin x cos x + sin x√= 1
l) 2 3 sin2 x − 2 sin x cos x − 3 = 0
Giacomo Tommei
b)
d)
f)
h)
4 sin2 x − 1 = 0
sin x + cos x = 1
2 sin x/x = 0
tan3 x − 1 = 0
Esercizio 8
Risolvi le seguenti disequazioni
a) 2 cos2 x ≤ 1
c) cos
p 2 x + 5 sin x − 3 ≤ 0
e)
1 − sin2 x ≤ cos x
g) cos x/(1 + 2 sin x) > 0
i) cos 2 x − 2 cos x + 1 > 0
in R:
b) 4 sin2 x > 3
d) sin 2 x < cos x
f) 2 cos 2 x − 1 ≥ 0
h) −3 cos x/x ≤ 0
l) (1 − 2 | sin x|)/(2 sin x + 1) > 0
Giacomo Tommei
