ESERCITAZIONE 11 : EQUAZIONI E DISEQUAZIONI

ESERCITAZIONE 11 : EQUAZIONI E
DISEQUAZIONI
Giacomo Tommei
e-mail: [email protected]
web: www.dm.unipi.it/∼tommei
Ricevimento: Martedi 16 - 18
Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126
18 Dicembre 2012
Esercizio 1
Trova l’insieme di esistenza della seguente equazione irrazionale:
p
√
√
√
3
4 − 2 x − 4 x + 1 + x5 − 2 x + 1 = 2 x − 1 + 2
Nella nostra equazione sono presenti quattro radici, tre con indice pari e una con indice
dispari; quest’ultima, ai fini dell’esistenza, è trascurabile, quindi concentriamoci sulle radici
con indice pari. Le tre condizioni che si ottengono devono essere messe a sistema, ovvero
devono valere tutte e tre affinché l’equazione irrazionale abbia significato in R:

 4 − 2x ≥ 0
x+1≥0

2x − 1 ≥ 0
⇔
⇔
⇔
x≤2
x ≥ −1
x ≥ 1/2
La condizione risultante è
x∈
Giacomo Tommei
1
2
,2
Esercizio 1
Trova l’insieme di esistenza della seguente equazione irrazionale:
p
√
√
√
3
4 − 2 x − 4 x + 1 + x5 − 2 x + 1 = 2 x − 1 + 2
Nella nostra equazione sono presenti quattro radici, tre con indice pari e una con indice
dispari; quest’ultima, ai fini dell’esistenza, è trascurabile, quindi concentriamoci sulle radici
con indice pari. Le tre condizioni che si ottengono devono essere messe a sistema, ovvero
devono valere tutte e tre affinché l’equazione irrazionale abbia significato in R:

 4 − 2x ≥ 0
x+1≥0
 2x − 1 ≥ 0
⇔
⇔
⇔
x≤2
x ≥ −1
x ≥ 1/2
La condizione risultante è
x∈
Giacomo Tommei
1
2
,2
Esercizio 2
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali:
√
a) 3 x3 − 2 x2 − 4 = x − 2
√
b) x2 + 1 = 3 x − 1
√
c) x = x − 2
√
√
d) 3 x − 1 = 3 2 x − 1
√
√
e) x − 1 = 2 x − 1
√
√
f) x + 1 = 3 x − 1
√
√
g) x − 1 + x = x2 − 1
√
√
√
h) 3 x − 1 − 2 x − 1 − x − 1 = 0
Giacomo Tommei
Esercizio 2 - Sol. a), c)
p
p
3 3
a) L’equazione
x − 2 x2 − 4 = x − 2 è del tipo n f (x) = g(x) con n dispari, quindi non
dobbiamo porre nessuna condizione sulle espressioni che compaiono nell’equazione. Ti
ricordo che una radice di indice dispari è sempre definita qualunque sia il radicando e
può assumere qualsiasi valore reale. Risolviamo elevando entrambi i membri al cubo e
trovando le soluzioni dell’equazione polinomiale risultante:
(
p
3
3
x3 − 2 x2 − 4)
⇔
3
= (x − 2)
2
4 x − 12 x + 4 = 0
3
⇔
⇔
2
3
2
x − 2 x − 4 = x − 6 x + 12 x − 8
2
x − 3x + 1 = 0
⇔
x=
3±
√
5
2
c) La prima cosa da fare è determinare quando il radicando assume valori non negativi, ed
in questo caso si vede subito che ciò avviene per x ≥ 0. Per lo stesso discorso fatto in
precedenza, il membro di destra non può assumere valori negativi
x−2≥0
⇔
x≥2
quindi le eventuali soluzioni andranno cercate nell’intervallo [2, +∞). Supponiamo di
lavorare in questo intervallo ed eleviamo entrambi i membri al quadrato:
√ 2
2
( x) = (x − 2)
⇔
2
x = x − 4x + 4
⇔
2
x − 5x + 4 = 0
Ci siamo cosı̀ ricondotti a cercare le soluzioni dell’equazione di secondo grado
x2 − 5 x + 4 = 0 nell’intervallo [2, +∞); è possibile applicare la formula risolutiva delle
equazioni di secondo grado, ma in questo caso si possono ricercare le soluzioni cercando
due numeri x1 e x2 tali che x1 x2 = 4 e x1 + x2 = 5: si vede subito che i due numeri
sono x1 = 1 e x2 = 4. Come prima bisogna prestare attenzione: delle due soluzioni è
accettabile solo x2 = 4, perché x1 = 1 non appartiene all’intervallo [2, +∞).
Giacomo Tommei
Esercizio 2 - Sol. g)
p
√
g) L’equazione x − 1 + x = x2 − 1 contiene due radici di indice pari quindi dobbiamo
studiare quando è definita: imponendo le due condizioni
x−1≥0
⇔
x≥1
x2 − 1 ≥ 0
⇔
x ≤ −1
∨
x≥1
si arriva alla condizione risultante di esistenza x ≥ 1. Eleviamo adesso entrambi i
membri al quadrato:
p
√
2
2
( x − 1 + x) = ( x2 − 1)
⇔
√
x − 1 + 2x
√
x−1+x
2
2
=x −1
⇔
√
x (1 + 2 x − 1) = 0
⇔
x=0
∨
1+2 x−1=0
√
La soluzione x = 0 non è accettabile, mentre l’equazione 1 + 2 x − 1 = 0 non ammette
soluzioni in quanto a primo membro si ha la somma di una quantità positiva con una
non negativa ed il risultato non può essere 0. In conclusione l’equazione non ammette
soluzioni.
Giacomo Tommei
Esercizio 3
Risolvi le seguenti equazioni irrazionali fratte:
a)
b)
√
2x
2− x+1
√
= √
x−1
x2 − 1
√
1
√
+ 2 x − x2 = 5 − x
x−7
Giacomo Tommei
Esercizio 3 - Soluzioni
a) Iniziamo col trovare dove l’equazione ha significato imponendo le condizioni di esistenza:

⇔
x ≥ −1
 x+1≥0
x−1>0
⇔
x>1

2
x −1>0
⇔
x < −1
∨
x>1
L’equazione ha
per x > 1. Portiamo a denominatore comune i due membri
p quindi senso
p
√
√
(ricorda che
x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) = x + 1 x − 1)
√
2− x+1
2x
= p
√
x−1
x2 − 1
√
√
2x
x + 1) x + 1
= p
p
2
x −1
x2 − 1
(2 −
⇔
ed uguagliamo i numeratori (sempre nell’ipotesi x > 1)
(2 −
√
x + 1)
√
x + 1 = 2x
⇔
√
2
2
(2 x + 1) = (3 x + 1)
2
⇔
√
x + 1 = 3x + 1
⇔
2
9x + 2x − 3 = 0
Completa i calcoli ricordando che l’equazione di partenza è definita per x > 1.
b) Anche per questa equazione, prima di mettersi a fare i calcoli, determiniamo dove ha
significato imponendo le condizioni di esistenza:
x−7>0
5−x≥0
⇔
⇔
x>7
x≤5
È immediato verificare che le condizioni di esistenza sono tra loro incompatibili e quindi
l’equazione non ammette soluzioni.
Giacomo Tommei
Esercizio 4
Risolvi le seguenti disequazioni irrazionali:
√
a) 10 − x2 > 1
√
b) 3 27 x3 − 26 < 3 x − 2
√
c) x + 2 < x
√
d) x2 − 2 x > x + 5
√
√
e) 2 x2 − x > x3 − x2
Giacomo Tommei
Esercizio 4 - Sol. a), b)
a) La disequazione
p
10 − x2 > 1 è equivalente al seguente sistema
(
2
10
⇔
p− x ≥ 0
( 10 − x2 )2 > 12
√
√
− 10 ≤ x ≤ 10
2
⇔
9−x >0
che ha come soluzioni −3 < x < 3.
p
3
27 x3 − 26 < 3 x − 2 è presente una radice cubica, quindi non
b) Nella disequazione
abbiamo nessuna condizione di esistenza da porre; è sufficiente elevare al cubo entrambi
i membri
(
p
3
3
27 x3 − 26)
⇔
3
< (3 x − 2)
2
54 x − 36 x − 18 < 0
3
3
2
⇔
27 x − 26 < 27 x − 54 x + 36 x − 8
⇔
3x − 2x − 1 < 0
2
⇔
−
1
3
<x<1
In generale, quando ti trovi di fronte a disequazioni della forma
q
2k+1
f (x) < g(x)
oppure
q
2k+1
f (x) > g(x)
è sufficiente elevare entrambi i membri alla potenza 2 k + 1 per eliminare le radici.
Giacomo Tommei