ESERCITAZIONE 16 : STUDIO DI FUNZIONI

ESERCITAZIONE 16 : STUDIO DI
FUNZIONI
Giacomo Tommei
e-mail: [email protected]
web: www.dm.unipi.it/∼tommei
Ricevimento: su appuntamento
Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 114
19 Marzo 2013
Esercizio 1
A partire dalla conoscenza del grafico di g(x) = ln x, disegna il grafico di
f (x) = 1 −
x
ln x
Determina poi per f (x):
a) campo di esistenza;
b) eventuali intersezioni con gli assi coordinati;
c) per quali x ∈ R si ha f (x) < 0;
d) limiti agli estremi del campo di esistenza;
e) insieme immagine.
Giacomo Tommei
Esercizio 1
f (x) =
Giacomo Tommei
x
ln x
Esercizio 1
f (x) = −
Giacomo Tommei
x
ln x
Esercizio 1
f (x) = 1 −
Giacomo Tommei
x
ln x
Esercizio 2
A partire dalla conoscenza del grafico di g(x) = 2x , disegna il grafico di
f (x) =
1
4 − 2x
Determina poi per f (x):
a) campo di esistenza;
b) eventuali intersezioni con gli assi coordinati;
c) per quali x ∈ R si ha f (x) ≥ 0;
d) limiti agli estremi del campo di esistenza;
e) insieme immagine.
Giacomo Tommei
Esercizio 2
f (x) = 4 − 2x
Giacomo Tommei
Esercizio 2
f (x) =
Giacomo Tommei
1
4 − 2x
Esercizio 3
Trova l’espressione analitica di una funzione reale di variabile reale f (x)
definita e continua su tutto R e tale che:
lim f (x) = 4
x→−∞
Giacomo Tommei
f (0) = 2
f (2) = 0
Esercizio 3
Una possibile funzione è la seguente:
f (x) = 4 − 2x/2+1
Giacomo Tommei
Esercizio 4
Calcola la derivata prima delle seguenti funzioni:
r
ex (x − 4)
1
a) f (x) =
b) f (x) = (x − 2) ln
x+1
x
c) f (x) =
cos x sin2 x
ln(x3 − 3 x)
Giacomo Tommei
2−x
d) f (x) = √
1 + x2 + 2 x
Esercizio 5
Studia la seguente funzione reale di variabile reale:
f (x) =
x + ln |1 − x|
x−1
Giacomo Tommei
Esercizio 5
CAMPO DI ESISTENZA
La funzione f (x) non è definita su tutto l’insieme dei numeri reali. Per prima cosa il
denominatore deve essere diverso da 0 quindi x 6= 1. Inoltre l’argomento del logaritmo
naturale deve essere maggiore di 0: poiché è presente un valore assoluto l’argomento è
sicuramente non negativo, quindi dobbiamo solo escludere quando è uguale a 0, che si
verifica per x = 1. Di conseguenza il campo di esistenza della funzione è
{x ∈ R : x 6= 1}
SEGNO
Se x < 1 allora 1 − x > 0, possiamo eliminare il valore assoluto e quindi la funzione
diventa
x + ln(1 − x)
f (x) =
x−1
Per studiare il segno di questa funzione devi studiare il segno del numeratore e del
denominatore (sempre nel caso x > 1) e fare poi il prodotto dei segni. Per studiare il
segno del denominatore può essere utile un approccio grafico:
x + ln(1 − x) > 0
⇔
ln(1 − x) > −x
Si disegnano i grafici di y = ln(1 − x) e y = −x e si guarda dove il primo “sta sopra” al
secondo.
Se invece x > 1 allora 1 − x, 0, possiamo eliminare il valore assoluto cambiando di segno
l’argomento e quindi la funzione diventa
f (x) =
Giacomo Tommei
x + ln(x − 1)
x−1
Esercizio 5
LIMITI
lim
x→1−
= +∞
lim
x→−∞
=1
lim
= −∞
lim
=1
x→1+
x→+∞
La funzione presenta quindi due asintoti, uno verticale x = 1 ed uno orizzontale y = 1.
DERIVATA PRIMA E PUNTI STAZIONARI
Se x < 1
− ln(1 − x)
0
f (x) =
(x − 1)2
e
0
f (x) = 0
⇔
ln(1 − x) = 0
⇔
x=0
Studiando il segno della derivata si capisce che x = 0 è un punto di minimo relativo.
Se x > 1
0
f (x) =
e
0
f (x) = 0
⇔
− ln(x − 1)
(x − 1)2
ln(x − 1) = 0
⇔
x=1
Studiando il segno della derivata si capisce che x = 1 è un punto di massimo relativo.
Giacomo Tommei
Esercizio 5 - Grafico
Giacomo Tommei
Esercizio 6
Determina i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni:
√
a) f (x) = x 1 − x
b) f (x) = (x − 5) ex
√
4
3
c) f (x) = 2 x + 3 x2
d) f (x) = 1 − (x − 2) 5
e) f (x) = |x|
Giacomo Tommei
2
3
f ) f (x) = (1 − x 3 ) 2
Esercizio 7
Determina gli eventuali massimi e minimi assoluti delle seguenti funzioni
negli intervalli a fianco indicati:
a) f (x) = 3 x4 − 8 x3 − 6 x2 + 24 x
[0, 3]
b) f (x) = sin x cos x + cos x
[0, 2 π]
√
2
c) f (x) = x ln x
[0, +∞]
x
d) f (x) =
[−∞, +∞]
1 + x2
Giacomo Tommei
Esercizio 8
Determina per quali valori del parametro reale a la seguente funzione f (x)
ammette un massimo o un minimo per x = 0:
√
f (x) = (a2 − 2) x2 + (a − 3) x3 + 2 cos x .
Giacomo Tommei
Esercizio 9
Determina per ciascuna delle seguenti funzioni gli eventuali flessi e gli
intervalli di convessità:
a) f (x) = x5 + 5 x − 6
c) f (x) =
ex + e−x
2
Giacomo Tommei
b) f (x) = e−x
2
d) f (x) = x sin x ln x
Esercizio 10
Determina gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni:
a) f (x) =
x2 − 4
x+1
c) f (x) = e−x sin2 x
Giacomo Tommei
1
b) f (x) = x e x
d) f (x) =
p
1 + x2 + 2 x
Esercizio 11
Studia (campo di esistenza, segno, limiti, simmetrie, periodicità, asintoti,
derivate, punti stazionari, convessità, grafico) le seguenti funzioni reali di
variabile reale:
a) f (x) = x4 − 6 x2
b) f (x) =
x2 + 1
x−1
x2 − x − 2
(x − 3)2
d) f (x) =
(x + 1)3
x2
c) f (x) =
x3
(1 − x2 )
r
x
g) f (x) =
x−4
e) f (x) =
ex
i) f (x) = √
3
x
Giacomo Tommei
f ) f (x) =
r
h) f (x) =
l) f (x) =
x2
−1
x2
(x3 − 1)
x
e2 x
x2 − 4