Programma d`esame per Geometria 4 e Geometria 4 Prima parte

Programma d’esame per Geometria 4 e Geometria 4 Prima parte - a.a 2013/2014
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Per gli argomenti indicati con (*) non sono richieste le dimostrazioni.
Il programma per il corso da 6 crediti (Prima parte) comprende i paragrafi numerati da 1) a
4) (teoria ed esercizi) e il paragrafo 5) solo per la parte di teoria e senza l’argomento
“Partizioni dell’unità”.
1)Definizione di spazio topologico localmente euclideo (di dimensione n) e di varietà topologica.
Primi esempi. Le sfere Sn e gli spazi proiettivi reali PnR come varietà topologiche.
Varietà topologiche a bordo.
Superfici Tg e Uh. Teorema di classificazione delle superfici topologiche (*).
2)Definizione di atlante liscio, struttura differenziabile e varietà differenziabile.
Teorema sugli atlanti massimali. Atlante differenziabile sulle sfere.
Struttura differenziabile sugli spazi proiettivi reali.
Applicazioni differenziabili e loro composizione.
Definizione di diffeomorfismo tra varietà lisce ed esempi.
Teorema del rango per mappe lisce tra varietà differenziabili. Definizione di immersione,
summersione, embedding. Esempi.
Definizione di sottovarietà (regolare) e immersa.
Immersioni iniettive per varietà compatte e criterio affinché una fibra sia una sottovarietà.
Introduzione alle curve differenziabili in Rn. Definizione di curva parametrizzata. Cambio di
parametro e definizione di curva differenziabile in Rn.
3)Curve regolari e vettore tangente. Lunghezza di un arco di curva e parametro arco per curve
regolari. Proprietà del parametro arco ed esempi. Triedro di Frenet. vettore tangente, retta
tangente, vettore curvatura, vettore normale.
4)Fogli semplici di superficie in R3 . Superfici differenziabili in R3 come varietà differenziabili di
dimensione 2. Piano tangente vettoriale e affine.
Superfici rigate. Coni, cilindri e rigate delle tangenti. Rigate sviluppabili. Superfici di rotazione.
Prima forma fondamentale. Calcolo di lunghezze di curve e di angoli tra curve. Area di una regione
(*). Isometrie locali tra superfici.
Versore normale. Mappa di Gauss e suo differenziale. Endomorfismo di Weingarten e sua
simmetria. Seconda forma fondamentale.
Curvature principali, direzioni principali di curvatura, curvatura media, curvatura gaussiana.
Curvatura normale e suo calcolo attraverso la II forma fondamentale. Natura dei punti su di una
superficie. Linee asintotiche e linee di curvatura.
Simboli di Christoffel. Il teorema egregium di Gauss (*) e sue conseguenze.
5)Derivazioni e spazio tangente. Mappa pull-back. Derivate direzionali.
Interpretazione geometrica dei vettori tangenti e loro espressione in coordinate locali.
Mappa differenziale e sue proprietà.
Base dello spazio tangente e cambio di coordinate.
Espressione del differenziale in coordinate locali.
Spazio tangente nei punti delle fibre di una mappa liscia.
Partizioni dell’unità (*)
6)Applicazioni e forme multilineari.
Prodotto tensoriale di vettoriali finitamente generati: proprietà universale. Mult(V1*, …, Vn*) come
esempio di prodotto tensoriale di V1, …Vn. Allineamenti associati ai tensori rispetto basi fissate.
Tensori decomponibili. Prodotto tensoriale e algebra tensoriale. Forme multilineari alternanti.
Tensori alternanti. Operatore di antisimmetrizzazione. Prodotto wedge e algebra esterna.
7)Definizione di fibrato vettoriale. Funzioni di transizione e costruzione di un fibrato a partire dalle
funzioni di transizione. Fibrato tangente e fibrato cotangente ad una varietà liscia.
Sezioni di un fibrato vettoriale. Campi vettoriali e cambio di carta. Riferimento locale.
8)Fibrato delle r-forme su una varietà. r-forme differenziali su una varietà. Il prodotto wedge e
l’algebra delle forme. Differenziale esterno e sua autonullificità. Forme chiuse e forme esatte.
Pullback di forme. Proprietà del pullback (*). 1-forme sulla circonferenza e sui tori.
9)Orientabilità di una varietà differenziabile e forme di volume.
Orientazione delle Sfere. Criterio di non orientabilità. Orientazione del bordo di una varietà.
Integrazione di forme differenziali.
Teorema di Stokes e alcune sue conseguenze.