Geometria 5
Anno accademico 2012-2013
docenti: Marina Bertolini e Cristina Turrini
Programma del corso da 6 cfu
Varietà differenziabili: definizioni ed esempi (ipersfere, tori, varietà di Grassmann, gruppi di
matrici). Funzioni ed applicazioni lisce e loro proprietà. Teorema del rango. Sottovarietà
differenziabili ed esempi. Spazio tangente e applicazione differenziale.
Elementi di algebra multilineare e di algebra omologica.
Fibrati vettoriali su una varietà: esempi (fibrato tangente, cotangente); campi vettoriali.
Complesso di de Rham e relativa coomologia. La successioni di Mayer-Vietoris. Il lemma di
Poincaré.
Orientazione, integrazione su varietà, varietà a bordo e teorema di Stokes.
Programma del corso da 6 + 3cfu
Quanto previsto dal programma del corso da 6 cfu e inoltre quanto segue.
Dimostrazione del teorema del rango.
Teorema di Sard, immersioni in Rn e teorema di Whitney.
Fibrato universale sulle Grassmanniane.
Complesso di de Rham a supporto compatto e relativa coomologia. La successione di MayerVietoris e il lemma di Poincaré a supporto compatto. Dualità di Poincaré.
Riferimenti bibligrafici
Testi di riferimento
M.Abate, F.Tovena, Geometria Differenziale, New York Springer-Verlag 2011
W.M. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Orlando
Academic Press, Inc. 1986
R. Bott, L. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology. New York Springer Verlag 1982
Ulteriori riferimenti
W. Fulton, Algebraic topology: a first course. GTM 153, New York Springer-Verlag 1995
S.T. Hu, Differentiable Manifolds. Holt, Rinehart & Winston, Inc. 1969
I. Madsen, J.Tornehave, From Calculus To Cohomology. Cambridge Univ. Press 1997
J.Rotman, Introduction to Homological Algebra, Academic Press, 1979
