Corso di Laurea in Matematica – a.a. 2006/07
Programma preliminare del corso di Geometria 5 - 6 CFU
Prof. Emilia Mezzetti
Curve in R3
Curve regolari in R3. Parametro lunghezza d’arco. Retta tangente. Curvatura. Piano osculatore. Versori tangente,
normale e binormale. Torsione. Formule di Frenet. Curve a curvatura o a torsione costante nulla. Forma canonica
locale. Calcolo dell'apparato di Frenet. Circolo osculatore. Il teorema fondamentale della teoria locale delle curve.
Trasformata di una curva in un'isometria di R3. Confronto fra gli apparati di Frenet di curve congruenti. Teorema di
esistenza, e unicità a meno di congruenza, di una curva con curvatura e torsione assegnate (cenni di dimostrazione).
Superfici regolari in R3
Superfici parametrizzate. Superfici regolari. Criteri di regolarità: parametrizzazione di Monge, superfici di livello. Piano
tangente. Funzioni differenziabili su una superficie. Campi vettoriali su una superficie. Applicazioni differenziabili e
diffeomorfismi tra superfici. Cambiamento di coordinate locali. Differenziale di un’applicazione differenziabile tra
superfici. Versore normale. Campo vettoriale normale. Superfici orientabili. Il nastro di Moebius. Prima forma
fondamentale. Area di una regione di superficie.
Mappa di Gauss. Operatore forma. Seconda forma fondamentale. Curvatura normale di una curva contenuta in una
superficie, teorema di Meusnier. Direzioni e curvature principali, curvatura gaussiana e curvatura media. Loro
espressioni in coordinate locali. Sezioni normali. Formula di Eulero per la curvatura normale. Classificazione dei punti
di una superficie. Direzioni asintotiche. Superfici rigate, rigate sviluppabili. Superfici di rotazione. Quadriche. Curve
asintotiche. Linee di curvatura. Superfici minime. Superfici i cui punti sono tutti ombelichi. Geodetiche.
Geometria intrinseca delle superfici.
Isometrie e isometrie locali tra superfici. Simboli di Christoffel. Equazioni di Gauss e di Codazzi - Mainardi. Teorema
Egregium di Gauss e sue conseguenze. Teorema di Bonnet (senza dim.).
Varietà differenziabili.
Varietà topologiche e varietà differenziabili. Cenni alla nozione di spazio tangente. Metrica riemanniana. Alcuni
esempi: toro piatto, piano stereografico, disco di Poincaré, semipiano superiore di Poincaré.
Riferimento principale.
M.P. Do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, 1976
Altri testi consigliati
B. O'Neill: Elementary differential geometry, 2nd ed., Academic Press, 1997
M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish
. 1970-1975
