Esercizi 14. Equazioni definitorie dei connettivi e

Esercizi 14. Equazioni definitorie dei connettivi e quantificatori
in logica intuizionista
La logica intuizionista può essere generata a partire dalle seguenti equazioni definitorie ponendo come
logica di base la seguente
Sia LbasepI il calcolo dei sequenti ristretto a sequenti con CONCLUSIONE AL PIÙ UNICA ovvero
sequenti del tipo
Γ⊢∆
ove ∆ ≡ fr per qualche formula fr oppure ∆ è il contesto vuoto, esteso con assiomi identità in tal
versione ristretta
ax-id
Γ, fr, Γ′ ⊢ fr
e poi la regola di scambio a sinistra
Σ, Γ, Θ, Γ′ , Σ′ ⊢ ∇
scsx
Σ, Γ′ , Θ, Γ, Σ′ ⊢ ∇
la regola di indebolimento a sinistra
Γ, Γ” ⊢ ∇
insx
Γ, Γ′ , Γ” ⊢ ∇
e la regola di indebolimento a destra sul contesto vuoto
Γ⊢
ini
Γ ⊢ fr dx
la regola di contrazione a sinistra
Γ, Σ, Σ, ∆⊢∇
cnsx
Γ, Σ, ∆⊢∇
la regola di sostituzione
Γ⊢∇
sost
Γ[x/t] ⊢ ∇[x/t]
e infine la sola regola di composizione a sinistra
Γ′ ⊢ ψ Γ, ψ, Γ” ⊢ ∇
compsx
Γ, Γ′ , Γ′′ ⊢ ∇
Si risolva in LbasepI le seguenti equazioni definitorie cercando di trovare regole invertibili laddove è
possibile:
1.
Γ⊢
è derivabile
sse
Γ ⊢⊥
è derivabile
2.
Γ ⊢ fr
è derivabile
sse
Γ, tt ⊢ fr
è derivabile
3.
Γ, fr1 &fr2 ⊢ fr
4.
è derivabile
sse
sse
e
è derivabile
54
è derivabile
è derivabile
Γ, fr1 ∨ fr2 ⊢ fr
Γ, fr1 ⊢ fr
Γ, fr1 , fr2 ⊢ fr
Γ, fr2 ⊢ fr
è derivabile
5.
è derivabile
Γ ⊢ fr1 → fr2
6.
sse
per ogni t (sostituibile)
7.
è derivabile
Γ, fr1 ⊢ fr2
Γ, fr[x/t] ⊢ fr
è derivabile
sse
Γ, ∃x fr ⊢ fr
è derivabile
per ogni t (sostituibile)
è derivabile
Γ ⊢ fr[x/t]
sse
è derivabile
Γ ⊢ ∀x fr
Si chiami LI? la logica ottenuta.
• In che relazione sta LI? con LI e con LIsc (vedi definizione nelle prossime sezioni) posto di
identificare
¬fr ≡ fr →⊥
?
• Quali regole di LI? sono invertibili e quali non lo sono?
Versione alternativa di equazioni definitorie per connettivi e quantificatori
della logica intuizionista?
Si risolvano nella logica di base Lbasep , ovvero il calcolo con gli assiomi identità, regola di sostituzione e
regole di indebolimento, contrazione e composizione in forma generale, le seguenti equazioni definitorie
1.
Γ⊢∆
è derivabile
sse
Γ ⊢⊥, ∆
è derivabile
Γ⊢∆
è derivabile
sse
Γ, tt ⊢ ∆
2.
è derivabile
3.
Γ, fr1 &fr2 ⊢ ∆
è derivabile
sse
Γ, fr1 , fr2 ⊢ ∆
è derivabile
Γ ⊢ fr1 ∨ fr2 , ∆
è derivabile
sse
Γ ⊢ fr1 , fr2 , ∆
è derivabile
Γ ⊢ fr1 → fr2
è derivabile
sse
Γ, fr1 ⊢ fr2
4.
5.
6.
per ogni t (sostituibile)
7.
è derivabile
Γ, fr[x/t] ⊢ ∆
è derivabile
sse
Γ, ∃x fr ⊢ ∆
è derivabile
per ogni t (sostituibile)
è derivabile
Γ ⊢ fr[x/t]
sse
Γ ⊢ ∀x fr
Si chiami LImc la versione del calcolo ottenuto.
• In che relazione sta LImc con LIsc posto di identificare
¬fr ≡ fr →⊥
??
• Quali regole di LImc sono invertibili e quali non lo sono?
55
è derivabile
Calcolo dei sequenti LIsc della Logica Intuizionista predicativa ad una conclusione
ax-id
Γ, A, Γ′ ⊢ A
ax-⊥
Γ, ⊥, Γ′ ⊢ C
ax-⊤
Γ⊢⊤
Σ, Γ, Θ, Γ′ , ∆ ⊢ C
scsx
Σ, Γ′ , Θ, Γ, ∆ ⊢ C
Γ, A, B ⊢ C
&S
Γ, A&B ⊢ C
Γ⊢A Γ⊢B
&−D
Γ ⊢ A&B
Γ, A ⊢ C Γ, B ⊢ C
∨−S
Γ, A ∨ B ⊢ C
Γ⊢A
∨−D1
Γ⊢ A∨B
Γ, A → B ⊢ A Γ, B ⊢ C
→ −S
Γ, A → B ⊢ C
Γ, A ⊢ B
→ −D
Γ⊢A→B
Γ, ∀x A(x), A(t) ⊢ C
∀−S
Γ, ∀x A(x) ⊢ C
Γ ⊢ A(w)
∀−D (w 6∈ V L(Γ, ∀xA(x)))
Γ ⊢ ∀xA(x)
Γ, A(w) ⊢ C
∃−S (w 6∈ V L(Γ, ∃x A(x), C))
Γ, ∃x A(x) ⊢ C
Γ ⊢ A(t)
∃−D
Γ ⊢ ∃x A(x)
56
Γ⊢B
∨−D2
Γ ⊢ A∨B