Esercizi 14. Equazioni definitorie dei connettivi e quantificatori in logica intuizionista La logica intuizionista può essere generata a partire dalle seguenti equazioni definitorie ponendo come logica di base la seguente Sia LbasepI il calcolo dei sequenti ristretto a sequenti con CONCLUSIONE AL PIÙ UNICA ovvero sequenti del tipo Γ⊢∆ ove ∆ ≡ fr per qualche formula fr oppure ∆ è il contesto vuoto, esteso con assiomi identità in tal versione ristretta ax-id Γ, fr, Γ′ ⊢ fr e poi la regola di scambio a sinistra Σ, Γ, Θ, Γ′ , Σ′ ⊢ ∇ scsx Σ, Γ′ , Θ, Γ, Σ′ ⊢ ∇ la regola di indebolimento a sinistra Γ, Γ” ⊢ ∇ insx Γ, Γ′ , Γ” ⊢ ∇ e la regola di indebolimento a destra sul contesto vuoto Γ⊢ ini Γ ⊢ fr dx la regola di contrazione a sinistra Γ, Σ, Σ, ∆⊢∇ cnsx Γ, Σ, ∆⊢∇ la regola di sostituzione Γ⊢∇ sost Γ[x/t] ⊢ ∇[x/t] e infine la sola regola di composizione a sinistra Γ′ ⊢ ψ Γ, ψ, Γ” ⊢ ∇ compsx Γ, Γ′ , Γ′′ ⊢ ∇ Si risolva in LbasepI le seguenti equazioni definitorie cercando di trovare regole invertibili laddove è possibile: 1. Γ⊢ è derivabile sse Γ ⊢⊥ è derivabile 2. Γ ⊢ fr è derivabile sse Γ, tt ⊢ fr è derivabile 3. Γ, fr1 &fr2 ⊢ fr 4. è derivabile sse sse e è derivabile 54 è derivabile è derivabile Γ, fr1 ∨ fr2 ⊢ fr Γ, fr1 ⊢ fr Γ, fr1 , fr2 ⊢ fr Γ, fr2 ⊢ fr è derivabile 5. è derivabile Γ ⊢ fr1 → fr2 6. sse per ogni t (sostituibile) 7. è derivabile Γ, fr1 ⊢ fr2 Γ, fr[x/t] ⊢ fr è derivabile sse Γ, ∃x fr ⊢ fr è derivabile per ogni t (sostituibile) è derivabile Γ ⊢ fr[x/t] sse è derivabile Γ ⊢ ∀x fr Si chiami LI? la logica ottenuta. • In che relazione sta LI? con LI e con LIsc (vedi definizione nelle prossime sezioni) posto di identificare ¬fr ≡ fr →⊥ ? • Quali regole di LI? sono invertibili e quali non lo sono? Versione alternativa di equazioni definitorie per connettivi e quantificatori della logica intuizionista? Si risolvano nella logica di base Lbasep , ovvero il calcolo con gli assiomi identità, regola di sostituzione e regole di indebolimento, contrazione e composizione in forma generale, le seguenti equazioni definitorie 1. Γ⊢∆ è derivabile sse Γ ⊢⊥, ∆ è derivabile Γ⊢∆ è derivabile sse Γ, tt ⊢ ∆ 2. è derivabile 3. Γ, fr1 &fr2 ⊢ ∆ è derivabile sse Γ, fr1 , fr2 ⊢ ∆ è derivabile Γ ⊢ fr1 ∨ fr2 , ∆ è derivabile sse Γ ⊢ fr1 , fr2 , ∆ è derivabile Γ ⊢ fr1 → fr2 è derivabile sse Γ, fr1 ⊢ fr2 4. 5. 6. per ogni t (sostituibile) 7. è derivabile Γ, fr[x/t] ⊢ ∆ è derivabile sse Γ, ∃x fr ⊢ ∆ è derivabile per ogni t (sostituibile) è derivabile Γ ⊢ fr[x/t] sse Γ ⊢ ∀x fr Si chiami LImc la versione del calcolo ottenuto. • In che relazione sta LImc con LIsc posto di identificare ¬fr ≡ fr →⊥ ?? • Quali regole di LImc sono invertibili e quali non lo sono? 55 è derivabile Calcolo dei sequenti LIsc della Logica Intuizionista predicativa ad una conclusione ax-id Γ, A, Γ′ ⊢ A ax-⊥ Γ, ⊥, Γ′ ⊢ C ax-⊤ Γ⊢⊤ Σ, Γ, Θ, Γ′ , ∆ ⊢ C scsx Σ, Γ′ , Θ, Γ, ∆ ⊢ C Γ, A, B ⊢ C &S Γ, A&B ⊢ C Γ⊢A Γ⊢B &−D Γ ⊢ A&B Γ, A ⊢ C Γ, B ⊢ C ∨−S Γ, A ∨ B ⊢ C Γ⊢A ∨−D1 Γ⊢ A∨B Γ, A → B ⊢ A Γ, B ⊢ C → −S Γ, A → B ⊢ C Γ, A ⊢ B → −D Γ⊢A→B Γ, ∀x A(x), A(t) ⊢ C ∀−S Γ, ∀x A(x) ⊢ C Γ ⊢ A(w) ∀−D (w 6∈ V L(Γ, ∀xA(x))) Γ ⊢ ∀xA(x) Γ, A(w) ⊢ C ∃−S (w 6∈ V L(Γ, ∃x A(x), C)) Γ, ∃x A(x) ⊢ C Γ ⊢ A(t) ∃−D Γ ⊢ ∃x A(x) 56 Γ⊢B ∨−D2 Γ ⊢ A∨B