Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica – G. Naldi, L. Pareschi, G. Aletti
VERIFICA NUMERO 1
Domanda n.1) Nel seguito per ogni affermazione ritenuta VERA il candidato fornisca una
dimostrazione, mentre per ogni affermazione ritenuta FALSA il candidato descriva un opportuno
controesempio.
•
VERO o FALSO: siano f,g : R → R derivabili in x = 2; allora la funzione h(x) = f(x) + g(x),
x ∈ R è derivabile in x = 2.
•
VERO o FALSO: sia f : [0, 1] → R una funzione continua in ogni punto; allora f ha un numero
finito di zeri.
•
VERO o FALSO: se f : [0, 1] → R e 0 ≤ f(x) ≤ x, ∀x ∈ [0, 1] ; allora f è integrabile, secondo
Riemann, sull’intervallo [0, 1].
•
VERO o FALSO: se f : R → R derivabile in ogni punto x ∈ R, f pari; allora la funzione f’ è una
funzione dispari e f’(0) = 0.
•
VERO o FALSO: se f ∈ C1(R), cioè f continua con la sua derivata prima su tutta la retta reale,
allora:
1
∫ ( f (t ) + tf ' (t ))dt =
f (1).
0
Domanda n.2) Enunciare il Teorema di Lagrange (valor medio) e mostrare con esempi la necessità
delle ipotesi che si fanno.
Si fornisca almeno una applicazione del Teorema di Lagrange.
Domanda n.3) Si consideri la funzione definita come:
f ( x) = x sin( x) + 1
Tracciare un grafico qualitativo della curva y = f(x).
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VERIFICA NUMERO 2
Domanda n.1) Si dia la definizione di una funzione in un punto e se ne illustri il significato
geometrico.
Che cos’è un punto angoloso?
Domanda n.2) Si definisca la nozione di convessità per una funzione f : R → R. È vero o falso che,
se f : [a, b] → R è convessa, allora f ha un punto di minimo globale in [a, b] ?
Si enunci almeno una proprietà per la funzione f implicata dalla convessità.
Domanda n.3) Si definisca l’estremo superiore dell’insieme A ⊂ R.
1. Quando l’estremo superiore di un sottoinsieme A è un massimo di A?
2. Un massimo per l’insieme A è unico?
3. E l’estremo superiore è unico?
Siano A, B ⊂ R due insiemi limitati e non vuoti:
1. è vero o falso che A ⊂ B implica che sup A < sup B?
Domanda n.4) Si consideri la funzione definita come:
f ( x) = 1 + log(1− | sin x |) .
Tracciare un grafico qualitativo della curva y = f(x).
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VERIFICA NUMERO 3
Domanda n.1)
1. Sia f : [a, b] → R, x0 ∈ [a, b] . Che cosa significa che f è continua in x0?
2. Siano f, g due funzioni continue nel punto x0.
a. È VERO o FALSO che la funzione f + g è continua in x0?
b. È VERO o FALSO che, se f : [a, b] → R è continua per ogni punto x ∈ [a, b] , allora
f è lipschitziana?
Domanda n.2) Sia f ∈ C 0 ([a, b]), F : [a, b] → R una primitiva di f. Dimostrare che:
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a).
a
Domanda n.3) Che cosa significa che una funzione f è derivabile due volte in un punto x0?
Il candidato descriva almeno un esempio di una funzione f : R → R continua ma non derivabile due
volte in x = 1.
Domanda n.4) Si consideri la funzione definita come:
f ( x) = | x | − (| x | +1) .
Tracciare un grafico qualitativo della curva y = f (x).
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VERIFICA NUMERO 4
Domanda n.1) Si fornisca la definizione di punto stazionario.
1. Ogni punto stazionario di una funzione f è un punto di estremo relativo?
2. Ogni punto di estremo relativo è necessariamente un punto stazionario?
3. VERO o FALSO: sia f : [0,1] → R derivabile in ogni punto e tale che f’(x) > 0, ∀x ∈ [0,1] ;
allora f non può contemporaneamente avere un punto di minimo e un punto di massimo
assoluti in [0, 1] (per i punti di bordo, x = 1, x = 0 la derivata è da intendersi come derivata
destra o derivata sinistra).
Domanda n.2) Che cosa significa che f : [0, 1] → R è integrabile in senso generalizzato?
Domanda n.3)
1. Che cosa vuol dire che una funzione f è continua in un intervallo [a, b] ?
2. Sia f : R → R una funzione continua in ogni punto x ∈ R e tale che lim f ( x) = L1 ∈ R e
x → +∞
lim f ( x) = L2 ∈ R.
x → −∞
a. È VERO o FALSO che f è una funzione limitata?
Domanda n.4) Si consideri la funzione definita come:
f ( x) = e
| x −1
.
Tracciare un grafico qualitativo della curva y = f(x).
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