Esercizi 1tris- Significato delle regole in LC=,c Si svolgano gli esercizi sotto al fine di comprendere che il significato della disgiunzione e quantificazione esistenziale in logica classica non riflettono la disgiunzione o quantificazione esistenziale nel metalinguaggio. Si ricorda che con LC si intende il calcolo dei sequenti ottenuto da LC= togliendo le regole di uguaglianza e con LCc il calcolo LC con in aggiunta le regole di composizione. 1. data una formula qualsiasi in fr1 si provi a derivare in LC= il sequente ⊢ fr1 ∨ ¬fr1 2. il sequente ⊢B è derivabile in LC= ? 3. si trovi una formula fr1 tale che nè ⊢ fr1 e nemmeno ⊢ ¬fr1 sono derivabili in LC= . 4. si svolgano i due esercizi precedenti ponendo LC al posto di LC= . 5. si provi a derivare in LC= ⊢ ∃x ( ( x = 0 & B ) ∨ ( x = 1 & ¬B ) ) 6. si provi a dimostrare che per NESSUN t si deriva in LC= ⊢ ( t = 0 & B ) ∨ ( t = 1 & ¬B ) 7. si provi a derivare la formula seguente in LC ⊢ ∃x ( ( ( A(x) → A(0) ) & B ) ∨ ( ( A(x) → A(1) ) & ¬B ) ) 8. si provi a dimostrare che per NESSUN t si deriva in LC ⊢ ( ( A(t) → A(0) ) & fr ) ∨ ( ( A(t) → A(1) ) & ¬fr ) 9. assumendo il teorema di eliminazione del taglio sia per LC che per LC= , ovvero che sono equivalenti alle loro versioni LCc e LC=,c si deduca (a) il significato della disgiunzione in logica classica non può essere dato da una equazione definitoria del tipo ⊢ fr1 ∨ fr2 è derivabile in LC=,c sse ⊢ fr1 è derivabile in LC=,c OPPURE ⊢ fr2 è derivabile in LC=,c (b) Il significato del quantificatore esistenziale in logica classica non può essere dato da una equazione definitoria del tipo ⊢ ∃x fr(x) è derivabile in LC=,c sse ESISTE un termine t tale che ⊢ fr(t) è derivabile in LC=,c 3 (c) il significato della disgiunzione in logica classica non può essere dato da una equazione definitoria del tipo Γ ⊢ fr1 ∨ fr2 , ∆ è derivabile in LC=,c sse Γ ⊢ fr1 , ∆ è derivabile in LC=,c OPPURE Γ ⊢ fr2 , ∆ è derivabile in LC=,c (d) Il significato del quantificatore esistenziale in logica classica non può essere dato da una equazione definitoria del tipo Γ ⊢ ∃x fr(x), ∆ è derivabile in LC=,c sse ESISTE un termine t tale che Γ ⊢ fr(t), ∆ è derivabile in LC=,c 4