Esercizi 1tris- Significato delle regole in LC=,c

Esercizi 1tris- Significato delle regole in LC=,c
Si svolgano gli esercizi sotto al fine di comprendere che il significato della disgiunzione e quantificazione
esistenziale in logica classica non riflettono la disgiunzione o quantificazione esistenziale nel metalinguaggio.
Si ricorda che con LC si intende il calcolo dei sequenti ottenuto da LC= togliendo le regole di uguaglianza
e con LCc il calcolo LC con in aggiunta le regole di composizione.
1. data una formula qualsiasi in fr1 si provi a derivare in LC= il sequente
⊢ fr1 ∨ ¬fr1
2. il sequente
⊢B
è derivabile in LC= ?
3. si trovi una formula fr1 tale che nè ⊢ fr1 e nemmeno ⊢ ¬fr1 sono derivabili in LC= .
4. si svolgano i due esercizi precedenti ponendo LC al posto di LC= .
5. si provi a derivare in LC=
⊢ ∃x ( ( x = 0 & B ) ∨ ( x = 1 & ¬B ) )
6. si provi a dimostrare che per NESSUN t si deriva in LC=
⊢ ( t = 0 & B ) ∨ ( t = 1 & ¬B )
7. si provi a derivare la formula seguente in LC
⊢ ∃x ( ( ( A(x) → A(0) ) & B ) ∨ ( ( A(x) → A(1) ) & ¬B ) )
8. si provi a dimostrare che per NESSUN t si deriva in LC
⊢ ( ( A(t) → A(0) ) & fr ) ∨ ( ( A(t) → A(1) ) & ¬fr )
9. assumendo il teorema di eliminazione del taglio sia per LC che per LC= , ovvero che sono equivalenti alle loro versioni LCc e LC=,c si deduca
(a) il significato della disgiunzione in logica classica non può essere dato da una equazione definitoria del tipo
⊢ fr1 ∨ fr2 è derivabile in LC=,c
sse
⊢ fr1 è derivabile in LC=,c OPPURE ⊢ fr2 è derivabile in LC=,c
(b) Il significato del quantificatore esistenziale in logica classica non può essere dato da una
equazione definitoria del tipo
⊢ ∃x fr(x) è derivabile in LC=,c
sse
ESISTE un termine t tale che
⊢ fr(t) è derivabile in LC=,c
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(c) il significato della disgiunzione in logica classica non può essere dato da una equazione definitoria del tipo
Γ ⊢ fr1 ∨ fr2 , ∆ è derivabile in LC=,c
sse
Γ ⊢ fr1 , ∆ è derivabile in LC=,c OPPURE Γ ⊢ fr2 , ∆ è derivabile in LC=,c
(d) Il significato del quantificatore esistenziale in logica classica non può essere dato da una
equazione definitoria del tipo
Γ ⊢ ∃x fr(x), ∆ è derivabile in LC=,c
sse
ESISTE un termine t tale che Γ ⊢ fr(t), ∆ è derivabile in LC=,c
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