Quadratura del cerchio

█ Note sulla quadratura del cerchio
Dalle costruzioni con riga e compasso
ai numeri trascendenti
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
Indice
1.
Introduzione ...................................................................................................................... 3
2.
Richiami su alcuni insiemi numerici................................................................................. 3
2.1
2.2
I numeri algebrici ..................................................................................................... 3
2.1.1
I numeri razionali sono algebrici................................................................ 3
2.1.2
Grado di un numero algebrico.................................................................... 4
2.1.3
Cardinalità dell’insieme dei numeri algebrici ............................................ 4
2.1.4
Il campo dei numeri algebrici..................................................................... 5
2.1.5
Numeri definiti da radicali ......................................................................... 5
2.1.6
Interi algebrici ............................................................................................ 5
I numeri trascendenti................................................................................................ 6
2.2.1
3.
4.
Alcuni numeri trascendenti ........................................................................ 6
Le costruzioni con riga e compasso .................................................................................. 7
3.1
Riga e compasso “ideali” ......................................................................................... 8
3.2
Divagazione: la costruzione di poligoni regolari ..................................................... 8
3.3
Sull’impossibilità delle costruzioni classiche greche............................................... 9
3.4
Approfondimento: punti costruibili e campo euclideo........................................... 10
3.5
Problemi classici e costruzioni impossibili ............................................................ 12
3.5.1
Duplicazione del cubo.............................................................................. 13
3.5.2
Trisezione dell’angolo.............................................................................. 13
3.5.3
Costruzione dell’ettagono regolare .......................................................... 13
Quadratura del cerchio .................................................................................................... 14
4.1
Divagazione: la nascita di π ................................................................................... 14
4.2
Cenni storici ........................................................................................................... 14
4.3
Considerazioni riassuntive finali............................................................................ 17
Rev. 9/2007
Pag. 2
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
numero trascendente è un numero irrazionale che non è un numero
algebrico, ossia non è la soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma:
100
Ovunque
ci sono limiti, alcuni naturali, altri convenzionali: gli esseri umani non
1
possono1volare
con
+−++
+ =i loro soli mezzi, nel gioco della briscola il due non può battere l’asso.
−
a
x
a
xn
a x a e nella fisica vi sono problemi che non ammettono una soluzione: non
Nella matematica
n
si può produrre il moto perpetuo, non si può viaggiare a velocità superiore a quella della luce
n
e in tutte
le teorie
n ��
(1) matematiche abbastanza potenti, esistono, come Gödel ci insegna, teoremi
(cioè affermazioni
non dimostrabili.
dove n ≥ 1 evere)
i coefficienti
ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
tutti nulli.
Questi
presunti limiti della scienza non sono peraltro sconfitte per la nostra ragione,
L’insieme
dei“inumeri
mentre l’insieme
di tutti i enumeri
reali è
sono piuttosto
come
no chealgebrici
aiutano èa numerabile
crescere”: ostacoli
non sormontabili
non aggirabili
non
numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
che, in realtà, ci dicono molto di come è fatto il mondo, di come siamo fatti noi esseri umani,
è
non
numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
algebrici.
di come funzionano il nostro linguaggio e i nostri sistemi simbolici di rappresentazione.
numeroComunque,
trascendentesono
è unnote
numero
irrazionale
che non
è un numero
soltanto
poche classi
di numeri
algebrici e dimostrare che un dato
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
dellaconoscenze,
forma:
Anche
un’apparente
sconfitta
può
aiutarci
ad
ampliare
le nostre
aprendo
numero è trascendente può essere molto difficile.polinomiale
1
0
0
nuove prospettive
nostri studi
e mostrandoci
nuove connessioni
grande
L’esistenzaper
deii numeri
trascendenti
fu dimostrata
per la primadivolta
nel bellezza.
1844 da Joseph
1
Liouville,
che
mostrò
alcuni
esempi,
tra
cui
la
costante
di
Liouville:
del cerchio è tutto questo: dietro l’affermazione “non si può costruire con
1 + − La
+ Σ∞
+quadratura
+=
riga
e
compasso
un
quadrato
che abbia area esattamente uguale a quella di un cerchio dato”
− a x a xn
= axa
si
un cammino che tocca molti nodi importanti della Matematica, quali gli insiemi
n nasconde
−=
numerici,
la
cardinalità degli insiemi infiniti, le proprietà degli esponenziali di variabile
n
1
complessa.
n �� (1)
10 ! 0.110001000000000000000001000
dove nL’obiettivo
≥k 1 e i coefficienti
ai sono
numeri
(o, equivalentemente,
nonfinestra su
principale,
se non
unico,interi
di questi
appunti è quello razionali),
di aprire una
tutti nulli.
k … in
(2)modo da rendere un po’ più accessibile un paesaggio di grande bellezza e ricco
questi
temi,
L’insieme
deil’n-esima
numeri algebrici
è numerabile
di tutti(ad
i numeri
reali1,è2, 6, 24, 120,
dove
cifra
dopo
la virgola èmentre
uno se l’insieme
n è un fattoriale
esempio,
di sfide costruttive per la
nostra
intelligenza.
non numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
720, ..., etc.) e 0 altrimenti.
è non numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
algebrici.
Il primo numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato
Comunque,
sono note soltanto
classifudienumeri
algebrici
e dimostrare
che un dato
appositamente
costruitopoche
per questo
(numero
di Nepero,
base dei logaritmi
naturali),
numeroquesto
è trascendente
può
essere
molto
difficile.
risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
L’esistenza
dei numeri
trascendenti
fu dimostratabasata
per lasul
prima
volta nellavoro
1844 di
daHermite,
Joseph della
2.1
I Lindemann
numeri
algebrici
pubblicò
una dimostrazione,
precedente
Liouville,
che
mostrò
alcuni
esempi,
tra
cui
la
costante
di
Liouville:
trascendenza di π.
Σ∞ InNel
1874, Georg
Cantor trovò
l’argomentazione
per
matematica,
un numero
algebrico
è un numeroscritta
reale sopra
o complesso
che è soluzione di
=
l’esistenza
e la non-numerabilità
un’equazione
polinomiale
della forma: dei numeri trascendenti. Cantor affermò
−=
che i numeri trascendenti sono
un Insieme
Infinito di livello superiore ( ) 1 �
n
n −1
x + a0 = 0Infinito, ma meno
(1)
1
n x + an −1 x
a quello degli irrazionaliaalgebrici
( ) 0+� ,+una1Insieme
10 ! 0.110001000000000000000001000
potente3.
dove n > 0, ogni ai è un intero, e an è diverso da 0.
k
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
k … (2)
ea sedefinizione
a è algebrico
e diverso si
darichiede
0. In particolare,
lo stesso del
numero
e è trascendente.
In• una
equivalente
che i coefficienti
polinomio
siano numeri
dove l’n-esima
cifra
dopo
la virgola èl’identità
uno se n per
è unun
fattoriale
esempio,
1, 2,i6,denominatori
24, 120,
• πèvedi
(Pi greco)
razionali:
sufficiente
moltiplicare
multiplo(ad
comune
a tutti
720,coefficienti
...,3etc.)
e 0per
altrimenti.
Georg
Cantor
(1845–1918)
dei
ricondursi
al caso intero.
Il primo numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato
Se un numero
reale
complesso)
non è un
viene chiamato
appositamente
costruito
per(oquesto
fu e (numero
di numero
Nepero, algebrico,
base dei logaritmi
naturali),numero
trascendente
.
questo risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
Lindemann pubblicò una dimostrazione, basata sul precedente lavoro di Hermite, della
trascendenza
di π. razionali sono algebrici
2.1.1
I numeri
Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per
l’esistenza
non-numerabilità
numeri
trascendenti.
affermò a/b è soluzione di
Tutti eilanumeri
razionali dei
sono
algebrici
perché Cantor
ogni frazione
1/2
che
i
numeri
trascendenti
sono
un
Insieme
Infinito
di
livello
superiore
( ) 1 �di 2) e 31/3/2 (la
bx − a = 0 . Anche alcuni numeri irrazionali come 2 (la radice quadrata
aradice
quellocubica
degli di
irrazionali
algebrici
(
)
0
�
,
un
Insieme
Infinito,
ma
meno
3 divisa per 2) sono algebrici perché radici, rispettivamente, di x2 − 2 = 0 e
potente3.
8x3 − 3 = 0. Ma non tutti i numeri reali sono algebrici, vedi ad esempio π ed e (numero di
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
Nepero).
• ea se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
1. Introduzione
2. Richiami su alcuni insiemi numerici
• π vedi (Pi greco)
3 Georg
Cantor (1845–1918)
Rev.
9/2007
Pag. 3
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
numero trascendente
è unalgebrico
numero irrazionale che non è un numero
2.1.2 Grado
di un numero
algebrico, ossia non è la soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma:
100
Se1 un numero algebrico soddisfa un’equazione come quella data sopra con un
polinomio
1 +di
− grado
+ + + =n e nessuna equazione di grado inferiore, allora si dice che il numero è un
numero−algebrico
n.
a x a xn adixgrado
a
n
2.1.3 Cardinalità
dell’insieme dei numeri algebrici
n
n �� (1)
dove ndei
≥ 1numeri
e i coefficienti
numeri interi
(o, equivalentemente,
non a
Quello
algebriciaièsono
un insieme
numerabile:
infatti l’insiemerazionali),
dei polinomi
tutti nulli.
coefficienti
interi (o razionali) è numerabile e le soluzioni di ciascun polinomio sono in
dei numeri
algebrici
è numerabile
mentre
l’insieme
di famiglia
tutti i numeri
reali è
di tutte
le soluzioni,
essendo
unione
di una
numerabile
numeroL’insieme
finito. L’insieme
non
numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
di insiemi finiti, è a sua volta numerabile.
è non numerabile, cioè esistono infinitamente più numeri trascendenti che algebrici.
InComunque,
conseguenza
dinote
quanto
giàpoche
dettoclassi
pernon
glinumeri
algebrici,
la cardinalità
numero
trascendente
è un
numero
irrazionale
che
è un
numero
sono
soltanto
di
algebrici
e dimostraredei
chenumeri
un dato
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
polinomiale
della
forma:
trascendenti
è
pari
a
quella
del
campo
di
partenza.
Questi
fondamentali
risultati
sono
dovuti al
numero è trascendente può essere 1molto difficile.
1 0 0 matematico
grande
tedesco
Georg
Cantor . fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph
L’esistenza dei
numeri
trascendenti
1
Liouville, che mostrò alcuni esempi, tra cui la costante di Liouville:
1 + − + Σ∞
++=
− a x a1 xn
axa
= matematica
In
per cardinalità (o numerosità o potenza) di un finito si intende nient'altro che il numero
n
−=
dei suoi elementi.
Nella teoria degli insiemi viene data una definizione rigorosa di cardinalità, che si adatta al
n di insiemi
1
caso
infiniti e, fra l'altro, fornisce una definizione astratta e una generalizzazione del concetto di
n �� (1)
numero
naturale.
10 ! 0.110001000000000000000001000
dove nLa≥kdefinizione
1 e i coefficienti
ai sonopassi:
numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
segue i seguenti
•tuttiDue
insiemi
A
e
B
si
dicono
equipotenti
o equicardinali se fra i loro elementi si può stabilire una
nulli.
k … (2)
corrispondenza
biunivoca,
vale
a
dire,
se
ad
ogni
elemento
puòdiassociare
uno
e unreali
solo
L’insieme
deil’n-esima
numeri algebrici
è numerabile
tutti(ad
i numeri
dove
cifra dopo
la virgola èmentre
uno se l’insieme
ndiè A
unsifattoriale
esempio,
1,èelemento
2, 6, 24,di120,
B.
non numerabile;
ciò implica,
come già accennato, che anche l’insieme dei numeri trascendenti
720, ..., etc.)
e 0 altrimenti.
•è non
Si numerabile,
rileva poi che cioè
l'equicardinalità
è una relazione più
di equivalenza.
Si dice che due algebrici.
insiemi hanno la stessa
esistono
infinitamente
numeri trascendenti
Il primo
numero
che si dimostrò
essere trascendente
senza che che
fosse stato
cardinalità
(o la
stessa potenza)
se sono equicardinali.
Comunque,
sono note soltanto
poche
classi dienumeri
algebrici
e dimostrare
che un dato
appositamente
costruito
per questo
(numero
di Nepero,
dei logaritmi
naturali),
• Gli insiemi
finiti si possono
collocare
in classifu
di equicardinalità
e ciascunabase
di queste
classi di equivalenza
numero
è
trascendente
può
essere
molto
difficile.
risultato è stato
ottenuto
da che
Charles
Hermite
nel di
1873.
Nel degli
1882,insiemi;
Ferdinand
può questo
essere rappresentata
dall'intero
naturale
fornisce
il numero
ciascuno
quindivon
gli
L’esistenza
dei possono
numeri
trascendenti
fucon
dimostrata
per
prima
volta nellavoro
1844 di
daHermite,
Joseph della
pubblicò
una dimostrazione,
basata
sul
precedente
interiLindemann
naturali
essere
identificati
le potenze
deglilainsiemi
finiti.
che
mostrò
esempi,
cui la costante
di Liouville:
•Liouville,
Sia E
un
insieme
infinito.
non tra
è possibile
determinare
alcun n ∈ N tale che E sia equipotente
trascendenza
dialcuni
π. Allora
Σ∞ all’insieme
{1,…,Georg
n}. Dunque
non
è possibile
definire la cardinalità
di E come
Nel 1874,
Cantor
trovò
l’argomentazione
scritta sopra
per si è fatto per un insieme
= finito.l’esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor affermò
•− = A fianco
cardinali
finiti occorresono
pertanto
introdurreInfinito
i cosiddetti
numerisuperiore
cardinali transfiniti
che iainumeri
trascendenti
un Insieme
di livello
( ) 1 � o numeri
1 alepha (quello
ℵ) ; aleph,
è
la
prima
lettera
dell’alfabeto
ebraico,
corrispondente
alla
nostra
A.
degli irrazionali algebrici ( ) 0 � , un Insieme Infinito, ma meno
•10 !Si0.110001000000000000000001000
considera
la classe degli insiemi che si possono porre in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei
potente3.
k naturali
(N):
questa numeri
classe si trascendenti
dice cardinalità del numerabile e si può considerare come un numero; questo
2.2.1
Alcuni
k …si(2)
ℵ0 (aleph-zero).
denota
• ea con
se ailèsimbolo
algebrico
e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
dove l’n-esima
cifra
dopo la virgola è uno se n è un fattoriale (ad esempio, 1, 2, 6, 24, 120,
•
π
vedi
(Pi
greco)
• Inoltre, si prova (la dimostrazione è dovuta a G. Cantor) che: card ( N ) = card ( Z ) = card (Q ) = ℵ0 .
720, ...,3etc.)
e 0 Cantor
altrimenti.
Georg
(1845–1918)
•Il primo
Cantor,
procedendo
assurdo e utilizzando
un procedimento
“diagonalizzazione”,
dimostra che non si
numero
che per
si dimostrò
essere trascendente
senzadiche
fosse stato
possono porre in relazione biunivoca i numeri reali con i numeri naturali, quindi si deve porre:
appositamente costruito per questo fu e (numero di Nepero, base dei logaritmi naturali),
card
( R) = Cè >stato
ℵ0 . ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
questo
risultato
•Lindemann
Cantor, utilizzando
nuovo
il suo metodo diagonale,
anche lavoro
che: l'insieme
P(D) formato
pubblicòdiuna
dimostrazione,
basata suldimostra
precedente
di Hermite,
della da tutti i
sottoinsiemidi
diπ.
un insieme dato D non si può porre in relazione biunivoca con D. Questo è banalmente vero
trascendenza
D finito,
maCantor
Cantor trovò
dimostra
questo risultato anche
per sopra
D infinito.
Nelper
1874,
Georg
l’argomentazione
scritta
per L'insieme P(D) si chiama insieme
( P( D)) > card
( D)affermò
.
potenza di
quindi per ogni insieme
vale: card
l’esistenza
e D,
la non-numerabilità
deiDnumeri
trascendenti.
Cantor
i numeri
trascendenti
sono
Insieme
( ) indicato
1 � con ℵ0 e con C,
•che Dunque
Cantor
dimostra che
nonun
esistono
i soliInfinito
due “tipididilivello
infinito”superiore
che avevamo
a quello
degli
irrazionali
algebrici
(
)
0
�
,
un
Insieme
Infinito,
ma
meno
ma addirittura una successione infinita di modi essenzialmente differenti di “essere infinito”. Chiaramente,
potente3.
l’usuale simbolo ∞ è insufficiente a rappresentarli tutti.
•2.2.1
Cantor
costruisce
successione strettamente crescente (rispetto ad una opportuna relazione di ordine ≤ )
Alcuni
numeriunatrascendenti
• eadisenumeri
a è algebrico
diverso ℵ
da0 0.
In1 particolare,
e è trascendente.
cardinali etransfiniti
<ℵ
< ℵ2 < ℵ3 <lo
…stesso
, questinumero
ultimi forniscono
una gerarchia per gli
• π vedi
(Pi
greco)
insiemi infiniti.
3 Georg
Cantor (1845–1918)
Pag. 4
Rev.
9/2007
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
numero
trascendente
è unalgebrici
numero irrazionale che non è un numero
2.1.4 Il
campo
dei numeri
algebrico, ossia non è la soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma:
100
Le1 operazioni di somma, differenza, prodotto e quoziente di due numeri algebrici
generano
algebrici, pertanto essi formano un campo.
1 +ancora
− + + +numeri
=
a x adimostrare
xn a x a che se ammettiamo che i coefficienti ai siano numeri algebrici
Si− può
n
qualsiasi, allora ogni soluzione dell’equazione sarà ancora un numero algebrico. Ciò può
n
essere espresso
in altre parole dicendo che il campo dei numeri algebrici è algebricamente
�� (1)è il più piccolo campo algebricamente chiuso che contiene i numeri razionali,
chiuso. nInfatti,
dovechiamato
n ≥ 1 e i la
coefficienti
ai sono numeri
interi (o, equivalentemente, razionali), non
ed è quindi
chiusura algebrica
dei razionali.
tutti nulli.
L’insieme dei numeri algebrici è numerabile mentre l’insieme di tutti i numeri reali è
2.1.5 Numeri
definiti
radicali
non numerabile;
ciòda
implica,
come già accennato, che anche l’insieme dei numeri trascendenti
è non numerabile, cioè esistono infinitamente più numeri trascendenti che algebrici.
Tutti
i numeri
possono
essere
un
numero
finito di che
addizioni,
numero
trascendente
è che
unnote
numero
irrazionale
che non
è un numero
Comunque,
sono
soltanto
poche scritti
classi
diusando
numeri
algebrici
e dimostrare
un dato
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
polinomiale
della
forma:
sottrazioni,
moltiplicazioni,
divisioni
ed
estrazioni
di
radici
n-esime
(dove
n
è
un intero
numero è trascendente può essere molto difficile.
1 0 0 L’esistenza
vi sono
numeri
algebrici
che
positivo)
sono anche
L’inverso, tuttavia,
non è per
vero:
deialgebrici.
numeri trascendenti
fu dimostrata
la prima
volta
nel 1844
da Joseph
1
non
possono
essere
scritti alcuni
in questa
maniera
tratta delle
soluzioni delle equazioni
Liouville,
che mostrò
esempi,
tra cui. laSicostante
di Liouville:
1 + − + Σ∞
++=
polinomiali
di grado superiore al quarto: questo è un risultato della teoria di Évariste Galois2.
− a x a xn
= axa
n
−=
2.1.6 Interi
algebrici
n
1
n �� (1)
10 ! 0.110001000000000000000001000
algebrico
che soddisfa
un’equazione
polinomiale razionali),
di grado nnon
con an = 1
dove nUn
≥k 1numero
e i coefficienti
ai sono
numeri interi
(o, equivalentemente,
(cioè,
un
polinomio
monico
a
coefficienti
interi),
è
chiamato
intero
algebrico.
Esempi
di interi
tutti nulli.
k … (2)
3 2 + 5algebrici
e 6i −dopo
2 è. numerabile
algebrici
sono
L’insieme
deil’n-esima
numeri
di tutti(ad
i numeri
reali1,è2, 6, 24, 120,
dove
cifra
la virgola èmentre
uno se l’insieme
n è un fattoriale
esempio,
non numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
720, ..., differenza
etc.) e 0 altrimenti.
Somma,
e prodotto di interi algebrici sono di nuovo interi algebrici, che
è non numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
algebrici.
primo
numero
che si dimostrò
trascendente
fosse stato
implica Ilche
gli interi
algebrici
formano essere
un anello.
Il nome senza
intero che
algebrico
è dovuto al fatto
Comunque,
sono note soltanto
poche
classifudienumeri
algebrici
e dimostrare
che un dato
appositamente
costruito
per
questo
(numero
di
Nepero,
base
dei logaritmi
naturali),
che
gli
unici
numeri
razionali
appartenenti
a
questa
classe
sono
gli
interi.
numeroquesto
è trascendente
può
essere
molto
difficile.
risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
L’esistenza
trascendenti
per lasul
volta nellavoro
1844 interi
daHermite,
Joseph
SeLindemann
K èdei
un numeri
campo
numerico,
il fu
suodimostrata
anello dibasata
interi
èprima
ilprecedente
sottoanello
degli
algebrici
in
pubblicò
una dimostrazione,
di
della
Liouville,
che
mostrò
alcuni
esempi,
tra
cui
la
costante
di
Liouville:
K.
trascendenza di π.
Σ∞
Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per
=
l’esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor affermò
−=
che i numeri trascendenti sono un Insieme Infinito di livello superiore ( ) 1 �
•1 Si considera
classeirrazionali
degli insiemialgebrici
che si possono
porre
corrispondenza
biunivica
con i numeri reali (o
a quelloladegli
()0�
, uninInsieme
Infinito,
ma meno
10 !con
0.110001000000000000000001000
ipotente3.
numeri reali dell'intervallo [0,1]): questa classe si dice cardinalità del continuo e si può considerare
k come2.2.1
un numero
chenumeri
si denota
con C. L'Ipotesi del continuo afferma C = ℵ1 , dove indichiamo con ℵ1 la
Alcuni
trascendenti
k …più
(2)piccola
più chee numerabile.
• ea secardinalità
a è algebrico
diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
dove l’n-esima
cifra
dopo la virgola è uno se n è un fattoriale (ad esempio, 1, 2, 6, 24, 120,
•
π
vedi
(Pi
greco)
2
La
nascita
della
teoria
di Galois è stata motivata originariamente dalla seguente constatazione, nota con
720, ...,
e 0 Cantor
altrimenti.
3etc.)
Georg
(1845–1918)
il
di numero
teorema diche
Abel-Ruffini.
Ilnome
primo
si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato
appositamente
per questo
fu radici
e (numero
Nepero,
base deipolinomiale
logaritmi dinaturali),
"Non esistecostruito
nessuna formula
per le
di unadigenerica
equazione
quinto grado (o
questo risultato
è stato
ottenuto da
Hermite
Nel operazioni
1882, Ferdinand
von
superiore)
in funzione
dei coefficienti
delCharles
polinomio,
usando nel
solo1873.
le normali
algebriche
(addizione,
sottrazione,
e l'applicazione
radicali
(radici quadrate,
radici
cubiche,
etc.)"
Lindemannmoltiplicazione,
pubblicò unadivisione)
dimostrazione,
basatadisul
precedente
lavoro di
Hermite,
della
trascendenza
La teoria di
di π.
Galois rende chiaro ed evidente il perché sia possibile risolvere le equazioni di grado quattro
Nel
1874,
Georg
Cantor
scritta
sopra equazione
per
o inferiore, specificando
un trovò
criteriol’argomentazione
generale affinché una
particolare
polinomiale di un qualsiasi
l’esistenza
la non-numerabilità
dei numeri
trascendenti.
grado
abbia leesoluzioni
esprimibili mediante
operazioni
algebriche e Cantor
radicali. affermò
che i numeri
trascendenti sono un Insieme Infinito di livello superiore ( ) 1 �
La teoria di Galois ha inoltre applicazioni in molti problemi di costruzione con riga e compasso in
ageometria.
quello degli
irrazionali algebrici ( ) 0 � , un Insieme Infinito, ma meno
Ad esempio:
potente3.
"Quali poligoni regolari sono poligoni costruibili?"
2.2.1 Alcuni
numeri trascendenti
"Perché non è possibile trisecare ogni angolo?"
• ea se"Perché
a è algebrico
e diverso
da 0.unInquadrato
particolare,
lo stesso
e ècerchio?"
trascendente.
non è possibile
costruire
la cui area
sia la numero
stessa di un
• π vedi (Pi greco)
3 Georg
Cantor (1845–1918)
Pag. 5
Rev.
9/2007
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
numero trascendente è un numero irrazionale che non è un numero
2.2 I algebrico,
numeri
trascendenti
ossia
non è la soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma:
100
In1matematica, un numero trascendente è un numero irrazionale che non è un numero
1 +ossia
− + +non
+ =è la soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma:
algebrico,
− a x a xn a x a
(1)
an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 = 0
n
n n ≥ 1 e i coefficienti a sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
dove
i
n �� (1)
tutti nulli.
dove n ≥ 1 e i coefficienti ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
tutti nulli.dei numeri algebrici è numerabile mentre l’insieme di tutti i numeri reali è
L’insieme
L’insiemeciò
deiimplica,
numeri come
algebrici
numerabile
tutti
i numeri
reali è
non numerabile;
già èaccennato,
chementre
anchel’insieme
l’insiemedidei
numeri
trascendenti
non
numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
è non numerabile, cioè esistono infinitamente più numeri trascendenti che algebrici.
è
non
numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
algebrici.
Comunque, sono note soltanto poche classi di numeri algebrici e dimostrare che un dato
numero trascendentesono
è unnote
numero
irrazionale
che non
è un numero
soltanto
poche
classi
di numeri
algebrici e dimostrare che un dato
numeroComunque,
è trascendente può
essere
molto
difficile.
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
numero è trascendente può essere molto difficile.polinomiale della forma:
1 0 0 L’esistenza
L’esistenzadei
deinumeri
numeritrascendenti
trascendentifufudimostrata
dimostrataper
perlalaprima
primavolta
voltanel
nel1844
1844da
da Joseph
Joseph
1
Liouville,
che mostrò
tra cui latracostante
di Liouville:
Liouville,
che alcuni
mostròesempi,
alcuni esempi,
cui la costante
di Liouville:
1 + − + Σ∞
++=
∞
− a x a xn
= axa
10 −k ! = 0.110001000000000000000001000…
(2)
∑
n
k =1
−=
n
n1-esima cifra dopo la virgola è uno se n è un fattoriale (ad esempio, 1, 2, 6, 24, 120,
dove
n ��l’(1)
10 ! 0.110001000000000000000001000
720,
0 altrimenti.ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
dove...,
n ≥ketc.)
1 e ie coefficienti
tutti nulli.
Il k primo
… (2) numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato
L’insieme
deil’n-esima
numeri
algebrici
è numerabile
di base
tutti(ad
i dei
numeri
reali1,è2,
dove
cifra
la virgola
èmentre
uno se l’insieme
n è Nepero,
un fattoriale
esempio,
6, 24, 120,
appositamente
costruito
perdopo
questo
fu e (numero
di
logaritmi
naturali),
non
numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
..., etc.)
e 0 altrimenti.
questo 720,
risultato
è stato
ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
èLindemann
non numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
Il primo
numero
che
si dimostrò
essere
trascendente
senza che
fossealgebrici.
stato
pubblicò una dimostrazione,
basata
sul precedente
lavoro
di
Hermite, della
Comunque,
sono note
soltanto
poche
classi
di
numeri
algebrici
e
dimostrare
che un dato
appositamente
costruito
per
questo
fu
e
(numero
di
Nepero,
base
dei
logaritmi
naturali),
trascendenza di π.
numeroquesto
è trascendente
può
essere
molto
difficile.
risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
Nel una
1874,
Georg
Cantor
trovò
l’argomentazione
sopradella
per
L’esistenza
dei numeri
trascendenti
fu
dimostrata
per
lasul
prima
volta nellavoro
1844 scritta
daHermite,
Joseph
Lindemann
pubblicò
dimostrazione,
basata
precedente
di
l’esistenza
e
la
non-numerabilità
dei
numeri
trascendenti.
Cantor
affermò
Liouville,
che
mostrò
alcuni
esempi,
tra
cui
la
costante
di
Liouville:
trascendenza di π.
Σ∞
che i numeri
sono un Insieme
di livello superiore (ℵ1 )
Nel 1874, Georg
Cantor trascendenti
trovò l’argomentazione
scrittaInfinito
sopra per
=
l’esistenza ae la
non-numerabilità
dei numeri
trascendenti.
affermò
(ℵ0 ) , un Cantor
Insieme
Infinito, ma meno
quello
degli irrazionali
algebrici
−=
che i numeri trascendenti
sono un Insieme Infinito di livello superiore ( ) 1 �
3
potente .
1
a quello degli irrazionali algebrici ( ) 0 � , un Insieme Infinito, ma meno
10 ! 0.110001000000000000000001000
potente3.
2.2.1
Alcuni
numeri
trascendenti
k
2.2.1 Alcuni
numeri
trascendenti
k … (2)• ea se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
cifra
dopo
la virgola
uno
se n è un fattoriale
(ad esempio,
1, 2, 6, 24, 120,
•doveeal’n-esima
se• aπ èvedi
algebrico
e diverso
da 0.èIn
particolare,
lo stesso numero
e è trascendente.
(Pi greco)
720, ...,3etc.)
e 0 Cantor
altrimenti.
Georg
(1845–1918)
π vedinumero
(Pi greco)
•Il primo
che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato
appositamente costruito per questo fu e (numero di Nepero, base dei logaritmi naturali),
questo risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
Lindemann pubblicò una dimostrazione, basata sul precedente lavoro di Hermite, della
trascendenza di π.
Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per
3
l’esistenza
e laCantor
non-numerabilità
dei numeri
Cantor
affermò
Georg
(1845–1918) riconobbe
chetrascendenti.
gli insiemi infiniti
possono
avere differenti cardinalità,
separò
gli insiemi
in numerabili
e più
numerabili
e provò
che l'insieme
di tutti
numeri razionali Q è
che i numeri
trascendenti
sono
un che
Insieme
Infinito
di livello
superiore
( ) 1i �
numerabile
mentre
l'insieme di
tutti i numeri
reali
R Insieme
è più che Infinito,
numerabile,
in questo modo che
a quello degli
irrazionali
algebrici
()0�
, un
madimostrando
meno
esistono
almeno due ordini di infinità. Il metodo di cui si servì per condurre le sue dimostrazioni è noto come
potente3.
metodo della diagonale di Cantor. Come gia evidenziato in precedenza, dimostrò inoltre che l’insieme dei
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
numeri algebrici è un insieme numerabile: infatti l'insieme dei polinomi a coefficienti interi (o razionali) è
• ea se a è ealgebrico
e diverso
0. In particolare,
lo stesso
e èditrascendente.
numerabile
le soluzioni
di ciascundapolinomio
sono in numero
finito.numero
L'insieme
tutte le soluzioni, essendo
•unione
π vedi
(Pi
greco)
di una famiglia numerabile di insiemi finiti, è a sua volta numerabile.
3 Georg
Cantor (1845–1918)
Pag. 6
Rev.
9/2007
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
numero trascendente èb un numero irrazionale che non è un numero
2 2 algebrico,
o più generalmente
a ≠ 0,1
algebrico
e b è algebrico
ma irrazionale.
Il caso
ossia non èa ladove
soluzione
di ènessuna
equazione
polinomiale
della forma:
b
generale
1 0 0 del settimo problema di Hilbert, cioè di determinare se a è trascendente quando
a ≠ 10,1 è algebrico e b è irrazionale è tuttora irrisolto.
1+−+++=
• i 2i (è
− atrascendente
x a xn a x a in base al teorema di Gelfond)
n
1
1
• eπ innquanto: eπ = −π = 2i e i 2i è trascendente
e
i
n �� (1)
dove n ≥ 1 e i coefficienti ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
• sin(1)
tutti nulli.
se a è un dei
numero
razionale
positivo
diversomentre
da 1 l’insieme di tutti i numeri reali è
• ln(a)L’insieme
numeri
algebrici
è numerabile
none numerabile;
ciò implica,
come
accennato, che anche l’insieme dei numeri trascendenti
Γ(1/4) (Γ : funzione
gamma
di già
Eulero).
• Γ(1/3)
è non numerabile, cioè esistono infinitamente più numeri trascendenti che algebrici.
LaComunque,
scoperta sono
dei
numeri
trascendenti
consentì,
vedremo,
la dimostrazione
numero
trascendente
è unnote
numero
irrazionale
che
non
è uncome
numero
soltanto
poche classi
di numeri
algebrici
e dimostrare
che un dato
d’impossibilità
di
diversi
antichi
problemi
geometrici
riguardanti
le
costruzioni
con riga e
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
polinomiale
della
forma:
numero è trascendente può essere molto difficile.
1 0 0 L’esistenza
compasso;
il più famoso
dei trascendenti
quali, la quadratura
del per
cerchio,
è impossibile
perché
π è
dei numeri
fu dimostrata
la prima
volta nel 1844
da Joseph
1
trascendente,
mentre
dei numeri
con rigadie Liouville:
compasso è, come vedremo,
Liouville,
che l’insieme
mostrò alcuni
esempi,costruibili
tra cui la costante
1 +sottoinsieme
− + Σ∞
+ + = dei numeri algebrici. Questa corrispondenza tra le costruzioni realizzabili con
un
− a x ea xn
axa
riga
e un particolare sottoinsieme dei numeri algebrici merita di essere
=compasso
n
−=
approfondita…
n
1
n �� (1)
10 ! 0.110001000000000000000001000
dove n ≥k 1 e i coefficienti ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
tutti nulli.
… (2) di geometria Gli Elementi del matematico greco Euclide, vissuto intorno al
Il ktrattato
L’insieme
numeri
algebrici
è numerabile
l’insieme
di tutti(ad
i numeri
reali1,
è2, 6,storia
dove
l’n-esima
cifral’opera
dopo
lamatematica
virgola èmentre
uno
n èavuto
un fattoriale
esempio,
24, 120,
300 a.C., èdei
senza
dubbio
cheseha
maggiore
influenza
nella
non
numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
720, cultura.
..., etc.) e 0 altrimenti.
della nostra
è non numerabile,
cioè esistono
infinitamente
numeri trascendenti
Il primo numero
che si dimostrò
esserepiù
trascendente
senza che che
fossealgebrici.
stato
Gli
Elementi
cominciano
con
un
certo
numero
di
Comunque,
sono note soltanto
classifudienumeri
algebrici
e dimostrare
che un dato
appositamente
costruitopoche
per questo
(numero
di Nepero,
base dei logaritmi
naturali),
numeroquesto
è trascendente
può
essere
molto
difficile.
definizioni
e postulati,
soffermiamoci
sui
primi
tre.
risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
L’esistenza
dei numeri
trascendenti
fu dimostratabasata
per lasul
prima
volta nellavoro
1844 di
daHermite,
Joseph della
Lindemann
pubblicò
unache
dimostrazione,
precedente
Il primo
postulato
stabilisce
dati
nel la
piano
due punti
•Liouville,
che
mostrò
alcuni
esempi,
tra
cui
costante
di
Liouville:
trascendenza
π.
Q si possa di
tracciare
il segmento di retta che li
Σ∞ P eNel
1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per
congiunge.
=
l’esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor affermò
richiede
che tale
segmento
si possa
•− = Il secondo
che i numeri
trascendenti
sono un
Insieme Infinito
di livello superiore ( ) 1 �
all’infinito;
1 prolungare
a quello degli irrazionali algebrici ( ) 0 � , un Insieme Infinito, ma meno
terzo postula che si possa descrivere una
•10 !Il0.110001000000000000000001000
potente3.
k circonferenza
connumeri
qualsiasi
centro e raggio assegnati.
2.2.1 Alcuni
trascendenti
k … (2)
Le• ea
costruzioni
geometriche
permesse
dei tre
se a è algebrico
e diverso
da 0. Indall’uso
particolare,
lo stesso numero e è trascendente.
dove l’n-esima
cifra
dopovengono
la virgola classicamente
è uno se n è un fattoriale
postulati
definite (ad esempio, 1, 2, 6, 24, 120,
• π di
vediEuclide
(Pi greco)
720, ...,3etc.)
e 0 Cantor
altrimenti.
Georg
(1845–1918)
“costruzioni
con
riga e compasso”.
Il primo numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato
Tali costruzioni
un ruolo
centraledinei
primi base dei logaritmi naturali),
appositamente
costruitohanno
per questo
fu e (numero
Nepero,
libri
del
trattato
poiché
Euclide
non
considera
oggetti
di
cui Nel 1882, Ferdinand von
questo risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873.
Una pagina degli Elementi di Euclide
non
abbia
precedentemente
stabilito
l’esistenza
con
una
Lindemann pubblicò una dimostrazione, basata sul precedente lavoro
di Hermite,
nel codice
più famosodella
(Oxford,
esplicita
costruzione:
ad esempio, prima di dimostrare il Bodleian Library, Ms. d’Orville 301, f.
trascendenza
di π.
325 v., 888 d.C.)
teorema
Pitagora,
spiega
costruire unscritta
quadrato.
Nel 1874,diGeorg
Cantor
trovò come
l’argomentazione
sopra per
l’esistenza
e la non-numerabilità
dei numeri
affermò
Euclide
mostra
inoltre come con
riga etrascendenti.
compasso Cantor
si
che i numeri
trascendenti
sono un
Insieme Infinito
di livello
( ) 1 �il punto medio di
possano
costruire
il pentagono
e l’esagono
regolare,
come sisuperiore
possa trovare
aunquello
degli
irrazionali
algebrici
(
)
0
�
,
un
Insieme
Infinito,
ma
meno
segmento, come si possa bisecare un angolo.
potente3.
Il problema
delle
costruzioni con riga e compasso ha accompagnato gli sviluppi della
2.2.1 Alcuni
numeri
trascendenti
geometria
nella
Grecia
antica.
i matematici
i problemi
si presentavano
• ea se a è algebrico e diverso daPer
0. In
particolare,greci
lo stesso
numerogeometrici
e è trascendente.
non
nella(Piforma
• π vedi
greco)genericamente esistenziale, ma in quella costruttiva. La prima proposizione
3
Georg
Cantor
(1845–1918)
Pag. 7
Rev. 9/2007
•
3. Le costruzioni con riga e compasso
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
numero di
trascendente
un numero
irrazionale
che non
è un numero
degli Elementi
Euclide cièpresenta
subito
un problema
costruttivo:
“Sopra una data retta
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
polinomiale
dellautilizzata
forma: per
terminata (segmento) costruire un triangolo equilatero”. La geometria
era inoltre
1
0
0
risolvere quelli che per noi ora sono problemi algebrici.
1
1+−+++=
3.1 Riga
“ideali”
− a x a exncompasso
axa
n
n significa fare delle costruzioni con riga e compasso? Significa, a partire almeno da
Cosa
n ��
due punti
nel (1)
piano, compiere un numero finito di operazioni con due strumenti “ideali” che
dove
≥ 1 tracciare
e i coefficienti
numeri interi
(o, equivalentemente,
razionali),
non
sono la riga n(per
rette) ai
e sono
il compasso
(per tracciare
circonferenze).
Le operazioni
nulli.impiegate negli Elementi sono esclusivamente le seguenti cinque:
grafichetutti
di base
L’insieme dei numeri algebrici è numerabile mentre l’insieme di tutti i numeri reali è
due punti, tracciare
la retta
per essiche
(o,anche
per estensione,
prolungare
un
1. dati
non numerabile;
ciò implica,
comepassante
già accennato,
l’insieme dei
numeri trascendenti
segmento);
è non numerabile, cioè esistono infinitamente più numeri trascendenti che algebrici.
numeroComunque,
trascendentesono
è unnote
numero
irrazionale
che non
è un numero
soltanto
poche classi
di numeri
algebrici e dimostrare che un dato
due punti
A
esoluzione
B, tracciare
una circonferenza
di centro A e passante per B;
2. datiossia
algebrico,
non
è
la
di
nessuna
equazione
numero è trascendente può essere molto difficile.polinomiale della forma:
1 0 3.
0 determinare
l’eventuale
punto di intersezione
di due
L’esistenza dei
numeri trascendenti
fu dimostrata
perrette;
la prima volta nel 1844 da Joseph
1
Liouville, che mostrò alcuni esempi, tra cui la costante di Liouville:
gli eventuali punti d’intersezione di una circonferenza con una retta;
1 + 4.
− +determinare
++=
Σ∞
− a 5.
x a xn
= axa
determinare
gli eventuali punti d’intersezione di due circonferenze.
n
=
In− questo
senso si dice che le costruzioni contenute negli Elementi di Euclide sono
n
1mediante riga e compasso.
ottenute
n �� (1)
10 ! 0.110001000000000000000001000
come
debba interi
prescindere
dalla materialitàrazionali),
delle costruzioni
e dai
dove nSi≥kdeve
1 e i sottolineare
coefficienti ai
sonosinumeri
(o, equivalentemente,
non
livelli
di
approssimazione
che
attengono
all’uso
di
strumenti
meccanici:
la
teoria
delle
tutti nulli.
k … (2)
costruzioni
con
riga e compasso
rigorosamente
non
L’insieme
dei
numeri
algebrici
èènumerabile
di pratica.
tutti(ad
i numeri
reali1,è2, 6, 24, 120,
dove
l’n-esima
cifra dopo
la
virgola èmentre
unoteoretica
se l’insieme
n è un efattoriale
esempio,
non numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
..., etc.)
altrimenti.
Va720,
inoltre
dettoe 0che
la riga ed il compasso “ideali” con i quali si affrontano i problemi
è non numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
algebrici.
Il primo
numero
che si dimostrò
essere trascendente
senza che
stato ad apertura
non
metrici
la riga
graduata
ed ilfosse
compasso
costruttivi,
Comunque,
sonosono
note strumenti
soltanto
poche
classi(come
dienumeri
algebrici
e dimostrare
che un dato
appositamente
costruito
per
questo
fu
(numero
di
Nepero,
base
dei
graduata).
Ad esempio,può
il problema
della
costruzione di un segmento di logaritmi
lunghezzanaturali),
doppia
numeroquesto
è trascendente
essere
molto
difficile.
risultato
è di
stato
ottenuto data
da Charles
Hermite
nelcon
1873.
Nel 1882, Ferdinand
von
rispetto
ad
un
segmento
lunghezza
si
deve
risolvere
le
operazioni
sopra
elencate
L’esistenza
dei numeri
trascendenti
fu dimostratabasata
per lasul
prima
volta nellavoro
1844 di
daHermite,
Joseph della
Lindemann
pubblicò
una dimostrazione,
precedente
(segnatamente
la 3 ealcuni
la 4): non si può misurare il segmento e prolungarlo con un altro
Liouville,
che mostrò
trascendenza
di π. esempi, tra cui la costante di Liouville:
segmento
stessa
misura.
Σ∞
Neldella
1874,
Georg
Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per
=
l’esistenza
non-numerabilità
numeri trascendenti.
Cantor affermò
Non
è inoltree la
possibile
utilizzare dei
il cosiddetto
metodo d’inserzione,
cioè utilizzare il
−=
cheaperto
i numeri
un Insieme
di livello
)1�
compasso
pertrascendenti
trasportare sono
una certa
misuraInfinito
in un’altra
parte superiore
del piano(inserendola
per
1
a
quello
degli
irrazionali
algebrici
(
)
0
�
,
un
Insieme
Infinito,
ma
meno
tentativi in uno spazio opportuno. E comunque, in generale, non è possibile spostare il
10 ! 0.110001000000000000000001000
potente3.
compasso
aperto da una parte all’altra del piano.
k
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
Ricordiamo
in particolare
che, con
riga
compasso,lo
è possibile
costruire:
k … (2)
• ea se a è algebrico
e diverso
da 0.
In eparticolare,
stesso numero
e è trascendente.
dove l’n-esima
cifra
dopo
la
virgola
è
uno
se
n
è
un
fattoriale
(ad
esempio,
1, 2, 6, 24, 120,
•
π
vedi
(Pi
greco)
un segmento
AB, ed una semiretta di estremo C, un segmento CD sulla semiretta
•720,dato
...,3etc.)
e 0 Cantor
altrimenti.
Georg
(1845–1918)
avente
la stessa
di essere
AB (trasporto
di misura);
Il primo
numero
chelunghezza
si dimostrò
trascendente
senza che fosse stato
appositamente
costruito
per
questo
fu
e
(numero
di
Nepero,
dei logaritmi
naturali),
passante
per il punto;
• data una retta, ed un punto esterno ad essa, una parallela base
questo risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
data unapubblicò
retta, ed un
una perpendicolare
perlavoro
il punto;
•Lindemann
unapunto,
dimostrazione,
basata sul passante
precedente
di Hermite, della
trascendenza
di
π.
• dato un angolo α, ed una semiretta, un angolo, sulla semiretta, uguale ad α.
Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per
Inoltre
è possibile:
l’esistenza
e la
non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor affermò
che i numeri trascendenti sono un Insieme Infinito di livello superiore ( ) 1 �
• bisecare un segmento;
a quello degli irrazionali algebrici ( ) 0 � , un Insieme Infinito, ma meno
bisecare un angolo.
•potente3.
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
• ea se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
3.2
Divagazione:
la costruzione di poligoni regolari
• π vedi
(Pi greco)
3 Georg
Cantor (1845–1918)
Pag. 8
Rev.
9/2007
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
numero
trascendente
un numero irrazionale
cheriguarda
non è un le
numero
Un
problema
molto èinteressante,
per quanto
costruzioni con riga e
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
polinomiale
della forma:
compasso, è quello relativo al disegno di poligoni regolari. Esso è definibile
nei termini
1
0
0
seguenti: dato il lato l costruire un poligono regolare di N lati.
1
La1 +
costruzione
− + + + = si può facilmente realizzare per N=3, 4, 5, 6; ma già per N=7 e N=9
incontriamo
− a x difficoltà
a xn a x ainsormontabili (l’ettagono e l’ennagono regolare non sono costruibili).
n
Interessa dunque capire quali poligoni sono costruibili con riga e compasso e quali no.
n
Il ngiovane
�� (1)Gauss nel 1796 riuscì a dimostrare che, se p è un numero primo di Fermat,
allora ildove
poligono
con un ai
numero
p di latiinteri
è costruibile
con riga e compasso.
n ≥ 1regolare
e i coefficienti
sono numeri
(o, equivalentemente,
razionali), non
tutti nulli. che i numeri di Fermat sono espressi dalla formula F = 2 (2n ) + 1 e che solo
Ricordiamo
L’insieme dei numeri algebrici è numerabile mentre l’insieme dintutti i numeri reali è
i numerinon
ottenuti
per n =ciò
0,1,2,3,4
(i come
cui valori
sono rispettivamente
3, 5,17, 257,
numerabile;
implica,
già accennato,
che anche l’insieme
dei 65537)
numeri sono
trascendenti
stati sinora
verificati
esserecioè
primi.
è non
numerabile,
esistono infinitamente più numeri trascendenti che algebrici.
numeroComunque,
trascendente è unnote
numero
irrazionale
che non
è un numero
soltanto
poche
classi
di numeri
dato
costruibileche
se un
la sua
Gauss provò, sono
più in generale,
che
un poligono
regolarealgebrici
di N latie èdimostrare
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
polinomiale della forma:
numero
è
trascendente
può
essere
molto
difficile.
scomposizione
in fattori primi è del tipo
1 0 0 L’esistenza
dei numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph
k0 k1 k2
1
Liouville, che mostrò alcuni esempi,
di Liouville:
N = 2tra
p1cui
p2la costante
psks
(3)
1 + − + Σ∞
++=
− a x ak0xn
dove
=, k1a x kas sono numeri interi non negativi ed i fattori pi primi di Fermat a due a due
n
=
distinti.−Gauss
intuì anche che la condizione suddetta doveva essere anche necessaria, ma la
n
1
cosa venne provata solo più tardi da Pierre Wantzel, nel 1836.
n �� (1)
10 ! 0.110001000000000000000001000
Osservazione
dove n ≥k 1 e i coefficienti ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
tutti nulli.
… (2)
Inkbase
al Teorema di Gauss, sono costruibili con riga e compasso i poligoni regolari
L’insieme
deil’n-esima
numeri algebrici
è numerabile
di tutti(ad
i numeri
reali1,è2, 6, 24, 120,
dove
cifra dopo
la virgolasono
èmentre
uno
se l’insieme
n è unnegli
fattoriale
esempio,
aventi
3, 5, 6, 15 ciò
lati:implica,
costruzioni
esplicite
contenute
Elementi
dinumeri
Euclide.
non numerabile;
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
trascendenti
720, ..., etc.) e 0 altrimenti.
èNota
non storica
numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
algebrici.
Il primo numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato
Comunque,
sono note soltanto
poche
classifudienumeri
algebrici
e dimostrare
che un dato
per questo
(numero
di Nepero,
basefudei
logaritmi
Laappositamente
scoperta
dellacostruito
costruibilità
del difficile.
poligono
regolare
con 17 lati
effettuata
danaturali),
Gauss,
numero
è
trascendente
può
essere
molto
questo
risultato
è
stato
ottenuto
da
Charles
Hermite
nel
1873.
Nel
1882,
Ferdinand
von
allora
appena
il 30 marzo
1796, come
davolta
un’annotazione
sul
suo diario
L’esistenza
deidiciottenne,
numeri
trascendenti
fu dimostrata
per risulta
lasul
prima
nellavoro
1844 di
daHermite,
Joseph
Lindemann
pubblicò
una dimostrazione,
basata
precedente
della
personale.
La costruzione
del poligono regolare con 257 lati, estremamente lunga e laboriosa,
Liouville,
che
mostròdialcuni
trascendenza
π. esempi, tra cui la costante di Liouville:
èΣ∞
stata realizzata
F. J.Cantor
Richelot:
è oggetto
di un articolo,
pubblicato
Nel 1874, da
Georg
trovò
l’argomentazione
scritta
sopra pernel 1832 sul “Journal
für
die
reine
und
angewandte
Mathematik”
(vol.
9),
che
si
estende
per ben
194 pagine. Il caso
=
l’esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor
affermò
di
è stato trascendenti
trattato dal prof.
di Infinito
Lingen, di
Germania:
la costruzione,
− =65.537
chelati
i numeri
sonoJ.Hermes
un Insieme
livello superiore
( ) 1 � che porta
il
“Diario
della
suddivisione
del
cerchio”,
fu
da
lui
iniziata
il
4
novembre
1879 e
1 titoloadiquello
degli irrazionali algebrici ( ) 0 � , un Insieme Infinito, ma meno
terminata
dopo nove anni e mezzo, il 15 aprile 1889: essa occupa circa 250 fogli formato A1,
10 ! 0.110001000000000000000001000
potente3.
k è attualmente
ed
conservata
in una cassa presso il Seminario Matematico dell’Università di
2.2.1 Alcuni
numeri trascendenti
k
…
(2)
Göttingen,
• eaGermania.
se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
dove l’n-esima
dopo la virgola è uno se n è un fattoriale (ad esempio, 1, 2, 6, 24, 120,
• π vedi cifra
(Pi greco)
720, ...,3etc.)
e 0 Cantor
altrimenti.
Georg
(1845–1918)
3.3
Sull’impossibilità
delle
costruzioni
Il primo
numero che si dimostrò essere
trascendente
senza checlassiche
fosse stato greche
appositamente costruito per questo fu e (numero di Nepero, base dei logaritmi naturali),
noto che
- al ottenuto
di là delle
costruzioni
di nel
cui 1873.
trattano
Elementi
di Euclide
- i
questoÈrisultato
è stato
da Charles
Hermite
Nelgli
1882,
Ferdinand
von
matematici
si erano
posti problemibasata
complessi
di costruzione
solo nel della
XIX secolo,
Lindemann greci
pubblicò
una dimostrazione,
sul precedente
lavoroche
di Hermite,
successivamente
trascendenza di π.alla elaborazione della teoria dei campi ad opera di Galois, Abel ed altri,
Nel 1874,
Georg Cantor
l’argomentazione
scritta sopra
per naturale che, dopo Euclide,
sono
stati dimostrati
nontrovò
risolvibili
con riga e compasso.
È quindi
l’esistenza edi
la matematici
non-numerabilità
deichiesti
numeri
trascendenti.
Cantor
generazioni
si siano
quali
costruzioni
sianoaffermò
possibili con l’uso di questi
che i numeri
trascendenti
un Insieme
livello
( ) 1 �del XIX secolo.
particolari
strumenti.
Una sono
risposta
completaInfinito
è stata di
data
solo superiore
dai matematici
a quello degli irrazionali algebrici ( ) 0 � , un Insieme Infinito, ma meno
Tornando alla storia, già i matematici greci intuivano il fatto che molte costruzioni non
potente3.
siano
possibili
con iltrascendenti
solo uso di riga e compasso: la trisezione di un angolo, la duplicazione
2.2.1 Alcuni
numeri
del
cubo,
la
quadratura
del cerchio
costruzionelodell’ettagono
regolare
sono probabilmente
• ea se a è algebrico e diverso
da 0. eInlaparticolare,
stesso numero
e è trascendente.
gli
esempi
noti. Pappo, vissuto nel IV secolo d.C., distingue nella sua opera Collezione
• π vedi
(Pi più
greco)
3
Georg
Cantor
(1845–1918)
Pag. 9
Rev. 9/2007
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
numero
trascendente
è ,un
numerocon
irrazionale
che non è un
Matematica
i problemi
piani
risolubili
riga e compasso,
dainumero
problemi solidi, risolubili
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
della forma:
col metodo delle sezioni coniche, tra i quali colloca il problemapolinomiale
della trisezione
dell’angolo.
1
0
0
Ai matematici greci mancavano però i mezzi teorici per dimostrare l’impossibilità di tali
1
costruzioni e per giungere a classificare le costruzioni possibili.
1+−+++=
Uno
è avvenuto con la traduzione dei problemi classici in termini di
− a sviluppo
x a xn a xdecisivo
a
n
equazioni algebriche, mediante l’introduzione della geometria analitica, che identifica un
n piano con una coppia di numeri, le sue coordinate. Diremo che un numero è
punto del
n ��
(1) riga e compasso) se è una coordinata di un punto costruito con riga e
costruibile
(con
dove
n
≥ 1 e idai
coefficienti
ai sono
interinumeri
(o, equivalentemente,
razionali), non
compasso a partire
punti aventi
pernumeri
coordinate
interi.
tutti nulli.
razionalediè tutti
costruibile
cheèla
Cartesio
sostanzialmente
dimostra
che ogni numero
L’insieme
dei numeri algebrici
è numerabile
mentre l’insieme
i numeri, ereali
radice quadrata
di
un
numero
positivo
costruibile
è
ancora
costruibile.
Di
più:
un
numero
non numerabile; ciò implica, come già accennato, che anche l’insieme dei numeri trascendenti
costruibile
un’equazione
grado al più
avente
come che
coefficienti
è nonsoddisfa
numerabile,
cioè esistonodiinfinitamente
più due,
numeri
trascendenti
algebrici.dei
numeroComunque,
trascendente
è
un
numero
irrazionale
che
non
è
un
numero
numeri
precedentemente
costruiti
.
sono note soltanto poche classi di numeri algebrici e dimostrare che un dato
algebrico,
ossia ènon
è la soluzione di
nessuna
equazione
polinomiale della forma:
numero
trascendente
molto
difficile.che:
1837 Wantzel deducepuò
daiessere
risultati
di Cartesio
1 0 0 Nel
L’esistenza dei numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph
1un numero
Liouville,
che mostrò
alcuni
esempi, tradel
cuitipo
la costante
Liouville:
costruibile
soddisfa
un’equazione
f ( x) = 0di, dove
f è un polinomio avente
1 + − + Σ∞
++=
per grado una potenza di due e per coefficienti dei numeri razionali.
− a x a xn
= axa
n
Wantzel
dimostra anche che f è irriducibile e questo implica che il grado di ogni
−=
n
equazione
1 soddisfatta da un numero costruibile è divisibile per due. Questa proprietà dei
n �� (1)
10
! 0.110001000000000000000001000
numeri
costruibili
permetterà di dimostrare l’impossibilità della risoluzione di alcuni problemi
dove n ≥kdella
1 e igeometria
coefficienti
ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
classici
euclidea.
tutti nulli.
k … (2)
L’insieme
deil’n-esima
numeri algebrici
è numerabile
di tutti(ad
i numeri
reali1,è2, 6, 24, 120,
dove
cifra dopo
la virgola èmentre
uno se l’insieme
n è un fattoriale
esempio,
3.4
Approfondimento:
punti
costruibili
e
campo
euclideo
non numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
720, ..., etc.) e 0 altrimenti.
è non numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
algebrici.
Il primo numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato
Comunque,
sono
note soltanto
poche
classifudienumeri
algebrici
e dimostrare
checostruzioni
un dato
Avendo
in mente
la suddetta
connotazione
classica
problema
delle
con
appositamente
costruito
per questo
(numero
di del
Nepero,
base dei
logaritmi
naturali),
numero
è
trascendente
può
essere
molto
difficile.
riga
e compasso,
si
può
arrivare
ad
una
sua
rigorosa
formulazione
teorica
valendosi
dei
questo risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
L’esistenza
dei
numeri
trascendenti
fu
dimostrata
per
la
prima
volta
nel
1844
da
Joseph
pubblicò
una dimostrazione,
basata sempre
sul precedente
lavoro di Hermite,
della
metodi Lindemann
della geometria
analitica,
che permettono
di trasformare
un problema
Liouville,
che
mostrò
esempi, tra cui la costante di Liouville:
trascendenza
dialcuni
π. analitico.
geometrico
in un
problema
Σ∞
Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per
Utilizzando
della geometria
analitica
un qualsiasi
problema
=
l’esistenza ile linguaggio
la non-numerabilità
dei numeri
trascendenti.
Cantor
affermòdi costruzione
con
e compasso
può sempre formularsi
nei seguenti
− = rigache
i numeri trascendenti
sono un Insieme
Infinitotermini:
di livello superiore ( ) 1 �
1
a
quello
degli
irrazionali
algebrici
(
)
0
�
,
un
Insieme
Infinito,
ma meno
Dati più punti in un piano riferiti ad un sistema di coordinate
(definito
a partire dai punti
10 ! 0.110001000000000000000001000
potente3.
dati), stabilire se le coordinate di un ulteriore determinato punto sono ricavabili attraverso le
k
2.2.1 Alcuni
numerisopra
trascendenti
cinque
grafiche
enunciate.
k … (2)operazioni
• ea se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
dove l’n-esima
dopo la virgola
è uno se
n è sola
un fattoriale
(ad esempio,
1, 2, 6, 24,
π vedi cifra
(Pifacilmente
greco)
Si• dimostra
che l’utilizzo
della
riga consente
di raggiungere
tutti120,
e soli i
720,
...,
etc.)
e
0
altrimenti.
3
Georg
Cantor
(1845–1918)
punti le cui coordinate stanno nel “campo di razionalità” definito dalle coordinate dei punti
Il primo
si dimostrò
che fosse
dati,
valenumero
a dire che
eseguendo,
peressere
ogni trascendente
coppia a, b senza
di numeri
dati, stato
le operazioni algebriche
appositamente costruito per questo fu e (numero di Nepero, base dei logaritmi naturali),
⎛a⎞
questo
(a + b) risultato
, (a − b) ,è (stato
a ⋅ b)ottenuto
, ⎜ ⎟ . da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
b⎠
Lindemann pubblicò una ⎝dimostrazione,
basata sul precedente lavoro di Hermite, della
trascendenza
di
π.
Utilizzando un linguaggio più rigoroso, possiamo dare la seguente
Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per
l’esistenza e 1la non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor affermò
Definizione
che i numeri trascendenti sono un Insieme Infinito di livello superiore ( ) 1 �
Sia
F undegli
campo,
e sia Kalgebrici
una sua (estensione.
Un elemento
a Îma
K meno
si dice costruibile su F se
a quello
irrazionali
) 0 � , un Insieme
Infinito,
esiste
un’estensione
2-radicale
di
F
contenente
a
.
potente3.
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
• ea se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
• π vedi (Pi greco)
3 Georg
Cantor (1845–1918)
Pag. 10
Rev.
9/2007
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
numerodefinizione
trascendente
è un numero
irrazionaleeuclidea
che non del
è unpiano.
numeroRicordiamo che un
Questa
nasce
dalla geometria
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
polinomiale
della forma:
segmento si dice costruibile con riga e compasso se è possibile costruirlo
con un
1
0
0
procedimento che preveda unicamente le seguenti operazioni:
1
1 + − rette
+ + +tra= punti dati;
• tracciare
−
a
x
a
xn a x a
• tracciare circonferenze
con un dato centro e passanti per un dato punto;
n
• intersecare tali rette;
n
• intersecare
tali rette e tali circonferenze;
n �� (1)
• intersecare tali circonferenze.
dove n ≥ 1 e i coefficienti ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
Situtti
dicenulli.
che un numero reale a è costruibile, se è possibile costruire con riga e compasso
un segmento
avente
a . Naturalmente,
ciòmentre
ha senso
solo se di
si tutti
è fissato
nel piano
L’insieme
deilunghezza
numeri algebrici
è numerabile
l’insieme
i numeri
reali èun
segmento
di
lunghezza
unitaria.
non numerabile; ciò implica, come già accennato, che anche l’insieme dei numeri trascendenti
nondunque
numerabile,
cioè esistono
infinitamente più numeri trascendenti che algebrici.
Sièpuò
dimostrare
la seguente
numeroComunque,
trascendentesono
è unnote
numero
irrazionale
che non
è un numero
soltanto poche classi
di numeri
algebrici e dimostrare che un dato
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
Proposizione
1
numero è trascendente può essere molto difficile.polinomiale della forma:
1 0 0 L’esistenza dei numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph
Supponiamo
che a e b siano numeri reali costruibili. Allora i numeri (a + b) , (a − b) , (a ⋅ b) ,
1
Liouville, che mostrò alcuni esempi, tra cui la costante di Liouville:
1 + − + + + =⎛ a ⎞
e, se b ≠Σ∞
0 , ⎜ ⎟ , sono costruibili. In particolare, tutti i numeri razionali sono costruibili.
− a x a xn
= a x⎝ ba ⎠
n
−=
Si1dimostra poi che, con l’aggiunta del compasso, è possibile realizzare una “estensione
n
n �� (1)
quadratica
del campo di razionalità, costruendo per ogni numero a in esso contenuto il
10 !” 0.110001000000000000000001000
dove
n
≥
1
e
i
coefficienti
ai sono
numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
numerok a , vale
cioè anche
la seguente
tutti nulli.
k … (2)
L’insieme
deil’n-esima
è numerabile
di tutti(ad
i numeri
reali1,è2, 6, 24, 120,
Proposizione
2numeri algebrici
dove
cifra dopo
la virgola èmentre
uno se l’insieme
n è un fattoriale
esempio,
non numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
720, ..., etc.) e 0 altrimenti.
Se
il numero
reale
positivo
a
è
costruibile,
allora
lo
è
anche
a
.
è non
numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
algebrici.
Il primo numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato
Comunque,
sono note soltanto
poche
classifudienumeri
algebrici
e dimostrare
che un dato
appositamente
costruito
questo
base deisulle
logaritmi
naturali),
Dimostrazione:
Data una
retta per
passante
per il (numero
punto Adi
, siNepero,
costruiscano,
due semirette
numeroquesto
è trascendente
può
essere
molto
difficile.
risultato è stato ottenuto
daBCharles
Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
uscenti
da Adei
, rispettivamente
un punto
tale che
L’esistenza
numeri
trascendenti
fu dimostrata
perAB
lasul
prima
volta nellavoro
1844 di
daHermite,
Joseph della
Lindemann
pubblicò
una
dimostrazione,
basata
precedente
abbia
lunghezza
1 edalcuni
un punto
C tale
chela AC
abbiadi
Liouville,
che
mostrò
esempi,
tra
cui
costante
Liouville:
trascendenza
di π.
lunghezza
a. Si costruisca
il punto medio M del
Σ∞
Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per
segmento
BC
e
si
costruisca
una
circonferenza di centro
=
l’esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor affermò
M
passante
per
B
(e
quindi
avente
BCun
come
diametro).
−=
che i numeri trascendenti sono
Insieme
Infinito di livello superiore ( ) 1 �
Si
la perpendicolare
a BC
per A, (e )sia
P ,un
1 conduca
a quello
degli irrazionali
algebrici
0�
unsuo
Insieme Infinito, ma meno
punto
d’intersezione
con
la
circonferenza.
10 ! 0.110001000000000000000001000
potente3.
k
2.2.1 Alcuni
numeri trascendenti
Allora,
per il Teorema
di Talete, il triangolo BPC ha un angolo retto in P. Dal Secondo
k … (2)• ea se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
Teorema di Euclide segue allora che la lunghezza di AP è a.
dove l’n-esima
dopo la virgola è uno se n è un fattoriale (ad esempio, 1, 2, 6, 24, 120,
• π vedi cifra
(Pi greco)
Supponiamo
ora di
aver fissato nel piano un sistema di coordinate cartesiane, e che il
720, ...,
e 0 Cantor
altrimenti.
3etc.)
Georg
(1845–1918)
Il primo numero
che si dimostrò
trascendente
senza
chee fosse
segmento
di lunghezza
unitaria essere
sia quello
di estremi
(0,0)
(1,0).stato
Si tratta di costruire un
appositamente
costruito
per
questo
fu
e
(numero
di
Nepero,
base
dei
logaritmi
naturali),
prevede,
punto che abbia da esso distanza a dall’origine. Il procedimento con riga e compasso
questo
risultato
stato ottenuto
da Charles
nel una
1873.
Nel di
1882,
Ferdinand
vonottenuti
in
generale,
di èpervenire
a questo
punto Hermite
attraverso
serie
punti
intermedi,
Lindemann pubblicò
una dimostrazione,
basataèsul
precedente
lavorosolo
di Hermite,
della
intersecando
rette e circonferenze.
All’inizio
possibile
costruire
le circonferenze
che
trascendenza
di
π.
hanno (0,0) come centro e passano per (1,0) (o viceversa), e la retta congiungente (0,0) e
Nel 1874,
Georg
Cantor trovòe l’argomentazione
scritta
sopra per
(1,0).
Queste
circonferenze
questa retta hanno
equazioni
cartesiane con coefficienti tutti
l’esistenza
e
la
non-numerabilità
dei
numeri
trascendenti.
Cantor
razionali. Il punto d’intersezione di due rette aventi equazioni affermò
a coefficienti razionali è un
che i numeri
sono un Insieme
Infinitosono
di livello
superiore
( ) sistema
1�
punto
avente trascendenti
coordinate razionali,
poiché queste
le soluzioni
di un
lineare 2×2 a
a quello degli irrazionali algebrici ( ) 0 � , un Insieme Infinito, ma meno
coefficienti razionali. Le coordinate dei punti di intersezione di una retta e di una
potente3.
circonferenza
(equivalentemente,
2.2.1 Alcuni numeri
trascendenti di due circonferenze) a coefficienti in Q sono soluzioni di
equazioni
e quindi
ad lo
un’stesso
estensione
2-radicale
di Q. Pertanto, le
• ea se a è quadratiche,
algebrico e diverso
da appartengono
0. In particolare,
numero
e è trascendente.
• π vedi (Pi greco)
3 Georg
Cantor (1845–1918)
Rev.
9/2007
Pag. 11
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
numero
trascendente
è un
numero
che non è un numero
coordinate
dei punti
costruibili
con
riga e irrazionale
compasso appartengono
ad un’estensione 2-radicale
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione polinomiale della forma:
di Q. Lo stesso vale per le distanze tra due punti siffatti.
100
Possiamo
pertanto affermare che ogni numero reale positivo costruibile appartiene ad
1
un’estensione
di Q.
1 + − +2-radicale
++=
−
a
x
a
xn
a
x
a
Viceversa, supponiamo che il numero reale positivo a appartenga ad un’estensione 2n
radicale di Q. Allora, in base alle Proposizioni 1 e 2, a è costruibile. Abbiamo dunque
n
stabilito,n in
pieno
��
(1) accordo con la Definizione 1, il seguente
dove
Teorema
1 n ≥ 1 e i coefficienti ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
tutti nulli.
Un numero
reale èdei
costruibile
se e solo èsenumerabile
appartienementre
ad un’estensione
2-radicale
di Q.reali è
L’insieme
numeri algebrici
l’insieme di
tutti i numeri
non numerabile;
ciò implica,
come già accennato,
che
anche l’insieme
dei numeri
trascendenti
Applicando
un numero
finito qualsiasi
di estensioni
quadratiche
si giunge
al così detto
è
non
numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
algebrici.
“numero
campo trascendente
euclideo”. è un numero irrazionale che non è un numero
Comunque, sono
note soltanto poche classi di numeri algebrici e dimostrare che un dato
algebrico,
ossia
è la
soluzione
nessuna
equazione
della forma:
Innumero
base
a quanto
detto,
risultano
dunque
costruibili
i numeri seguenti:
ènon
trascendente
può di
essere
molto
difficile.polinomiale
1 0 0 L’esistenza dei numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph
5 + 2tra cui la costante di Liouville:
3
5 − 1 alcuni esempi,
1
Liouville,
che mostrò
1 + − +2Σ∞
++=
2
3 +1
− a x a xn
= axa
Si−dimostra
che:
n
=
n
Dati nel1 piano più punti riferiti ad un sistema di coordinate, ogni ulteriore punto cui si
n �� (1)
10 ! 0.110001000000000000000001000
perviene,
dai punti
dati,numeri
mediante
finito di operazioni
eseguite
dove n ≥k 1partendo
e i coefficienti
ai sono
interiun(o,numero
equivalentemente,
razionali),
non con la
riga
e
con
il
compasso,
ha
coordinate
che
appartengono
al
“campo
euclideo”
definito
da tali
tutti nulli.
k … (2)
dati.
L’insieme
deil’n-esima
numeri algebrici
è numerabile
di tutti(ad
i numeri
reali1,è2, 6, 24, 120,
dove
cifra dopo
la virgola èmentre
uno se l’insieme
n è un fattoriale
esempio,
non numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
720, ...,
e 0 analitici:
altrimenti.le coordinate dei “punti costruibili” sono soluzioni
Detto
in etc.)
termini
di
èequazioni
non numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
algebrici.
Il primo
numero
che
si
dimostrò
essere
trascendente
senza
che
fosse
stato
che hanno come minimo grado una potenza di 2.
Comunque,
sono note soltanto
classifudienumeri
algebrici
e dimostrare
che un dato
appositamente
costruitopoche
per questo
(numero
di Nepero,
base dei logaritmi
naturali),
Come
conseguenza
del
teorema
di
moltiplicazione
dei
gradi
per
le
estensioni
algebriche
numero
è
trascendente
può
essere
molto
difficile.
questo risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
successive,
ogni
estensione
2-radicale
di un campo
suprecedente
F volta
gradonel
pari
ad una
potenza della
di 2.
L’esistenza
dei numeri
trascendenti
fu dimostrata
perFlaha
prima
1844
daHermite,
Joseph
Lindemann
pubblicò
una dimostrazione,
basata
sul
lavoro
di
Dal
Teorema
1
discende
quindi:
Liouville,
che
mostrò
alcuni
esempi,
tra
cui
la
costante
di
Liouville:
trascendenza di π.
Σ∞
Nel 11874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per
Corollario
=
l’esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor affermò
−=
Il
gradoche
del ipolinomio
minimo disono
un numero
costruibile
sudiQlivello
è una potenza
numeri trascendenti
un Insieme
Infinito
superioredi(2.) 1 �
1
a quello degli irrazionali algebrici ( ) 0 � , un Insieme Infinito, ma meno
Inpotente3.
particolare, ogni numero costruibile è algebrico; esistono, però, anche numeri
10 ! 0.110001000000000000000001000
algebrici
nonAlcuni
costruibili
. trascendenti
k
2.2.1
numeri
k … (2)
• ea luce
se a èdi
algebrico
diverso da
0. Insiparticolare,
lo stesso
numero
e è nessun
trascendente.
Alla
quanto e appena
detto,
può quindi
affermare
che:
numero
dove
l’n-esima
cifra
dopo
la
virgola
è
uno
se
n
è
un
fattoriale
(ad
esempio,
1,
2,
6,
24,
120,
•
π
vedi
(Pi
greco)
trascendente è costruibile con riga e compasso. Questa osservazione sarà di fondamentale
720, ...,3etc.)
e 0 Cantor
altrimenti.
Georg
(1845–1918)
importanza
nella
“risoluzione”
del problema della quadratura del cerchio.
Il primo numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato
appositamente costruito per questo fu e (numero di Nepero, base dei logaritmi naturali),
questoProblemi
risultato è statoclassici
ottenuto daeCharles
Hermite nel impossibili
1873. Nel 1882, Ferdinand von
3.5
costruzioni
Lindemann pubblicò una dimostrazione, basata sul precedente lavoro di Hermite, della
trascendenza
di π. problemi, già affrontati dai matematici greci, che hanno impegnato
I più noti
Nel
1874,
Georg
Cantor trovò
l’argomentazione
scrittalasopra
per
generazioni di matematici
prima
che si dimostrasse
impossibilità
di risolverli con riga e
l’esistenza
e
la
non-numerabilità
dei
numeri
trascendenti.
Cantor
affermò
compasso, sono:
che i numeri trascendenti sono un Insieme Infinito di livello superiore ( ) 1 �
• ladegli
duplicazione
delalgebrici
cubo; ( ) 0 � , un Insieme Infinito, ma meno
a quello
irrazionali
potente3.
• la trisezione dell’angolo;
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
• ea•se acostruzione
è algebricodie particolari
diverso da poligoni
0. In particolare,
numero
e è trascendente.
regolari lo
(adstesso
esempio
l’ettagono)
• π vedi (Pi greco)
3 Georg
Cantor (1845–1918)
Pag. 12
Rev.
9/2007
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
numero
trascendente
è un numero irrazionale che non è un numero
la
quadratura
del cerchio.
algebrico, ossia non è la soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma:
100
3.5.1 Duplicazione
del cubo
1
1+−+++=
Si−tratta
a x a di
xncostruire
a x a con riga e compasso lo spigolo di un cubo che abbia volume doppio
di un cubo
n dato. Se l è lo spigolo del cubo dato, occorre costruire un segmento di lunghezza
3
2l . n
n �� (1)
Ladove
duplicazione
del cubo, in
termini
algebrici,
la risoluzione
dell’equazione
n ≥ 1 e i coefficienti
ai sono
numeri
intericomporta
(o, equivalentemente,
razionali),
non
3
0 ; questo
x − 2 =tutti
valore
non
sta
nel
“campo
euclideo”
delle
lunghezze
costruibili
con
riga e
nulli.
L’insieme
numeri
algebrici
numerabile
mentre quindi
l’insieme
di tutti dell’impossibilità
i numeri reali è
compasso
(poiché dei
3 non
è una
potenzaè di
2). Si individua
il motivo
non questa
numerabile;
ciò implica,
come
che anche l’insieme dei numeri trascendenti
di eseguire
costruzione
con l’uso
di già
rigaaccennato,
e compasso
è non numerabile, cioè esistono infinitamente più numeri trascendenti che algebrici.
numeroComunque,
trascendentesono
è unnote
numero
irrazionale
che non
è un numero
soltanto
poche classi
di numeri
algebrici e dimostrare che un dato
3.5.2
Trisezione
dell’angolo
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
numero è trascendente può essere molto difficile.polinomiale della forma:
1 0 0 L’esistenza dei numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph
Il problema richiede, dato un qualsiasi angolo φ, di suddividerlo in tre angoli uguali.
1
Liouville, che mostrò alcuni esempi, tra cui la costante di Liouville:
Sappiamo
1 + − + Σ∞
+ +dalla
= trigonometria che è
− a x a xn
= axa
⎛ϕ ⎞
⎛ϕ ⎞
3 tan ⎜ ⎟ − tan 3 ⎜ ⎟
n
−=
⎝3⎠
⎝3⎠
n
1
(4)
tan ϕ =
ϕ
⎛
⎞
n �� (1)
3
10 ! 0.110001000000000000000001000
1 − 3 tan ⎜ ⎟
dove n ≥k 1 e i coefficienti ai sono numeri interi (o, equivalentemente,
razionali), non
⎝3⎠
tutti nulli.
k … (2)
L’insieme
deil’n-esima
numeri algebrici
è numerabile
di tutti(ad
i numeri
reali1,è2, 6, 24, 120,
⎛ ϕmentre
⎞ se l’insieme
dove
cifra
dopo
n è unl’equazione
fattoriale
esempio,
Ponendo
dunque
=accennato,
tan⎜è uno
m = tan
ϕ la
e già
xvirgola
ottiene
cubica:
⎟ , siche
non numerabile;
ciò
implica,
come
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
720, ..., etc.) e 0 altrimenti.
⎝3⎠
è non numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
algebrici.
Il primo numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato
3
2
Comunque,
sono note soltanto
classi
e dimostrare
che un dato
3mx
xper
−questo
−fu3dixenumeri
+(numero
m = 0algebrici
(5)
appositamente
costruitopoche
di Nepero,
base dei logaritmi
naturali),
numeroquesto
è trascendente
può
essere
molto
difficile.
risultato
è stato
ottenuto da Charles
Hermite nel
1873.
Nel 1882,della
Ferdinand
von
che
(salvo casi
particolari)
è irriducibile;
cosa che
come
il nel
problema
trisezione
L’esistenza
dei numeri
trascendenti
fu dimostrata
perprova
lasul
prima
volta
1844 di
daHermite,
Joseph
Lindemann
pubblicò
una dimostrazione,
basata
precedente
lavoro
della
dell’angolo
non
sia (salvo
casi particolari) risolubile con riga e compasso (in quanto, di
Liouville,
che
mostrò
trascendenza
dialcuni
π. esempi, tra cui la costante di Liouville:
nuovo,
il
grado
dell’equazione
è una
potenza di due.scritta sopra per
Σ∞
Nel
1874,
Georg Cantornon
trovò
l’argomentazione
=
l’esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor affermò
−=
3.5.3
Costruzione
dell’ettagono
regolare
che i numeri trascendenti
sono un
Insieme Infinito di livello superiore ( ) 1 �
1
a quello degli irrazionali algebrici ( ) 0 � , un Insieme Infinito, ma meno
10 ! 0.110001000000000000000001000
2π
potente3.
Si2.2.1
trattaAlcuni
di costruire
con
riga
e
compasso
un
angolo
che
abbia
ampiezza
pari
a
,
k
numeri trascendenti
7
k … (2)• ea se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
dove l’n-esima
dopo launvirgola
è uno
n è un fattoriale
(ad2π
esempio,
1, 2, 6, 24, 120,
.
questo
equivale
a costruire
segmento
di se
lunghezza
pari a cos
• π vedi cifra
(Pi
greco)
7
720, ...,3etc.)
e 0 Cantor
altrimenti.
Georg
(1845–1918)
Il primo
numero
che
si
dimostrò
trascendente
fosse stato l’impossibilità della
L’ ettagono regolare non èessere
costruibile
con la senza
riga eche
il compasso,
appositamente costruito per questo fu e (numero di Nepero,
base
dei logaritmi naturali),
2π
questo risultato
è stato
ottenuto da Charles
Nel 1882,
x1 = 2 cosnel 1873.
≈ 1.2469
è unoFerdinand
zero del von
polinomio
costruzione
segue
dall’osservazione
che Hermite
7
Lindemann pubblicò una dimostrazione, basata sul precedente
lavoro di Hermite, della
3
2
irriducibile
trascendenzacubico
di π. f ( x) = x + x − 2 x − 1 . Di conseguenza questo polinomio è il polinomio
Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione
2πscritta sopra per
, mentreCantor
il grado
del polinomio minimo per
minimo
di
2
cos
l’esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti.
affermò
7
che i numeri trascendenti sono un Insieme Infinito di livello superiore ( ) 1 �
un numero
deve
esserema
unameno
potenza di 2.
a quello degli irrazionali algebrici
( ) 0 �costruibile
, un Insieme
Infinito,
•
potente3.
Le costruzioni che si trovano sui testi di disegno
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
geometrico sono tutte necessariamente approssimate. É ovvio
• ea se a è algebrico e diversoche,
da 0.aiInfini
particolare,
lo stesso numero
e è le
trascendente.
delle applicazioni
pratiche,
costruzioni proposte
• π vedi (Pi greco)
3 Georg
Cantor (1845–1918)
Pag. 13
Rev.
9/2007
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
è un numero
non è un numero
possononumero
esseretrascendente
sufficientemente
preciseirrazionale
e quindiche
accettabili,
ma certamente non sono
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
polinomiale della forma:
soddisfacenti da un punto di vista concettuale.
100
Analizziamone,
ad esempio, una molto diffusa: considerata la circonferenza O di raggio
1
pari a r,1se
+ −ne+tracci
+ + = il diametro AB; con centro in B e apertura BO si individuino i punti C e
D; CH è,
il lato dell’ettagono regolare inscritto.
− approssimativamente,
a x a xn a x a
n
Procedendo in questo modo, il lato (approssimato) dell’ettagono è uguale all’altezza di
n
3
π
n ��equilatero
(1)
un triangolo
di lato r, cioè l = r ⋅ sin =
r ≈ 0.86603 ⋅ r . Il valore esatto del lato
dove n ≥ 1 e i coefficienti ai sono numeri
6 interi
2 (o, equivalentemente, razionali), non
tutti nulli.
π
cercato L’insieme
è invece l dei
= 2rnumeri
⋅ sin algebrici
≈ 0.86777è ⋅numerabile
r . La differenza
sembra
minima
maiper
i matematici
mentre
l’insieme
di tutti
numeri
reali è
7
non numerabile; ciò implica, come già accennato, che anche l’insieme dei numeri trascendenti
è un’enormità!
è non numerabile, cioè esistono infinitamente più numeri trascendenti che algebrici.
numero
trascendente
è unnote
numero
che
è un numero
soltanto
poche da
classi
di numeri
dimostrare
che un
SeComunque,
si riporta ilsono
segmento
CH,irrazionale
a partire
A, non
nei
punti
1,algebrici
2, 3, 4, 5,e 6,
7, si constata
chedato
il
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
polinomialefosse
della esatta.
forma:
è trascendente
può dovrebbe
essere molto
difficile.
punto 7numero
non coincide
con A, come
essere
se la costruzione
1 0 0 L’esistenza dei numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph
Affrontiamo
adesso,
con
maggiori
dettagli,
famoso
dei problemi riguardanti le
1
Liouville, che
mostrò
alcuni
esempi,
tra cui il
la più
costante
di Liouville:
particolari
ammesse dalla geometria euclideo: la quadratura del cerchio.
1 + − + Σ∞
+ +costruzioni
=
− a x a xn
a
x
a
=
n
−=
n
1
n
��
(1)
10 ! 0.110001000000000000000001000
4.1
Divagazione:
la nascita di π
dove n ≥k 1 e i coefficienti ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
tutti nulli.
k … (2)
L’uso
dinumeri
π per indicare ilè rapporto
tra la circonferenza
e iltutti
suoi numeri
diametro
è abbastanza
L’insieme
dei
di
reali
dove
l’n-esimaalgebrici
cifra doponumerabile
la virgola èmentre
uno se l’insieme
n è un fattoriale
(ad esempio,
1,è2, 6, 24, 120,
recente:
risale
infatti
a
William
Jones
(1675-1649),
che
lo
usa
nel
1706
(un
anno
prima della
non numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
720, ..., etc.) e 0 altrimenti.
nascita
di primo
Euleronumero
acioè
cui si
deve
lainfinitamente
diffusione
delpiù
simbolo
matematici)
nella sua
è non numerabile,
esistono
numerinell’ambito
trascendenti
che
algebrici.
Il
che
si dimostrò
essere
trascendente
senza chedei
fosse
stato
opera
Synopsis
palmariorum
mathesios
or
A
New
Introduction
to
the
Mathematics.
Comunque,
sono note soltanto
classifudienumeri
algebrici
e dimostrare
che un dato
appositamente
costruitopoche
per questo
(numero
di Nepero,
base dei logaritmi
naturali),
Probabilmente
il
Jones
usò
questo
termine
perché
è
la
prima
lettera
di
perimetron.
Il
simbolo
numeroquesto
è trascendente
può
essere
molto
difficile.
risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand
von
appare,
nel citato
libro,
quasiuna
di dimostrazione,
soppiatto,
quando
trattando
dei
metodi
per trovare
L’esistenza
dei numeri
trascendenti
fu dimostrata
perl’autore,
lasul
prima
volta nellavoro
1844
daHermite,
Joseph
Lindemann
pubblicò
basata
precedente
di
della
aree
e lunghezze
scrive:
diametrotra
dicui
un la
cerchio
sta di
alla
circonferenza come 1 sta a
Liouville,
che mostrò
costante
Liouville:
trascendenza
dialcuni
π.... il esempi,
Σ∞
Nel 1874, Georg Cantor
l’argomentazione
scritta sopra per
4trovò
4 ⎞
⎛ 16
⎞ 1 ⎛ 16
=
−numeri
− ... = 3.14159
... = π affermò
(6)
l’esistenza e la non-numerabilità
Cantor
⎜ −
⎟ − ⎜ dei
⎟trascendenti.
3
239 3Infinito
−=
⎝ 5 239sono
⎠ 3un
⎝ 5Insieme
⎠
che i numeri trascendenti
di livello superiore ( ) 1 �
1
a quello degli irrazionali
algebriciSturm
( ) 0 �in, un
Insiemeenucleata
Infinito, ma
Precedentemente
già J.Christoph
Mathesis
del meno
1689 aveva usato,
10 ! 0.110001000000000000000001000
potente3.
forse
per primo, una singola lettera per designare il rapporto circonferenza/diametro: “si
k
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
diameter
alicuius circuli ponatur a, circumferentiam appellari posse ea (quaecumque enim
k … (2)• ea
se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
inter
fuerit ratio, dopo
illius nomen potest designari littera e)”.
dove eas
l’n-esima
• π vedi cifra
(Pi greco) la virgola è uno se n è un fattoriale (ad esempio, 1, 2, 6, 24, 120,
720, ...,
eusa
0 Cantor
altrimenti.
3etc.)
Georg
(1845–1918)
Eulero
inizialmente
p, ma poi, in Mechanica sive motus scientia analytice exposita
Il
primo
numero
che
si
dimostrò
trascendente
senza che fosse
stato
(1736) usa per la prima volta π. essere
Il simbolo
diventa praticamente
universale
quando lo stesso
appositamente
costruito
per
questo
fu
e
(numero
di
Nepero,
base
dei
naturali), huius
Eulero lo usa in Introductio in Analysin Infinitorum del 1748: “Satis logaritmi
liquet Peripheriam
questo risultato
è stato
ottenuto da
Charles
Hermite
nel 1873.
1882, Ferdinand
von inventa
Circuli
in numeris
rationalibus
exacte
exprimi
non posse,
perNel
approximationes
autem
Lindemann pubblicò una dimostrazione, basata sul precedente lavoro di Hermite, della
est ... esse = 3,14159...[fino a 128 cifre!], pro quo numero, brevitatis ergo, scribam π, ita ut
trascendenza di π.
sit
= Semicircumferentiae
Circuli, cuius Radius
1, seu
Nelπ1874,
Georg Cantor trovò l’argomentazione
scritta=sopra
per π erit longitudo Arcus 180
graduum”.
l’esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor affermò
4. Quadratura del cerchio
che i numeri trascendenti sono un Insieme Infinito di livello superiore ( ) 1 �
a quello
degli irrazionali
4.2
Cenni
storicialgebrici ( ) 0 � , un Insieme Infinito, ma meno
potente3.
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
• ea se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
• π vedi (Pi greco)
3 Georg
Cantor (1845–1918)
Rev.
9/2007
Pag. 14
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
trascendente
è un ènumero
irrazionale
che di
non
è un numero
Lanumero
quadratura
del cerchio
un classico
problema
matematica,
o più precisamente di
algebrico, ossia non geometria;
è la soluzione
di
nessuna
equazione
della forma:
esso può essere formulatopolinomiale
in questo modo:
100
Costruire, con riga e compasso, un quadrato equivalente ad
1
un cerchio di dato raggio.
1+−+++=
− a x a xn a x a
Il problema, che come abbiamo visto risale all’invenzione
n
della geometria e ha tenuto occupati i matematici per secoli,
n
richiede dunque che dato un cerchio di raggio r si costruisca il lato
n �� (1)
l di unaiquadrato
che abbia
area di tale cerchio.
dove n ≥ 1 e i coefficienti
sono numeri
interila(o,stessa
equivalentemente,
razionali), non
tutti nulli.
Quello della quadratura del cerchio è certamente il più
L’insieme dei numeri
algebrici
numerabile
l’insieme
tutti
i numeri reali
famoso
deièproblemi
di mentre
costruzione
con di
riga
e compasso,
perè il
non
numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
quale sono state proposte innumerevoli “false dimostrazioni”, al punto che esso è diventato
è
non
numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
algebrici.
una metafora per indicare un problema di impossibile soluzione.
numeroComunque,
trascendentesono
è unnote
numero
irrazionale
che non
è un numero
soltanto
poche classi
di numeri
algebrici e dimostrare che un dato
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
della
forma:
Tenendo
conto
che
si
può
provare
che
un
cerchio
è equivalente
ad un
triangolo avente
numero è trascendente può essere molto difficile.polinomiale
1
0
0
per baseL’esistenza
la circonferenza
e pertrascendenti
altezza il raggio,
il problema
è ovviamente
dei numeri
fu dimostrata
per la della
primaquadratura
volta nel 1844
da Joseph
1
equivalente
a quello
rettificazione
dellatracirconferenza,
della determinazione del
Liouville,
chedella
mostrò
alcuni esempi,
cui la costanteovvero
di Liouville:
1 + − + Σ∞
+tra
+ =la circonferenza e il suo raggio (o il suo diametro). In sostanza indicato con π il
rapporto
−
a
x
a
xn
a x tra
a la circonferenza e il diametro di un cerchio qualunque, si tratta di costruire
rapporto= C/d,
n
− = lungo π, a partire dal segmento unità.
un segmento
n
1
detto, il problema ha origini antichissime. Riportiamo qui di seguito alcune delle
n ��Come
(1)
10 ! 0.110001000000000000000001000
“soluzioni”
dove n ≥k 1 eproposte.
i coefficienti ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
tutti nulli.
k…
(2) (Libro I dei Re, 7, 23) si afferma che Salomone commissiona a Chiram di
• Nella
Bibbia
L’insieme
deil’n-esima
numeri algebrici
è numerabile
di tutti(ad
i numeri reali1,è2, 6, 24, 120,
dove
cifra dopo
virgola
èmentre
uno
se l’insieme
n èleunmisure:
fattoriale
Tiro un bacino di bronzo,
dellaquale
sono
indicate
“Fece esempio,
un bacino di metallo
non numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei numeri trascendenti
720,
..., etc.)
e 0da
altrimenti.
fuso
di
dieci
cubiti
un
orlo
all’altro,
rotondo;
la
sua
altezza
era
di
cinque
cubiti e la sua
è non numerabile,
cioè esistono
infinitamente
più
numeri trascendenti
algebrici.
Il primo numero
checubiti”
si dimostrò
essere
trascendente
senza che che
fosse
stato
circonferenza
di
trenta
(Questo
implica
che
π
è
approssimato
a
3).
Comunque,
sono note soltanto
classifudienumeri
algebrici
e dimostrare
che un dato
appositamente
costruitopoche
per questo
(numero
di Nepero,
base dei logaritmi
naturali),
numero
è
trascendente
può
essere
molto
difficile.
questo
risultato
è stato
ottenuto
da Cronache,
Charles Hermite
neltrova
1873.laNel
1882,
Ferdinand von
• Sempre
nella
Bibbia
(Libro
II della
4, 2) si
stessa
approssimazione
L’esistenza
deivasca
numeri
trascendenti
fu
perdieci
lasul
prima
volta
nellavoro
1844
da
Joseph
Lindemann
pubblicò
una
dimostrazione,
precedente
Hermite,
della
“...fece
la
di metallo
fuso
deldimostrata
diametrobasata
di
cubiti,
rotonda,
altadi
cinque
cubiti;
ci
Liouville,
che
mostrò
alcuni
esempi,
tra
cui
la
costante
di
Liouville:
trascendenza
voleva
una corda di
di π.
trenta cubiti per cingerla”.
Σ∞
Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per
•= Nel l’esistenza
papiro di eRhind
lo scriba Ahmes
2000
a.C.) avanza
l’ipotesi
che l’area di un
la non-numerabilità
dei (ca.
numeri
trascendenti.
Cantor
affermò
circolare
con
un
diametro
di
9
unità
sia
uguale
all’area
di
un
quadrato
di lato otto
− = campo
che i numeri trascendenti sono un Insieme Infinito di livello superiore ( ) 1 �
1 unità:
ciò significa
adottarealgebrici
per π il( )valore
circama3.16049,
a quello
degli irrazionali
0 � , un(16/9)2,
Insiemecioè
Infinito,
meno una ottima
10 !approssimazione.
0.110001000000000000000001000
Non abbiamo alcuna indicazione se Ahmes fosse consapevole del fatto
potente3.
k che 2.2.1
questaAlcuni
uguaglianza
solo approssimata: una delle costanti che si ritrovano in quello
numeriera
trascendenti
k …che
(2)•cieaèsepervenuto
a è algebrico
da 0.
In particolare,
lo stessodi
numero
e è trascendente.
dellae diverso
geometria
egiziana
è la mancanza
una netta
distinzione tra
doverelazioni
l’n-esima
cifra
la virgola
uno se n è un efattoriale
(ad esempio,
1, 2, 6,
• π vedi
(Pi greco)
esatte
edopo
relazioni
solo èapprossimate,
ciò è strettamente
legato
al 24,
fatto120,
che il
720,concetto
...,3etc.)
e
0
altrimenti.
Georg
Cantor
(1845–1918)
di “dimostrazione geometrica” era ancora ben lungi dall’essere acquisito.
Il primo numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato
•appositamente
I Babilonesi
adottavano
generalmente
l’approssimazione
già abbiamo
visto nella
costruito
per questo
fu e (numero
di Nepero, base(che
dei logaritmi
naturali),
Bibbia)
π
≈
3
,
ma
in
una
tavoletta
scoperta
a
Susa
nel
1936
è
stata
trovata
una
questo risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
Lindemann
pubblicò
una (era
dimostrazione,
basata sul
lavoro
di Hermite,
della tabelle)
interessante
tabella
una predilezione
deiprecedente
babilonesi
quella
di costruire
trascendenza
contenentediiπ.rapporti fra le aree e i quadrati dei lati dei poligoni regolari di tre, quattro,
Nelcinque,
1874, Georg
trovò
l’argomentazione
sopra
perfino alla seconda cifra. Nella
sei e Cantor
sette lati:
i valori
riportati sonoscritta
spesso
esatti
l’esistenza
e la non-numerabilità
deiilnumeri
trascendenti.
Cantordell’esagono
affermò
stessa tavoletta
viene riportato
rapporto
tra il perimetro
e la misura della
che circonferenza:
i numeri trascendenti
sono
un
Insieme
Infinito
di
livello
superiore
(
)
1
�
la traduzione in notazione moderne porta a concludere che
a quello degli irrazionali algebrici ( ) 0 � , un Insieme
1 Infinito, ma meno
l’approssimazione utilizzata per π fosse π ≈ 3 + , un valore abbastanza buono.
potente3.
8
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
• ea se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
• π vedi (Pi greco)
3 Georg
Cantor (1845–1918)
Pag. 15
Rev.
9/2007
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
numero trascendente
è un numero
irrazionale
che non
unbasano
numerosull’approssimazione
Le migliori
tecniche per calcolare
valori
approssimati
di πè si
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
polinomiale
forma:a.C.),
di un cerchio con poligoni regolari inscritti e circoscritti. Archimededella
(282-212
100
1
10
1 un poligono di 96 lati giunge al seguente risultato: 3 +
usando
< π < 3 + che può
7
71
1+−+++=
22
− a x a xn a x a
anche essere scritto π ≈
. Questo risultato, esatto fino alla seconda cifra, è presentato
n
7
nellan Proposizione 3 del trattato Sulla misurazione del cerchio.
n �� (1)
miglior approssimazione
nell’antichità è quella
di Claudio
• Probabilmente
dove n ≥ 1 elai coefficienti
ai sono numeri raggiunta
interi (o, equivalentemente,
razionali),
non
Tolomeo
che,
nell’Almagesto,
circa
150
d.c.,
propone
il
valore
377/120
(circa
3.14166),
tutti nulli.
ottenuto
utilizzando
il poligono
di 720mentre
lati: ill’insieme
passaggio
da 96
a 720reali
lati èha
L’insieme
dei numeri
algebriciregolare
è numerabile
di tutti
i numeri
provocato
l’aumentociò
di una
sola cifra
precisione!che anche l’insieme dei numeri trascendenti
non numerabile;
implica,
comenella
già accennato,
è non numerabile, cioè esistono infinitamente più numeri trascendenti che algebrici.
•numero
Un Comunque,
valore
sostanzialmente
identico
a quello
di numeri
viene eproposto
nelche
Pauliśha
trascendente
è unnote
numero
irrazionale
che non
èTolomeo
un numero
sono
soltanto
poche
classi
di
algebrici
dimostrare
un dato
Siddhānta,
di soluzione
astronomia
indiana,
datata
intorno
al 380
circa
d.C., e che ha
algebrico,
ossia opera
è la
nessuna
equazione
polinomiale
della
forma:
numero
ènon
trascendente
può di
essere
molto
difficile.
notevolmente
glifuinflussi
dellaper
matematica
alessandrina.
Il Joseph
valore
1 0 probabilmente
0 L’esistenza subito
dei numeri
trascendenti
dimostrata
la prima volta
nel 1844 da
è 3+177/1250.
valori sostanzialmente
identici
sono proposti dall’indiano
1 proposto
Liouville,
che mostròAncora
alcuni esempi,
tra cui la costante
di Liouville:
1 + Aryabhata,
− + Σ∞
+ + = operante intorno al 500, che usa anche il valore π ≈ 10 .
− a x a xn
= axa
anche, solo per ammirare la pazienza di calcolo di questi studiosi, i risultati di
•n Si riportano
−=
n Viéte
1 (1540-1603) che dette 9 cifre decimali esatte usando un poligono di 6·216 lati,
n ��
(1)
dell’olandese
Adriaen von Roomen (1561-1615) che arrivò a 15 cifre decimali con un
10 ! 0.110001000000000000000001000
dovepoligono
n ≥k 1 e idicoefficienti
sono numeri
interi von
(o, equivalentemente,
razionali),
non il calcolo
220 lati e,aiinfine,
di Ludolph
Ceulen (1539-1610)
che spinse
tuttifino
nulli.
35(2)
cifre decimali esatte.
ka…
L’insieme
deil’n-esima
numeri algebrici
è numerabile
mentre
di tutti(ad
i numeri
reali1,è2, 6, 24, 120,
dove
cifradecisamente
dopo
la virgola
uno se l’insieme
n èe un
fattoriale
esempio,
I calcoli divennero
più èsemplici
veloci
con l’avvento
delle
tecniche
non numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
720, ..., etc.) e 0 altrimenti.
dell’analisi
moderna
e
in
particolare
con
le
frazioni
continue,
le
serie
e
i
prodotti
infiniti.
È
è non numerabile,
cioè esistono
infinitamente
numeri trascendenti
Il primo numero
che si dimostrò
esserepiù
trascendente
senza che che
fossealgebrici.
stato
proprio
utilizzando
strategie
che algebrici
sidi arriva
prima
Comunque,
sono note queste
soltanto
poche
classi
e dimostrare
che dimostrazione
un dato
appositamente
costruitonuove
per questo
fudienumeri
(numero
Nepero,
base deialla
logaritmi
naturali),
dell’irrazionalità
di
π
e
successivamente
della
sua
trascendenza.
numeroquesto
è trascendente
può
essere
molto
difficile.
risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
L’esistenza
dei numeri
trascendenti
fu dimostrata
pernon
lasul
prima
volta
nellavoro
1844l’irresolubilità
daHermite,
Joseph della
pubblicò
basata
precedente
di
È Lindemann
doveroso
notare
cheuna
la dimostrazione,
sola
irrazionalità
poteva
garantire
del
Liouville,
che
mostrò
alcuni
esempi,
tra
cui
la
costante
di
Liouville:
trascendenza
di
π.
problema
della quadratura del cerchio: anche 2 è irrazionale, ma facilmente costruibile
Σ∞
Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per
come
diagonale del quadrato di lato 1.
=
l’esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor affermò
− = Molti
che i dei
numeri
trascendenti
sonosono
un Insieme
di livellofra
superiore
)1�
risultati
“moderni”
legati, Infinito
come vedremo
poco, (alla
scoperta di
1
a quello
degli
algebrici
( ) 0 � , della
un Insieme
Infinito,
Eulero
dei
legami
tra irrazionali
i due numeri
più “famosi”
matematica,
e ma
e π,meno
legami esprimibili
10 ! 0.110001000000000000000001000
potente3.
nella formula
eiπ + 1 = 0 (identità di Eulero).
k
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
k … (2)
I principali
in0.questi
studi sonolostati:
• ea se a è matematici
algebrico e coinvolti
diverso da
In particolare,
stesso numero e è trascendente.
dove l’n-esima
cifra
dopo
la
virgola
è
uno
se
n
è
un fattoriale (ad esempio, 1, 2, 6, 24, 120,
•
π
vedi
(Pi
greco)
Heinrich
Lambert (1728-1777) che dimostra, seppure in maniera non del tutto
•720,Johan
...,3etc.)
e 0 Cantor
altrimenti.
Georg
(1845–1918)
rigorosa
l’irrazionalità
di π (oltre
quella di e), senza
nella sua
Il primo
numero
che si dimostrò
esserea trascendente
che memoria
fosse statoVorläufige Kenntniße
für
die,
so
die
Quadratur
und
Rectification
des
Circuls
suchen,
presentatanaturali),
all’Accademia
appositamente costruito per questo fu e (numero di Nepero, base dei logaritmi
di Berlino
1761.
Il suodaragionamento
si basava
sulNel
fatto
che,
se x è un
questo
risultato nel
è stato
ottenuto
Charles Hermite
nel 1873.
1882,
Ferdinand
vonnumero
razionale
diverso
da
zero,
tan
x
deve
essere
irrazionale
e
viceversa,
cosa
da
lui
dimostrata
Lindemann pubblicò una dimostrazione, basata sul precedente lavoro di Hermite, della
π
π
trascendenza di π.
non può essere razionale,
in precedenza. Ma allora, visto che tan = 1 ∈ Q , segue che
Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione
scritta
sopra
per
4
4
l’esistenza
e la π.
non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor affermò
e così pure
che i numeri trascendenti sono un Insieme Infinito di livello superiore ( ) 1 �
Adrien
Marie
Legendre
(1752-1833)
completa
e ma
rende
rigorose le precedenti
•a quello
degli
irrazionali
algebrici
( ) 0 � , unche
Insieme
Infinito,
meno
dimostrazioni, dimostrando (nel 1794) che anche il quadrato di π è irrazionale (cioè π non
potente3.
è la
radicenumeri
quadrata
di un numero razionale). Vent’anni prima Euler aveva però suggerito
2.2.1
Alcuni
trascendenti
• eache
se aπè fosse
algebrico
e diverso
da 0. In particolare,
lo stesso numero
trascendente.
un numero
trascendente
e anche Legendre
coltivò elaèstessa
convinzione. Nei
• π vedi
(Pi
greco)
suoi Éléments de géométrie del 1794 si legge: “È probabile che il numero π non sia
3 Georg
Cantor (1845–1918)
Pag. 16
Rev.
9/2007
•
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
numero
trascendente
è un numero algebriche,
irrazionale che
un numero
neppure
contenuto
nelle irrazionalità
ossianon
cheè non
possa essere una radice di
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
polinomiale
della
forma:
un’equazione algebrica con un numero finito di termini, i cui
coefficienti
siano
razionali.
1
0
0
Pare però molto difficile dimostrarlo in modo rigoroso.”
1
1 + Liouville
− + + + =(1809-1882) che dimostra l’esistenza dei numeri trascendenti.
• Joseph
− a x a xn a x a
• Charles
n Hermite (1822-1901) che dimostra, nel 1873, la trascendenza di e (numero di
Nepero).
Questa scoperta non fece che infiammare nuovamente le discussioni sulla natura
n
di π.n ��
La dimostrazione
di Hermite fu successivamente rimpiazzata da quella fornita da
(1)
Georg
Cantor
(1873)
dove n ≥ 1 e i coefficienti ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
nulli.
• Carltutti
Louis
Ferdinand von Lindemann (1852-1939) che dimostra, nel
L’insieme
dei numeridialgebrici
è numerabile
l’insieme
di tuttie i numeri reali è
1882, la trascendenza
π. Viene
sfruttata mentre
una delle
più belle
non
numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
significative equazioni di tutta la matematica che Eulero aveva reso dei numeri trascendenti
è non
4 numerabile, cioè esistono infinitamente più numeri
ix trascendenti che algebrici.
famosa
.
Dapprima,
infatti,
egli
mostrò
che
l’equazione
non
e
+ 1 = 0e dimostrare
numero
trascendente
è
un
numero
irrazionale
che
non
è
un
numero
Comunque, sono note soltanto poche classi di numeri algebrici
che un dato
poteva
avereènon
soluzioni
algebriche;
poimolto
utilizzò
l’identità
di Eulero,
ossia
algebrico,
ossia
è la soluzione
nessuna
equazione
polinomiale
della
forma:
numero
trascendente
può di
essere
difficile.
1 0 0eiπ +L’esistenza
1 = 0 , dimostrando
che π non
poteva essere
dei numericosì
trascendenti
fu dimostrata
per laalgebrico.
prima voltaLanel 1844 da Joseph
1 dimostrazione
Liouville, che
mostrò alcuni
esempi,
tra cui la costante
di Liouville:
di Lindemann
fu molto
semplificata
da Weierstrass
(1885), e ulteriormente
1 + da
− +David
+
+
=
Σ∞ Hilbert (1893); infine fu resa quasi elementare da Hurwitz e Gordan.
− a x a xn
= axa
Ricordando
che nessun numero trascendente è costruibile con riga e compasso,
n
−=
possiamo
affermare
che π non è costruibile. L’interesse della scoperta è epocale: infatti se ne
n
1
n �� (1)
deduce
che,
a maggior ragione, π è trascendente e quindi non costruibile (infatti se π
10
! 0.110001000000000000000001000
dove n ≥k 1 e i coefficienti ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
fosse algebrico allora anche π ⋅ π = π risulterebbe algebrico). Ma π è la lunghezza del
tutti nulli.
k … (2)
lato
di un quadrato
avente
la stessa
area di una circonferenza
didiraggio
L’insieme
deil’n-esima
numeri
algebrici
è numerabile
tutti(ad
i unitario.
numeri
reali1,è2, 6, 24, 120,
dove
cifra dopo
la virgola èmentre
uno se l’insieme
n è un fattoriale
esempio,
non numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
La720,
fondamentale
che
..., etc.) e 0conclusione,
altrimenti. basata sulle proprietà di particolari insiemi numerici,
èmise
nonfine
numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
algebrici.
Il primo
chee si
dimostrò
esserefantasiosi
trascendente
senza èche
fosse stato
a secolinumero
di inutili
spesso
fin troppo
tentativi,
la seguente
Comunque,
sono note soltanto
classifudienumeri
algebrici
e dimostrare
che un dato
appositamente
costruitopoche
per questo
(numero
di Nepero,
base dei logaritmi
naturali),
Proposizione
3risultato può
numeroquesto
è trascendente
essere
molto
difficile.
è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
L’esistenza
dei numeri
trascendenti
fu dimostrata
per lasul
prima
volta nellavoro
1844 di
daHermite,
Joseph della
Lindemann
pubblicò
una dimostrazione,
basata
precedente
Non
è possibile
quadrare
il cerchio
con
riga e compasso.
Liouville,
che
mostrò
alcuni
esempi,
tra
cui
la
costante
di
Liouville:
trascendenza di π.
Σ∞
Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per
=
4.3
Considerazioni
riassuntive
finali
l’esistenza e la non-numerabilità
dei numeri
trascendenti. Cantor affermò
−=
che i numeri trascendenti sono un Insieme Infinito di livello superiore ( ) 1 �
1
a quello degli
algebrici
)0�
un Insieme Infinito,
ma meno
Abbiamo
visto irrazionali
che solo nel
1882, (con
la ,dimostrazione
della trascendenza
di π, che
10
!
0.110001000000000000000001000
potente3.
l’impossibilità del problema relativo alla quadratura del cerchio venne provata rigorosamente,
k
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
k … (2)• ea se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
4
dove l’n-esima
cifra
dopo
la virgola
è uno
n è unestensione
fattorialedei(ad
esempio,
2, 6, 24,
120, ai
Poiché
il campo
dei numeri
complessi
è lase
naturale
numeri
reali, è1,possibile
estendere
• π vedi
(Pi greco)
720, ...,complessi
e 0laCantor
altrimenti.
numeri
funzione(1845–1918)
esponenziale, utilizzando la definizione
3etc.)
Georg
n
Il primo numero che si dimostrò essere trascendente
⎛ x ⎞ senza che fosse stato
x
appositamente costruito per questoefu=elim
(numero
⎜1 + ⎟di Nepero, base dei logaritmi naturali),
n→∞
n ⎠ nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
questo risultato è stato ottenuto da Charles⎝Hermite
eLindemann
sostituendo apubblicò
x (numerouna
reale),
z = x + iy (numero
complesso).
dimostrazione,
basata
sul precedente lavoro di Hermite, della
La Formula
di Eulero fornisce una importante proprietà della funzione esponenziale in campo complesso,
trascendenza
di π.
si
può1874,
infattiGeorg
dimostrare
che introvò
base alla
definizione si ha: scritta sopra per
Nel
Cantor
l’argomentazione
e z numeri
= e x (costrascendenti.
y + i sin y ) Cantor affermò
l’esistenza e la non-numerabilità dei
x
che i enumeri
sono
un che
Insieme
Infinito
livelloesponenziale
superiore (reale;
) 1 �y rappresenta sempre
dove
= f ( xtrascendenti
+ i 0) è la parte
reale
coincide
con la di
funzione
al'angolo
quelloespresso
degli irrazionali
algebrici
(
)
0
�
,
un
Insieme
Infinito,
ma
meno
in radianti.
potente3.
La formula di Eulero mostra una profonda relazione fra le funzioni goniometriche e la funzione
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
iπ
esponenziale complessa. L'identità di Eulero, e + 1 = 0 , che viene considerata una delle più belle relazioni
•della
ea se
a
è
algebrico
e
diverso
da
0.
In
particolare,
matematica, è un caso particolare di questa formula. lo stesso numero e è trascendente.
• π vedi (Pi greco)
3 Georg
Cantor (1845–1918)
Pag. 17
Rev.
9/2007
Franco Fusier
Note sulla quadratura del cerchio
numero
trascendente
è un numero
irrazionale
non èbene,
un numero
anche se
i geometri
dell’antichità
avevano
afferratoche
molto
sia intuitivamente che in
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
polinomiale della forma:
pratica, la sua intrattabilità.
100
Si1deve notare che è solo la limitazione ad usare una riga (non graduata) e un compasso
che rende
1 +il−problema
+ + + = difficile. Se si possono usare altri semplici strumenti, come ad esempio
qualcosa− ache
una spirale archimedea, allora non è così difficile disegnare un
x apuò
xn adisegnare
xa
n
quadrato ed un cerchio di area uguale.
n
Una
soluzione
richiede la costruzione del numero π , e l’impossibilità di ciò deriva
n ��
(1)
dal fattodove
chen π≥ è1 euni coefficienti
numero trascendente
(noninteri
ottenibile
cioè mediante alcuna
equazione
ai sono numeri
(o, equivalentemente,
razionali),
non
tutti
nulli.
algebrica
a coefficienti
razionali, non importa di quale grado), ovvero non-algebrico, e quindi
L’insieme
dei numeri
algebrici
è numerabileCiò
mentre
di tutti
reali è
–a maggior
ragione–
sicuramente
non-costruibile.
nonl’insieme
implica però
chei numeri
sia impossibile
ciòun’area
implica,anche
come estremamente
già accennato,vicina
che anche
dei numeri
costruirenon
unnumerabile;
quadrato con
(ma l’insieme
non uguale)
a quellatrascendenti
del
è
non
numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
algebrici.
cerchio dato. Osserviamo che il quadrato cercato ovviamente esiste, non può però essere
numeroComunque,
trascendente
è unnote
numero
irrazionale
che
non
è un
numero
sono
soltanto
poche
di numeri
algebrici e dimostrare che un dato
determinato
con le costruzioni
ammesse
dallaclassi
geometria
euclidea.
algebrico,
ossia
non
è
la
soluzione
di
nessuna
equazione
polinomiale
della forma:
numero è trascendente può essere molto difficile.
dimostrazione
rigorosa
che
la
quadratura
(matematica)
del
cerchio
è impossibile
non
1 0 0 LaL’esistenza
dei numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta nel
1844 da Joseph
1 impedito
ha
a molti
spendere
sulcostante
problema.
La futilità di dedicarsi a tale
Liouville,
che“spiriti
mostròliberi”
alcunidiesempi,
traanni
cui la
di Liouville:
1 + − + Σ∞
+ +ha= portato ad usare il termine in contesti totalmente slegati, dove è usato
esercizio
− a x a xn
semplicemente
= a x a per indicare qualcosa di senza speranza, senza significato o un’impresa vana.
n
−=
n
1
n �� (1)
10 ! 0.110001000000000000000001000
dove n ≥k 1 e i coefficienti ai sono numeri interi (o, equivalentemente, razionali), non
tutti nulli.
k … (2)
L’insieme
deil’n-esima
numeri algebrici
è numerabile
di tutti(ad
i numeri
reali1,è2, 6, 24, 120,
dove
cifra dopo
la virgola èmentre
uno se l’insieme
n è un fattoriale
esempio,
non numerabile;
ciò
implica,
come
già
accennato,
che
anche
l’insieme
dei
numeri
trascendenti
720, ..., etc.) e 0 altrimenti.
è non numerabile,
cioè
esistono
infinitamente
più
numeri
trascendenti
che
algebrici.
Il primo numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato
Comunque,
sono note soltanto
classifudienumeri
algebrici
e dimostrare
che un dato
appositamente
costruitopoche
per questo
(numero
di Nepero,
base dei logaritmi
naturali),
numeroquesto
è trascendente
può
essere
molto
difficile.
risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
L’esistenza
dei numeri
trascendenti
fu dimostratabasata
per lasul
prima
volta nellavoro
1844 di
daHermite,
Joseph della
Lindemann
pubblicò
una dimostrazione,
precedente
Liouville,
che
mostrò
alcuni
esempi,
tra
cui
la
costante
di
Liouville:
trascendenza di π.
Σ∞
Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per
=
l’esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor affermò
−=
che i numeri trascendenti sono un Insieme Infinito di livello superiore ( ) 1 �
1
a quello degli irrazionali algebrici ( ) 0 � , un Insieme Infinito, ma meno
10 ! 0.110001000000000000000001000
potente3.
k
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
k … (2)• ea se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
dove l’n-esima
dopo la virgola è uno se n è un fattoriale (ad esempio, 1, 2, 6, 24, 120,
• π vedi cifra
(Pi greco)
720, ...,3etc.)
e 0 Cantor
altrimenti.
Georg
(1845–1918)
Il primo numero che si dimostrò essere trascendente senza che fosse stato
appositamente costruito per questo fu e (numero di Nepero, base dei logaritmi naturali),
questo risultato è stato ottenuto da Charles Hermite nel 1873. Nel 1882, Ferdinand von
Lindemann pubblicò una dimostrazione, basata sul precedente lavoro di Hermite, della
trascendenza di π.
Nel 1874, Georg Cantor trovò l’argomentazione scritta sopra per
l’esistenza e la non-numerabilità dei numeri trascendenti. Cantor affermò
che i numeri trascendenti sono un Insieme Infinito di livello superiore ( ) 1 �
a quello degli irrazionali algebrici ( ) 0 � , un Insieme Infinito, ma meno
potente3.
2.2.1 Alcuni numeri trascendenti
• ea se a è algebrico e diverso da 0. In particolare, lo stesso numero e è trascendente.
• π vedi (Pi greco)
3 Georg
Cantor (1845–1918)
Pag. 18
Rev.
9/2007