Infiniti non numerabili
Georg Cantor (1845–1918) mostrò, con un nuovo tipo di ragionamento matematico, che
esistevano infiniti più grandi di quello dei numeri razionali: infiniti non numerabili.
I numeri Reali, che comprendono i numeri irrazionali (cioè quelli che non si possono scrivere
come frazioni; ovvero hanno infinite cifre decimali non periodiche) non possono essere enumerati
in modo sistematico: sono un infinito non numerabile. Cantor lo dimostrò come segue.
Ammettiamo per assurdo che i numeri Reali possano essere enumerati (cioè siano un insieme
numerabile). Ciò significa che deve essere possibile metterle in corrispondenza biunivoca un
qualsiasi loro intervallo con i numeri Naturali; se questo intervallo non è numerabile a maggior ragione
non potrà esserlo l’intero insieme R.
Consideriamo allora tutti i numeri Reali compresi nell’intervallo (0,1), con tutte le loro cifre
decimali, e mettiamo in corrispondenza ognuno di essi con un numero Naturale. L’ elenco
potrebbe presentarsi così:
1
2
3
4
5
6
0,234567891……
0,575603737…..
0,463214516….
0,846216388 ....
0,562194632 ....
0,466732271 ….
ecc.
Ora generiamo un nuovo numero decimale prendendo la prima cifra dopo la virgola del primo
numero, la seconda cifra del secondo numero, e così via all'infinito. Le cifre da usare come cifre del
nostro nuovo numero sono quelle sottolineate. li nuovo decimale comincia quindi così
0,273292 ….
Adesso ricaviamo da questo un ulteriore nuovo decimale aggiungendo 1 a ciascuna delle sue
infinite cifre. Otteniamo
0,384303 …..
Quest'ultimo numero non può comparire in nessun punto dell' originario elenco ordinato di tutti i
decimali che abbiamo ammesso debba esistere. Infatti deve sempre differire da ciascun numero
dell'elenco per almeno una delle sue cifre poiché è stato costruito esplicitamente con questo
criterio. Pertanto l’intervallo (0,1) di R non è numerabile e dunque, a maggior ragione, non lo e
l’intero R. Tale insieme è infinitamente maggiore di quelli dei numeri Naturali o dei Razionali.
La scoperta di Cantor - che vi sono infiniti di differenti “dimensioni” e che possono essere distinti
in modo totalmente privo di ambiguità - fu una delle grandi scoperte della storia della matematica.
Fu anche un passo in aperto contrasto con l'opinione prevalente.
