Numeri algebrici e trascendenti

Numeri algebrici e trascendenti − Autore: dott. RUGGIERO Domenico
Numeri algebrici e trascendenti.
1.1 Numeri algebrici e trascendenti: definizioni ed esempi.
1.1.1 DEFINIZIONE Si dice che un numero x è algebrico se esso soddisfa l’equazione
algebrica Pn ( x) = 0, n ≠ 0 essendo Pn ( x) = a n x n + a n−1 x n −1 + .... + a 0 =
n
∑ ak x k con ak∈
,
k =0
k=0, 1, …, n .
Un numero non algebrico è detto trascendente.
Evidentemente gli ak della definizione 1.1.1 sono supposti non tutti nulli in quanto
Pn ( x) = 0 è un’equazione e non un’identità che, altrimenti, sarebbe verificata da qualsiasi
numero.
Senza perdita di generalità, si possono supporre gli ak della DEFINIZIONE 1.1.1 come interi
relativi poiché, se così non fosse, basterebbe moltiplicare ambo i membri dell’equazione per il
mimino comune multiplo dei denominatori (minimo comun denominatore) per avere una
equazione a coefficienti interi equivalente a quella data.
Supponiamo, dunque, che ak∈ , k=0, 1, …, n salvo diversa specificazione.
1.1.2 DEFINIZIONE Si dice che un numero x è algebrico di grado n se soddisfa un’equazione
di grado n ma non una di grado minore.
In altre parole x è algebrico di grado n se Pn ( x) = 0, n ≠ 0 e non esiste alcun m<n tale che
Pm ( x) = 0 ovvero se n è il più piccolo numero naturale (non nullo) per cui Pn ( x) = 0 .
Esempi 1.1.3
(1) Ogni numero razionale è algebrico di grado 1. Infatti, considerato x =
a
∈
b
(b≠0), è
evidente che x verifica l’equazione bx−a=0.
(2) Il numero (reale) irrazionale x = 2 è algebrico di grado 2 in quanto soddisfa
l’equazione x 2 − 2 = 0 . Più in generale ciò vale per ogni numero x = a , a∈ in quanto
un siffatto numero verifica l’uguaglianza x 2 − a = 0 .
(3) Ogni immaginario puro del tipo x = − a = i a , a∈
è algebrico di grado 2 in quanto
soddisfa l’equazione x 2 + a = 0 .
(4) Tenendo conto degli esempi (2), (3) si conclude che ogni numero x = n a , a∈ è algebrico di grado n poiché verifica l’equazione x n + a = 0 .
3
πi
e2
1
2
2
= cos( π) + i sin( π) = − (1 − i 3 ) è algebrico poiché verifica
2
3
3
2
l’equazione x + x + 1 = 0 . Il suo grado di algebricità è 2. In modo analogo è possibile
determinare altri numeri complessi algebrici.
(6) Se x, y sono due numeri algebrici allora anche x+y ed xy sono algebrici.
(7) Sia x=e (numero di Neper). In questo caso non è possibile ottenere Pn ( x) = 0 comunque
si scelga n. Dunque, il numero e è trascendente. Analogo discorso vale per x=π.
(5) Il numero x =
1
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Altri esempi sui numeri trascendenti ed approfondimenti su quelli introdotti nell’esempio
precedente (punto (7)), vengono dati in seguito.
Adesso richiamiamo un risultato riguardante i numeri algebrici che consente di verificare
l’affermazione fatta nell’esempio (6) precedentemente trattato.
Indichiamo con A⊆ l’insieme dei numeri algebrici.
1.1.4 PROPOSIZIONE A è un sottocampo di .
Per la dimostrazione di tale risultato rinviamo, ad esempio, a [PC] (teorema 6.1.18, pag. 316)
od anche ad [He] (teorema5.1.4, pag. 231).
Si noti che la proposizione 1.1.4 vale anche sostituendo a l’insieme dei numeri reali che è
un suo sottoinsieme (ed è anche un suo sottocampo).
Nel seguito tratteremo, in particolare, numeri reali anche se, salvo diversa specificazione, con
numero s’intenderà indifferentemente numero reale o numero complesso.
1.1.5 Osservazione Dalle considerazioni svolte precedentemente è evidente che il concetto di
algebricità (sancito dalla DEF. 1.1.1) è relativo alla scelta dei coefficienti ak nell’equazione
Pn ( x) = 0 .
Infatti se, ad esempio, scegliessimo gli ak∈ , k=0, 1, …, n, si avrebbero e, π algebrici di
grado 1 poiché annullerebbero le equazioni (di grado minimo tra le possibili):
x−e=0; x−π=0.
Nella DEF. 1.1.1 (cui continuiamo a far riferimento nel seguito) si è sottinteso algebrico sui
razionali.
1.2 L’esistenza di numeri trascendenti.
Anche se abbiamo già introdotto due numeri trascendenti, in questa breve sezione proviamo
l’esistenza di numeri non algebrici per poi procedere alla dimostrazione della trascendenza
dei numeri e, π e a fornire altri esempi di numeri trascendenti.
Per procedere occorre premettere la seguente definizione.
1.2.1 DEFINIZIONE Si definisce rango (rank) dell’equazione Pn ( x) = 0 la quantità:
N=n+ a0 +…+ a n = n +
n
∑ ak
.
k =0
Il minimo valore di N è 2. Infatti è evidente che le equazioni a coefficienti intere di rango
minimo sono: x=0; −x=0.
Qui di seguito, proviamo alcuni risultati che ci consentono di avere informazioni sull’insieme
A dei numeri algebrici e su quello dei numeri trascendenti.
1.2.2 TEOREMA L’insieme A è numerabile.
( mN )
Dimostrazione C’è solo un numero finito di equazioni E N(1) , E N( 2) ,....., E N
di rango N dove
la notazione E N(i ) indica l’i-esima equazione tra tutte quelle di rango N.
Possiamo ordinare tutte le equazioni a coefficienti interi in un aggregato (insieme) secondo la
seguente sequenza:
2
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( m2 )
E 2(1) , E 2( 2) ,....., E 2
( m3 )
, E3(1) , E3( 2) ,....., E3
( m4 )
, E 4(1) , E 4( 2) ,....., E 4
, E5(1) ,...............
per cui è possibile stabilire una corrispondenza (biuniovoca) tra gli indici di questi insiemi e i
numeri naturali cosicché l’insieme delle equazioni a coefficienti interi (razionali) è
numerabile.
Ma ogni numero algebrico corrisponde ad almeno una di queste equazioni ed il totale dei
numeri algebrici corrispondenti ad ogni equazione è un numero finito. Poiché l’unione finita
di insiemi numerabili è numerabile, si ha la conclusione.
In modo più “sbrigativo”, il teorema 1.2.2. può essere provato dicendo che, poiché l’insieme
delle equazioni a coefficienti interi (razionali) è numerabile e ad ogni equazione
corrispondono un numero finito di soluzioni ed essendo numerabile l’unione finita di insiemi
numerabili, ne segue che A è numerabile.
Come conseguenza di questo risultato si ha che il complementare di A ha la potenza del
continuo (cardinalità di ) ome stabilisce il seguente risultato cui fa seguito una
dimostrazione “più elegante” di quella appena data.
1.2.3 COROLLARIO Quasi tutti i numeri sono trascendenti.
Dimostrazione Per il teorema 1.2.2, l’insieme A è numerabile cosicché esso ha misura di
Lebesgue nulla. Ciò non vale, pertanto, per il suo complementare che è l’insieme dei numeri
trascendenti che ha, dunque, la potenza del continuo. Ne segue la tesi.
1.3 Il teorema di Liouville. Costruzione di numeri trascendenti.
In questa sezione dimostriamo il teorema di Liouville che consente di costruire numerosi
esempi di numeri trascendenti detti, appunto, numeri di Liouville. Da un altro lato questo
teorema costituisce una variante alla teoria della frazioni continue (cfr., ad esempio, [HW])
nello studio dell’approssimabilità di numeri irrazionali mediante razionali.
Per una migliore comprensione di tale risultato, richiamiamo il concetto di approssimabilità di
irrazionali mediante razionali.
1.3.1 DEFINIZIONE Si dice che un numero (irrazionale) ξ è approssimabile mediante
p
K (ξ )
razionali all’ordine n se la disequazione
− ξ < n ammette un’infinità di soluzioni e
q
q
dove K=K(ξ) è un numero dipendente solo da ξ e
p
∈ .
q
Ciò premesso possiamo enunciare il teorema che ci eravamo proposti di dimostrare.
1.3.2 TEOREMA (di Liouville) Un numero reale algebrico di grado n non è approssimabile
ad alcun ordine maggiore di n.
Dimostrazione Un numero algebrico ξ di grado n soddisfa l’equazione algebrica Pn (ξ ) = 0 e,
cioè, a nξ n + a n−1ξ n−1 + .... + a 0 = 0 a coefficienti interi.
Poiché Pn è un polinomio si ha che la sua derivata prima (che indichiamo con Pn′ ) è limitata
in un intorno di ξ. Dunque, ∃ un numero M=M(ξ) tale che
3
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Pn′ ( x) < M
(*)
∀ x∈Iξ:=(ξ−1, ξ+1).
p
∈
q
Sia, adesso,
un’approssimazione di ξ (chiaramente
p
≠ ξ ). Supponiamo tale
q
p
∈ Iξ e che sia più vicina a ξ di
q
ogni altra radice dell’equazione Pn ( x) = 0 ; dunque Pn ( p q ) ≠ 0 .
Risulta
approssimazione abbastanza vicina a ξ in modo da aversi
Pn ( p q) =
(**)
a n p n + a n−1 p n−1q + .... + a 0 q n
n
≥
1
q
qn
poiché il numeratore è un intero positivo.
Inoltre per il teorema di Lagrange (teorema del valor medio), si ha:
(***) Pn ( p q ) = Pn ( p q ) + 0 = Pn ( p q ) + Pn (ξ ) = ( p q − ξ ) Pn′ ( x)
per ogni x compreso tra p q e ξ.
Da (*), (**) e (***) segue, allora, che
Pn ( p q)
p
1
−ξ =
>
q
Pn′ ( x)
Mq n
p
K
− ξ > n cosicché ξ non è approssimabile ad alcun
q
q
ordine maggiore di n. Ne segue la tesi.
da cui, posto K:=1/M, segue che
Come conseguenza del teorema 1.3.2, dimostriamo il seguente risultato.
1.3.3 COROLLARIO Il numero ξ:=
∞
∑10 −k! = 10 −1 + 10 −2 + 10 −3! + ............ è trascendente.
k =1
Dimostrazione Sia ξn la ridotta n-sima della serie che definisce (ha come somma) ξ e, cioè,
n
ξ:= ∑ 10
−k!
=
k =1
10 n!
10
n!
n
∑10 −k! con n>N arbitrario.
k =1
n!
Posto q = 10 , p = 10
n!
n
p
∑10 −k! , si ha che ξ n = q
ed è un numero razionale.
k =1
Risulta
0<ξ −
= 10
∞
p
= ξ − ξn =
10 −k! = 10 −( n+1)! + 10 −( n + 2)! + ............. < 10 −( n +1)! (1 + 10 −1 + 10 − 2 + .......... =
q
k = n +1
∑
−( n +1)!
∞
∑10
−k
=10
−( n +1)!
k =0
=
2
(10 )
n! n +1
=
2
q
n +1
∞
k =0
<
1
∑ 10 k
=
1
10
( n +1)!
1
1 10
2
2
= ( n+1)!
< ( n +1)! = n!( n +1) =
1 − 1 / 10 10
9 10
10
2
qN
avendo sfruttato, nell’ordine, i fatti seguenti:
∞
(-)
1
∑ 10 k
è una serie geometrica di ragione compresa tra 0 ed 1 che, pertanto, converge a
k =0
4
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1/(1−1/10);
10
(-)
< 2 com’è evidente;
9
(-) (n+1)!=n!(n+1);
(-) (xm)n=xmn
ed, infine, di com’è stato definito q e del fatto che n+1>N.
Dall’ultima disuguaglianza trovata segue, allora, che ξ è trascendente perché, se fosse
algebrico, lo sarebbe di grado N in quanto approssimabile mediante razionali all’ordine N.
L’arbitrarietà di N risulterebbe, però, incompatibile col teorema 1.3.2; ne segue la tesi.
1.3.4 Osservazione Il fatto che ξ considerato nel corollario 1.3.3 è un numero segue dal fatto
che la serie che lo definisce è convergente, per il criterio del confronto tra serie numeriche,
dato che risulta definitivamente 10 − k! < 10 − k e
∞
∑10 −k =
k =1
10
1
−1 = .
9
9
1.3.5 Osservazione Sempre mediante un’applicazione del teorema 1.3.2 si dimostra (cfr.
1
1
1
è trascendente.
[HW], pag. 162) che il numero ξ = 1!
2!!
3!
10 + 10 + 10 + .....
La notazione usata per definire ξ è quella che di solito si usa nella definizione delle frazioni
1 1
1
1
continue: a 0 +
......
= a0 +
1
a1 + a 2 +
aN +
a1 +
1
a2 +
a3 + .....
+
1
aN
per N→∞.
1.3.6. Osservazione-Definizione Evidentemente, sostituendo 10 con qualsiasi altro intero
positivo diverso da 1, si varia la costruzione in molti altri modi.
I numeri appena introdotti vengono anche detti numeri di Liouville.
Si noti, infine, che non tutti i numeri trascendenti sono numeri di Liouville come, ad esempio,
e, π.
1.4 Trascendenza dei numeri e, π.
In questo paragrafo dimostriamo che i numeri irrazionali e, π sono trascendenti.
1.4.1. TEOREMA Il numero e è trascendente.
Dimostrazione Osserviamo preliminarmente che, se f(x) è un polinomio di grado m (a
t
coefficienti reali) e se I (t ) = ∫ e t −u f (u )du dove t è un numero arbitrario (anche complesso),
0
mediante ripetute integrazioni per parti prendendo sempre e t−u du come fattore differenziale,
otteniamo:
5
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m
m
k =0
k =0
(1*) I (t ) = e t ∑ f ( k ) (0) − ∑ f ( k ) (t )
dopo m+1 integrazioni per parti.
Denotando con f (x) il polinomio ottenuto da f rimpiazzando ogni suo coefficiente mediante
il relativo valore assoluto, risulta:
t
(2*) I (t ) ≤ ∫ e t −u f (u ) du ≤ t e f (t ) .
t
0
Passiamo, adesso, alla dimostrazione del teorema.
Supponiamo (per assurdo) che e sia un numero algebrico. Ciò significa che
(3*) a n e n + a n−1e n−1 + ....a0 = 0 ( a 0 , ...., a n coefficienti interi).
Consideriamo, adesso, la quantità
J = a n I (n) + .... + a0 I (0)
dove I(t) è definito come sopra con f ( x) = x p −1 ( x − 1) p ( x − 2) p ....( x − n) p essendo p un
numero primo abbastanza grande.
Da (1*) e (3*) otteniamo:
m n
J = − ∑∑ al f ( k ) (l ) dove m=(n+1)p−1.
k =0 l =0
Risulta evidente che f ( k ) (l ) = 0 se k < p, l > 0 e se k < p − 1, l = 0 (ciò si verifica
immediatamente considerando le derivate di f(x)) e, quindi, ∀ k, l diversi da p−1, 0
rispettivamente, il numero f ( k ) (l ) è un intero divisibile per p!; inoltre
f ( p−1) (0) = 1 ⋅ 2 ⋅ 3....( p − 1)(−1) p (−2) p ....(−n) p = ( p − 1)!(−1) np (n!) p .
Da quest’ultima, se p > n, segue che l’intero f ( p −1) (0) è divisibile per (p−1)! ma non per p!.
Come conseguenza (anche se p > a0 ) si ha che J è un intero non nullo divisibile per (p−1)!
per cui J ≥ ( p − 1)!.
La stima banale f (l ) ≤ (2n) m combinata con la (2*), consente, però, di scrivere:
J ≤ a1 ef (1) + .... + a n ne n f (n) =
n
∑ aj
je j f ( j ) ≤ c p
j =0
per qualche costante positiva c indipendente da p.
Le ultime stime trovate sono incompatibili per p sufficientemente grande. Questa contraddizione prova, perciò, che e non è algebrico. Ne segue la tesi.
1.4.2. TEOREMA Il numero π è trascendente.
Dimostrazione Supponiamo, per assurdo, che π sia algebrico. Allora anche il numero θ :=iπ è
algebrico dove i, al solito, denota l’unità immaginaria.
Sia d il grado (di algebricità) di θ e, posto θ1:=θ, siano θ2, …, θd, le altre radici, a il
coefficiente direttore del polinomio minimale che definisce θ.
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Dall’equazione di Eulero e iπ = −1 (deducibile dalla rappresentazione trigonometricoesponenziale di un numero complesso) ovvero e iπ + 1 = 0 , si ha:
(1 + eθ1 )(1 + eθ 2 )....(1 + eθ d ) = 0 .
Il prodotto al primo membro dell’ultima relazione scritta è esprimibile mediante una somma
d
di 2 d termini e Θ dove Θ = ∑ ε kθ k con ε k = 0,1 .
k =1
Supponiamo che solo n della somma che definisce Θ siano non nulli e denotiamoli come
α 1 ,.....,α n .
Risulta, allora:
(4*) q + eα1 + .... + eα n = 0
dove q è l’intero positivo 2 d − n .
Consideriamo la quantità J = I (α 1 ) + .... + I (α n ) dove I (t ) è definito come nella dimostrazione del teorema 1.4.1 ma con f ( x) = a np ( x − α 1 ) p ( x − α 2 ) p ....( x − α n ) p con p numero
primo abbastanza grande.
n
Da (1*) e (4*) (e quest’ultima implica che
∑ eα
k
= −q ), si ha:
k =1
m
m n
k =0
k =0 l =1
J = −q ∑ f ( k ) (0) − ∑∑ f ( k ) (α l ) dove m=(n+1)p−1.
Notiamo, adesso, che la somma su l è un polinomio simmetrico in aα1 ,....., aα n a coefficienti
interi da cui, mediante due applicazioni del teorema fondamentale sulle funzioni simmetriche
(cfr. [HW]) ed osservando che ogni funzione simmetrica elementare in aα1 ,....., aα n è anche
simmetrica nei due 2d numeri aΘ ovvero (per quanto ipotizzato) nei numeri
aα 1 ,....., aα n ,0,....0 , che essa rappresenta un numero intero. Inoltre, dal momento che
f ( k ) (α l ) = 0 se k < p , il secondo termine è divisibile per p!. Evidentemente anche f ( k ) (0)
è un intero divisibile per p! se k ≠ p − 1 mentre f ( k ) (0) = ( p − 1)!(−a ) np (α 1α 2 ....α n ) p è un
intero divisibile per (p−1)! Ma non p! se p è sufficientemente grande.
Dunque, se p > q , si ha che J ≥ ( p − 1)! .
Ma, dalla stima (2*), si ottiene (come nella dimostrazione del teorema 1.4.1):
J ≤ αn e
α1
f (α 1 ) + ....α 1 e
αn
f (α n ) ≤ c p per qualche costante c indipendente da p.
Quindi, per p abbastanza grande, sono incompatibili le stime trovate per J . Da questo
assurdo segue la tesi.
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1.5 Teorema di Lindmann. Altri esempi di numeri trascendenti.
La trascendenza di e, π può essere fatta conseguire dal seguente risultato (cfr. [Ba], teorema
1.4) che, inoltre, consente di provare la trascendenza di altri numeri finora non introdotti.
1.5.1. TEOREMA Siano α1, α2, …., αn numeri algebrici distinti e siano β1, β2, …., βn numeri
algebrici non nulli.
Allora β 1eα1 + β 2 eα 2 + .... + β n eα n ≠ 0 .
Osservazione 1.5.2. Da questo teorema segue subito che eα1 , eα 2 ,...., eα n sono algebricamente
indipendenti per tutti i numeri algebrici α1, α2, …., αn linearmente indipendenti sui razionali.
Adesso dimostriamo alcuni risultati che sono conseguono dal teorema 1.5.1.
1.5.2. COROLLARIO I numeri irrazionali e, π sono trascendenti.
Dimostrazione Proviamo dapprima la trascendenza di e. Sia n=2 nelle ipotesi del teorema
1.5.1. Allora β 1eα1 + β 2 eα 2 ≠ 0 se α1, α2, β1, β2 sono numeri algebrici con α1≠α2, e β1, β2 non
nulli. In particolare, scegliendo α1=1, α2=0, β1=1, β2=a (a numero algebrico), dev’essere
e1 + ae 0 = 0 . Quindi, e + a ≠ 0 che implica e diverso dal numero algebrico a. Data
l’arbitrarietà di a, ne segue che e non è uguale ad alcun numero algebrico per cui è un numero
trascendente.
Per dimostrare che il numero π è trascendente, partiamo dalla rappresentazione seguente:
e iθ = cos(θ ) + i sin(θ ) .
Per θ=π, si ha l’equazione di Eulero: e iπ = −1 ovvero e iπ + 1 = 0 od anche e iπ + e 0 = 0 .
Pertanto iπ è trascendente per non contraddire il teorema 1.5.1 (altrimenti dovrebbe esserci il
simbolo di diverso nell’ultima relazione scritta essendo 0,1 algebrici) ed, essendo i algebrico,
ciò significa che π è trascendente.
Ne segue la tesi.
1.5.3. COROLLARIO
(i)
Il numero ln(α ) è trascendente per ogni numero algebrico α ≠ 0,1 ;
(ii)
I numeri sin(α), cos(α), tg(α) sono trascendenti per ogni numero algebrico α non
nullo.
Dimostrazione Dimostriamo la (i). Posto β = ln(α ) e facendo l’esponenziale di ambo i
membri, otteniamo che α = e β da cui segue αe 0 − e β = 0 che, ponendo α1=0, α2=β, β1=α,
β2=−1, può scriversi come β 1eα1 + β 2 eα 2 = 0 . Essendo β1 algebrico (per ipotesi), α1, α2
algebrici, si ha, allora, che α2=β è trascendente per non contraddire il teorema 1.5.1, da cui la
conclusione.
La (ii) si dimostra in modo analogo scrivendo le funzioni trigonometriche in forma
esponenziale.
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Allo scopo di fornire altri esempi di numeri trascendenti, citiamo il seguente risultato (cui, per
una dimostrazione e per maggiori dettagli, rinviamo, ad esempio, ad [HW], [He] e ai testi ivi
citati).
1.5.4. TEOREMA Siano α, β, due numeri algebrici con α ≠ 0, 1 e β irrazionale. Allora il
numero α β è trascendente.
Esempi 1.5.5.
(i)
Dal teorema 1.5.4 segue, in particolare, che e − π è trascendente essendo uno dei valori
di i 2i .
ln(3)
è trascendente. Infatti, dalla relazione che definisce θ, con
(ii)
Il numero θ =
ln(2)
(iii)
semplici passaggi, si ottiene ln(2θ ) = ln(3) da cui segue che 2θ = 3 e θ è un numero
irrazionale.
Applicando il teorema 1.5.4 è possibile fornire altri esempi di numeri trascendenti. In
accordo con tale risultato sono, ad esempio, trascendenti i numeri i
costruibili in modo analogo.
2
, 4
5
ed altri
1.5.6 Osservazione In base alle considerazioni svolte ed al fatto che vi sono numeri per cui
non è stato dimostrato né che sono algebrici né che sono trascendenti, l’insieme dei numeri
reali (od anche dei numeri complessi) può esse suddiviso nei quattro seguenti sotto-insiemi:
‰ numeri algebrici;
‰ numeri trascendenti di Liouville;
‰ numeri trascendenti (non di Liouville) di cui fanno parte e, π;
‰ numeri per cui non è stata provata né la trascendenza né l’algebricità.
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Bibliografia
[Ba] A. Baker, Trascendental number theory. - London ; New York : Cambridge University Press,
1975.
[RC] R. Courant, M.Robbins, Che cos’è la matematica? : Introduzione elementare ai suoi concetti e
metodi. - Nona impressione. - Milano : Boringhieri, 1971, copyr. 1941.
[He] I.N. Herstain, Algebra. - Roma : Editori Riuniti copyr. 1982.
[HW] G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to Theory of Numbers. - 5th edition. . - Oxford :
Clarendon Press, 1979.
[Ni] I. Nirm, Irrational numbers.
[PC] G. M. Piacentini Cattaneo, Algebra. Un approccio algoritmico. - Bologna : Zanichelli, 1996.