giuliana4

REALI
Vediamo dove siamo con i nostri ampliamenti
numerici …
4^ puntata
Concetti matematici importanti
trovati le scorse lezioni
v
CORRISPONDENZA BIUNIVOCA
v
INSIEME INFINITO
v
NUMERABILITA’
v
DENSITA’
• Il procedimento matematico di generalizzazione
porta ad estendere un dominio con l'introduzione di
nuovi simboli, in modo tale che le leggi che valgono
nel dominio originario continuino a valere nel
dominio più esteso.
• L’ estensione del concetto di numero diviene
possibile con la creazione di nuovi numeri sotto
forma di simboli astratti, come 0, - 2, 3/4 ,p .
• Oggi, che li trattiamo come cose ovvie, ci riesce
difficile credere che fino al secolo XVII non venisse
generalmente attribuita loro la stessa legittimità dei
numeri interi positivi
• Responsabile di questa esitazione a compiere un
passo inevitabile fu la tipica tendenza umana di
tenersi al «concreto».
• Soltanto nel regno dell'astratto si può creare un
sistema aritmetico soddisfacente.
I numeri reali
Il nuovo ampliamento numerico è l’insieme
dei numeri reali
Il termine numero reale è stato coniato da
G. Cantor nel 1883 in una sua
pubblicazione sui fondamenti della teoria
degli insiemi, in contrapposizione al termine
numero immaginario.
Perché abbiamo bisogno di nuovi
numeri?
1
Radice quadrata
Riepilogo operazioni
N
Z
Q
Addizione interna
si
si
si
Sottrazione interna
no
si
si
Moltiplicazione interna
si
si
si
Divisione interna
no
no
si
Elevamento a potenza
si
Si/no Si/no
Estrazione di radice quadrata
no
no
?
•
Supponiamo per assurdo che esistano due numeri interi p e q tali che
•
Possiamo supporre che la frazione sia irriducibile, ovvero che p e q siano
primi fra loro. Avremo
p2 = 2 q 2
•
Ne segue che 2 divide p 2 ,e se p 2 è pari lo è anche p.
Quindi p = 2k per qualche k ? N . Otteniamo:
•
•
2 k
2
Questa operazione non è sempre possibile;
ad esempio si ha ovviamente che
•
se r <0, nessun numero t ? Q può
soddisfare la relazione t = v r, poiché t 2 è
comunque un numero positivo.
•
Ma anche quando r > 0, non è detto esista
t ? Q con t 2 = r .
no
v2 non è razionale
(2 k )2 = 2 q 2 , cioè
Sia r ? Q, un elemento t ? Q tale che t 2= r si
dice radice quadrata di r, e si indica con .
t = vr
=q2
ma allora anche q 2 è pari e anche q, in contraddizione con il fatto che p e q
siano primi fra loro.
Dunque deve essere falsa l'ipotesi iniziale, cioè
v2 non può essere razionale.
• Un tipico esempio è dato da il lato di un quadrato e la
sua diagonale.
• La dimostrazione citata prima, considerata da
P.Erdos come una delle più belle di tutta la
matematica, risale ad Euclide (III sec. A .C.) ed era
strettamente collegata al teorema di Pitagora.
• L'approccio di Euclide mette in evidenza che i numeri
dell'epoca (le frazioni, cioè i numeri razionali) non
potevano svolgere direttamente il ruolo di
rappresentare le lunghezze di segmenti.
• Un caso particolare del teorema di Pitagora mostra
infatti che la lunghezza l dell‘ipotenusa di un triangolo
rettangolo i cui cateti hanno lunghezza 1, è tale che
l2 = 2.
• Come abbiamo visto, è facile mostrare che una tale l
non è esprimibile come frazione.
Ricordiamoci che tutta la costruzione matematica
poggia sugli insiemi numerici, via via ampliati per
rispondere alla necessità di risolvere nuovi problemi:
• bisogna “saper contare” e allora si opera con l’insieme
dei numeri naturali N;
• bisogna “dare e avere” e allora si opera con l’insieme
dei numeri interi Z;
• bisogna “misurare” e allora si opera con l’insieme dei
numeri razionali Q, cioè con i numeri che possono
essere rappresentati mediante frazioni;
non sempre è però possibile esprimere la misura di
una grandezza come frazione di un’altra.
RAFFAELLOScuola di Atene
Per risolvere l'apparente contraddizione Euclide (visse
molto probabilmente durante il regno di Tolomeo ,~367 a.C
-283 a. C.), nel V libro degli Elementi, sviluppa una raffinata
teoria dei rapporti tra grandezze distinguendo tra grandezze
commensurabili e incommensurabili. Per le prime il rapporto
è un numero razionale, per le seconde un numero irrazionale
2
lato e diagonale di un quadrato sono un
efficace esempio di grandezze
incommensurabili :
è impossibile trovare un’unità di misura che
sia contenuta un numero intero di volte
tanto nel lato quanto nella diagonale
• per "riempire la retta", dobbiamo ampliare l'insieme numerico
che consideriamo.
• Come porre su una retta orientata i numeri irrazionali ?
Facciamo l'esempio della radice quadrata di 2 .
0
• Se si fissa un segmento unità di misura si può
associare ad ogni razionale un punto su una
retta.
• Però non si ha la corrispondenza inversa in
quanto esistono sulla retta infiniti punti a cui
non corrisponde alcun razionale.
• Se si vuole un sistema numerico che mantenga
la qualità di essere completa, senza lacune,
ossia continua propria della retta, bisogna
creare nuovi numeri poiché i razionali non
bastano.
Il problema è ora come rappresentare
i numeri reali indipendentemente
dalla rappresentazione sulla retta
1v2
• Così avremo
Cerchiamo di definire gli ‘elementi mancanti ‘, riprendendo il
problema di trovare un numero che al quadrato faccia 2.
Possiamo considerare dei numeri decimali finiti che
approssimino per difetto oppure per eccesso la
quantità cercata.
• Consideriamo i numeri: 1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; ……
(cioè i razionali che elevati al quadrato danno un valore < 2),
• E poi i numeri:
2 ; 1,5 ; 1,42 ; 1,415 ; ………
(cioè i razionali che elevati al quadrato danno un valore > 2).
•
Come possiamo allora "riempire il buco" che abbiamo sulla
retta in corrispondenza del "numero che al quadrato fa 2" ?
il numero: 1,4145... sta fra tutti i decimali finiti che al quadrato
sono < 2 e tutti quelli che al quadrato sono maggiori di due
(naturalmente questo decimale non può essere periodico,
altrimenti sarebbe un numero razionale). .
Esso è il numero che cerchiamo?
Per quanto abbiamo appena detto, elevato al
quadrato esso non può essere né maggiore né
minore di due, quindi ci deve dare proprio 2!
Certo non è un problema di poco conto che
c’è un allineamento di cifre illimitato…
I numeri decimali non periodici (quindi non
in Q ) si dicono numeri
irrazionali. Chiamiamo
• L’ insieme dei numeri reali, R come
3
La periodicità dipende dalla base
del sistema
• Possiamo fare una prima classificazione dei
numeri reali, distinguendo i due sottoinsiemi dei
numeri razionali e degli irrazionali
Q
• Ad esempio
1/3
=(0, 333…)
3/2 =(1.5) 10
½
=(0,5) 10
10 =
(0,1) 3 ;
=(1.222…) 5,
=(0,111…) 3 ;
Altra classificazione dei R
Esiste un’ altra classificazione dei numeri reali: essi possono essere
algebrici oppure trascendenti.
•
•
I numeri si dicono algebrici quando sono radici di una equazione
polinomiale del tipo
a0 xn + a1 xn-1 + ……. + an-1 x + an = 0
dove a0 , a1 , ……… , an-1 , an sono coefficienti interi.
I numeri si dicono trascendenti quando non possono essere soluzioni
di nessuna equazione polinomiale del tipo sopraddetto.
•
I numeri reali razionali sono tutti algebrici:
5 è soluzione dell’equazione 2x-10 = 0
1/4 è soluzione dell’equazione 4x-1 = 0
•
I numeri reali irrazionali possono essere algebrici:
v2 è soluzione dell’equazione x2 – 2 = 0
ma possono essere anche trascendenti;
Solo nel 1844 Il matematico francese Liouville dimostrò per primo
l’esistenza dei numeri trascendenti .
Rappresentazione decimale
• Ogni numero reale può essere espresso (almeno in teoria) con
la numerazione decimale, come un numero avente un'infinità di
cifre dopo la virgola. Vista l'impossibilità di scrivere infinite cifre,
il numero viene spesso espresso in modo inesatto nella forma
324,823211247... dove i tre punti esprimono il fatto che ci sono
altre cifre.
• Questo procedimento di approssimazione in realtà consiste
nello scrivere un numero razionale molto vicino al numero
reale in questione. Più sono le cifre decimali, più il numero
razionale è vicino al numero reale che si vuole rappresentare, e
maggiore quindi è la precisione dell'approssimazione.
• Ad esempio, p può essere approssimato come segue
? = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971
69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280
34825 34211 70679...
irrazionali
Nel 1882 il matematico tedesco Lindemann dimostrò
che ? è un numero trascendente.
Secondo voi sono ‘di più’ i numeri algebrici o
i trascendenti?
Anche se vi può sembrare strano, l’insieme dei
numeri algebrici, si può dimostrare essere
numerabile (tranquilli, non lo facciamo!) e
mentre l’insieme dei trascendenti non lo è.
Perché sono pochi o perché ce ne sono ‘troppi’?
La rappresentazione decimale, molto utile nelle
scienze applicate, presenta molti difetti dal
punto di vista matematico, ad esempio:
• la somma e la moltiplicazione fra numeri reali
non si effettuano "cifra per cifra" nel modo
solito, perché dovremmo "partire da destra",
• la rappresentazione è ancorata alla scelta della
base 10, e quindi non è "canonica".
Per questo motivo i matematici preferiscono
definire e trattare i numeri reali con altre
notazioni più astratte,ad es. i simboli p o i
radicali
4
• Platone (circa 400 a.C.) nel dialogo Teeto, parla di v2 come di
un numero non rappresentabile come rapporto e usa, per la
prima volta, il termine “irrazionale”;
• Euclide negli Elementi (3° sec. a.C.) riprende il concetto di
irrazionalità nel suo stile preciso e rigorosa
• Fibonacci, nel suo Liber Abaci , in maniera decisamente più
moderna presenta una dimostrazione dell’impossibilità di
esprimere un radicale come rapporto tra numeri interi
• N. Chuquet, verso la fine del 1400, introduce il simbolo R 2 che
è l’equivalente della nostra attuale radice quadrata;
• Il simbolo che usiamo noi ‘v ’ apparve per la prima volta nel
1525 nell’opera intitolata Die Coss (che potremmo tradurre
come “l’incognita” o “la cosa”) del matematico tedesco
Christolph Rudolff, vissuto nella prima metà del ’500.
Il libro aveva, tra gli altri scopi, quello di contribuire a
diffondere, in un’epoca di sviluppo impetuoso e talvolta
turbolento della matematica, nuove notazioni che fossero
condivise da tutti gli studiosi.
• Secondo alcuni il simbolo introdotto da Rudolff, che si è
conservato praticamente inalterato fino ai giorni nostri, sarebbe
una stilizzazione della lettera r, iniziale della parola latina radix
(ricordiamo che il latino è stato a lungo la lingua comune degli
ambienti scientifici europei). Questa ipotesi è certamente
plausibile, anche se mancano conferme stringenti.
•
Una notazione precedente all’introduzione del nuovo
simbolo,utilizzava il fatto che la radice quadrata di un numero
dato può essere pensata come il lato di un quadrato avente
area assegnata, e la radice cubica come lo spigolo di un cubo
di volume dato. Usava notazioni del tipo: l (è l’iniziale di latus
cioè lato di un quadrato) e lc sta per latus cubicus (vale a dire
spigolo di un cubo)
ordinamento
Altre caratteristiche di R
•
Storia dei radicali
• R è un insieme totalmente ordinato
• Presi comunque due numeri reali distinti
• E’ un insieme denso, ma non solo…
si può sempre stabilire quale è il
maggiore e quale il minore,essendo
rappresentabili su di una retta
• l'insieme R non possiede né un primo né un
ultimo elemento
Quanti sono gli elementi di R?
Infiniti
E’ un insieme numerabile?
Cominceremo col dimostrare che non è numerabile un
sottoinsieme dei reali, quello formato dai reali
compresi tra 0 e 1.
Ne scaturirà che non potr à esserlo l’insieme di tutti i R
• Dimostriamo che non è numerabile l ’insieme dei R compresi
nell’intervallo tra 0 e 1
• supponiamo di aver potuto ordinare tutti gli elementi di tale
insieme, avendo dato dei numeri una rappresentazione
decimale illimitata, cioè supponiamo per assurdo tale insieme
numerabile:
• 0,a 1 b 1 c1 d 1 e 1....
0,a 2 b 2 c2 d 2 e 2....
0,a 3 b 3 c3 d 3 e 3....
0,a 4 b 4 c4 d 4 e 4....
0,a 5 b 5 c5 d 5 e 5....
………………….
• Formiamo ora un nuovo numero prendendo la prima cifra
decimale a diverso da a 1, la seconda b diverso da b 2, c da c2
etc...Tale numero
0,abcde...
per costruzione è diverso da tutti i numeri della lista, quindi la
lista non può essere completa. Cvd.
5
• In questo modo G. Cantor aveva dimostrato l'esistenza di
insiemi infiniti di cardinalità diversa, come ad esempio i numeri
naturali e i numeri reali, egli avanzò l 'ipotesi del continuo :
• Non esiste nessun insieme la cui cardinalità è strettamente
compresa fra quella dei numeri naturali e quella dei numeri
reali.
Matematicamente parlando, la cardinalità degli interi è indicata
con ? 0 ( aleph con zero ) e la cardinalità dei numeri reali è ? 1
(aleph con uno)
• Il nome di questa ipotesi deriva dalla retta dei numeri reali,
chiamata appunto il continuo .
• Cantor era convinto della verità dell'ipotesi del continuo, e tentò
invano per molti anni di dimostrarla.
• Essa divenne la prima nella lista dei problemi (oggi noti come
Problemi di Hilbert ) che il grande matematico D. Hilbert
presentò al Congresso Matematico Internazionale di Parigi
nell'anno 1900
• Gli studi di Godel e Cohen hanno permesso di stabilire che
nella teoria assiomatica degli insiemi (Zermelo-Fraenkel)
l'ipotesi del continuo risulta indecidibile
Il risultato per cui un'affermazione non possa essere
né provata né confutata in un certo insieme di
assiomi non è sorprendente: il teorema di
incompletezza di Goedel afferma esattamente che
se un sistema di assiomi è abbastanza potente e
senza contraddizioni esisteranno sempre al suo
interno affermazioni di questo tipo.
L’ipotesi è però ugualmente disturbante, perché è
stato il primo esempio concreto di una affermazione
interessante e importante a cui si è potuto dire con
sicurezza che era impossibile rispondere con un "s ì"
o un "no" , a partire dal gruppo di assiomi
universalmente accettati per costruire la nostra
matematica.
Continuità
Come definireste voi la proprietà intuitiva
di continuità?
L'essenza della continuità è riconosciuta da Dedekind
nell'inverso della proprietà che tutti i punti della retta
verificano.
Assioma di continuità o di Dedekind : se viene fatta una
partizione della retta in due classi in cui ogni elemento di una
classe sta a sinistra di ogni elemento dell'altra allora esiste
uno e un solo punto dal quale questa partizione è prodotta.
Abbandonando l'intuizione geometrica Dedekind trasferisce
allora al sistema numerico questa proprietà definendo
numero reale una sezione di numeri razionali, cioè una
coppia di sottoinsiemi non vuoti e disgiunti la cui unione sia
l'insieme dei razionali. In questo modo ad ogni sezione
corrisponde ora, in analogia con la retta, uno ed un solo
numero razionale o irrazionale.
Ci sono due famosi labirinti in cui la nostra
ragione spesso si perde problema della libertà
e necessit à da un lato, dall’altro continuit à e
infinito" (Leibniz).
Quanti infiniti esistono?
Dato un insieme A di n elementi, tale cioè che | A | = n (cardinalità di A),
l'insieme delle sue parti, ossia l'insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di A,
in simboli P(A), avr à 2n elementi, cioè
• | P(A)| = 2n (cardinalit à dell’insieme delle parti di A)
•
•
•
Cantor dimostrò inoltre che 2 ?0 = ? 1 , cioè che la potenza del continuo
ha la stessa cardinalit à dell'insieme delle parti di N.
Conseguenza di ciò abbiamo un metodo per costruire insiemi di potenza via
via crescente all'infinito: partendo dai numeri naturali avremo:
|N| = ? 0 | P (N)| = 2 ?0
| P (P(N)))| = 2 | P(N)| ...
Cantor riusc ì cos ì a dimostrare l'esistenza di infiniti numeri transfiniti
maggiori di ? 0 .
Operazioni in R
I numeri reali sono un insieme di numeri su cui
ovviamente si possono fare tutte le operazioni,
che corrisponderanno a quelle, nei suoi
sottoinsiemi, come i razionali e i naturali e per
esse valgono le stesse proprietà che abbiamo
già visto.
Per non appesantire inutilmente la trattazione
dell’argomento, mi limito a qualche cenno alle
operazioni con i radicali e precisamente ai
radicali quadratici.
Devo però prima completare la definizione di
elevamento a potenza
6
Elevamento a potenza
E’ un' operazione che associa ad una coppia di numeri
a e n - detti rispettivamente base ed esponente
Consideriamo dapprima n ? N
• se n>1
a n = a*a*a …..*a (per n volte)
• se n = 1 , per ogni a
a 1 = a,
• se n = 0 , per ogni a?0
a 0 = +1,
• se n < 0 , per ogni a?0
a n= 1/a-n
Cioè 3 -2= 1/9
• Diamo significato anche a potenza con
esponente frazionario
Poi con a=0 e n=p/q ? Q
• Definiamo
a n = ap/q = q v ap ,
Considerando solo radicali quadratici
an = a p/2 = v ap
Ovvero per esempio:
31/2 = v 3;
5 3/2 = v 53
ricordando le proprietà delle potenze sarà facile
eseguire le operazioni con i radicali
Qualche semplice operazione
con i radicali
Proprietà delle potenze
(continuano a valere le stesse di N)
•
•
•
•
•
prodotto di potenze di uguale
base
a na m=an+m
quoziente di potenze di uguale
base
a n : a m=an-m
potenza di una potenza
(a n) m=a nm
prodotto di potenze con uguale
esponente
anbn=(ab) n
quoziente di potenze con uguale
esponente
an : bn=(a : b)n
Cenni ai numeri complessi C.
L'ultima estensione del "campo dei numeri" (a cui accenno soltanto) è quella nella quale si
rende possibile l'estrazione di radice quadrata di numeri negativi. L'ampliamento rispetto
all'insieme dei reali avviene essenzialmente attraverso l'introduzione di un solo nuovo
"numero", il numero i , detto "unit à immaginaria" il quale ha la propriet à:
i2= -1
.
Definiamo l'insieme dei Numeri complessi, C , come l'insieme delle espressioni del tipo
a+ib , ove a,b siano numeri reali, ed i è quella che abbiamo denotato come unità
immaginaria.
Nell'espressione di un numero complesso z = a+ib,
z e b parte reale di z .
a viene detta parte immaginaria di
Per rappresentare geometricamente i numeri complessi una retta non basta pi ù; avremo
invece bisogno di un piano:
Anche in C varranno le propriet à delle operazioni c h e avevamo in R , ne avremo inoltre altre
come il fatto che nei numeri complessi ogni equazione polinomial e (di qualsiasi grado) ha
soluzioni.
•
•
•
•
•
v3 + v2 = ?
v3 * v2 = ?
v -4 = ?
(v 3 )2 = ?
v 2 *(v 3 + v 2 )= ?
• Provate voi !
• Ma i numeri complessi, che non sono solo utili per risolvere le
equazioni, ma anche essenziale per descrivere il mondo
naturale: per esempio con le equazioni della meccanica
quantistica, perché noi siamo fatti di atomi e quindi siamo fatti
di meccanica quantistica.
• I numeri complessi inoltre generano nuovi schemi, soprattutto
i frattali che creano delle forme particolarmente complicate
che si ripetono all’infinito, e che sembrano rispecchiare i
processi naturali che vediamo ripetersi avanti a noi ogni
giorno. I frattali ci danno nuovi indizi su processi che devono
aver portato alla formazione delle nuvole o delle rocce, hanno
la caratteristica, che chiamiamo di autosomiglianza: se
ingrandiamo una parte la vediamo simile all’intero, ogni
piccolo pezzo riproduce l’intero.
• Gli ampliamenti numerici non sono ancora conclusi: ogni
due o trecento anni si arriva a scoprirne uno nuovo.
I frattali sono solo una punta piccolissima di un iceberg
enorme che ci dice in realtà come funziona l ’universo.
Nell’universo esistono strutture molto più sottili, che a livello
superficiale creano le cose che conosciamo.
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bibliografia
• B.Boyer Storia della matematica Mondadori
• G.Spirito La costruzione matematica Ed. Oberon
• Courant-Robbins Che cos’è la matematica? Boringhieri
Ecco perché la matematica può essere così
entusiasmante: ci fa capire che l’universo è
molto più grande e complesso di come noi
pensiamo e ce ne dà degli indizi, elaborando i
quali possiamo scoprire qualcosa di nuovo
•
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http:// matematica.unibocconi.it/infinito/infinito04.htm
http:// math.unipa.it/~grim/FP_FondMatI_05.pdf
http://www2.polito.it/didattica/ polymath/htmlS/info/Numeri/Set06/Nu
meri.htm
http:// progettomatematica.dm.unibo.it/insieminumerici/insiemey.htm
http://www.racine.ra.it/lcalighieri/pescetti/ricerca_infinito_2004_05/so
mm_cardinal /transfin.htm
http://macosa.dima.unige.it/om/did/mcnum.htm
http://zappedia.com/dettagli/Ipotesi%20del%20continuo
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