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A01
69
Camillo Trapani
Riccardo Messina
Esercizi di
Analisi uno
Copyright © MMIV
ARACNE editrice S.r.l.
www.aracneeditrice.it
[email protected]
via Raffaele Garofalo, 133 A/B
00173 Roma
tel. 06 93781065 – fax 06 72678427
ISBN
88–7999–911–3
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: dicembre 2004
I ristampa: dicembre 2005
II ristampa aggiornata: giugno 2006
Indice
Introduzione
iii
1 Esercizi di base
1.1
1.2
1.3
1
Fino ai limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Problemi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Dalle derivate in poi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
1.2.1
Problemi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
1.2.2
Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Qualche studio di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
2 Esercizi di approfondimento
115
A Confronto locale di funzioni
139
A.1 Equivalenza di funzioni in un punto . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.2 o-piccoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.3 Applicazioni agli integrali impropri ed alle serie numeriche . . . 147
Introduzione
–Un altro libro di esercizi...?–
Il gran numero di testi di esercizi di Analisi Matematica esistente nel
panorama editoriale italiano, per non fare menzione di quello internazionale,
rende legittima questa domanda, almeno tra gli addetti ai lavori (gli studenti,
invece, mostrano talvolta una fame incontrollata di esercizi). Se la domanda è
legittima, agli autori corre l’obbligo di tentare di dare una risposta, mettendo
in evidenza, se ce ne sono, le peculiarità del loro lavoro rispetto ad altre opere
della stessa natura.
Per la sua stessa origine, questo testo di esercizi presenta alcune particolarità che ci piace sottolineare. Esso infatti nasce dalla collaborazione atipica
tra uno studente (RM) ed un docente (CT): la maggior parte degli esercizi
raccolti nel primo capitolo sono stati proposti dal secondo autore come quesiti
d’esame: il primo autore li ha raccolti, ordinati ed, in gran parte, risolti; spesso
non si tratta di esercizi di puro calcolo, ma richiedono la capacità di applicare,
sia pure ad un livello non eccessivamente complicato, i teoremi studiati.
Gli esercizi raccolti nel capitolo 2, che abbiamo chiamato esercizi di approfondimento, riguardano certo questioni un po’ fuori dall’ordinario, ma gettano
una luce particolare sui concetti fondamentali dell’Analisi. Essi avevano suscitato l’interesse di RM durante i suoi studi, li aveva raccolti, risolti e sottoposti
a CT per un’opinione. Da una serie di fruttuose discussioni è nata l’idea
di predisporre questa pubblicazione, con l’intento di oﬀrire agli studenti uno
strumento didattico utile sia per chi si limiti, se cosı̀ si può dire, a svolgere un
certo numero di esercizi suﬃcienti al superamento delle prove d’esame, sia a
chi, spinto dalla propria curiosità e dal proprio interesse per la materia, voglia
aﬀrontarne aspetti un po’ al di là di quelli che normalmente vengono presi in
considerazione nei corsi di nuovo ordinamento.
iv
Introduzione
In chiusura, un’appendice raccoglie, senza dimostrarle, le proposizioni
fondamentali sul confronto locale di funzioni e sulle sue applicazioni al calcolo
dei limiti ed allo studio della convergenza degli integrali impropri e delle serie
numeriche. Alle dimostrazioni si è preferita l’illustrazione di alcuni semplici
esempi che hanno lo scopo di far familiarizzare il lettore con queste tecniche
che sono ampiamente utilizzate nella risoluzione degli esercizi proposti.
Naturalmente, per parecchi dei quesiti proposti (anche fra quelli di approfondimento) non rivendichiamo alcuna originalità: molti di essi sono, infatti,
reperibili in altri testi.
Per concludere, ci è gradito ringraziare Bruno Leggio ed il Prof. Antonino
Messina, che si sono gentilmente prestati alla rilettura in corso d’opera di
quanto andavamo via via scrivendo: la loro faticosa caccia al refuso ed alla
svista non è stata sicuramente vana.
Palermo, Ottobre 2004
Gli autori
Capitolo 1
Esercizi di base
1.1
1.1.1
Fino ai limiti
Problemi proposti
• Esercizio 1.1.1 – Determinare il sottoinsieme costituito dai punti del piano
che rappresentano i numeri complessi z ∈ C per i quali
|z − 1| ≤ |z + 2|.
• Esercizio 1.1.2 – Determinare il minimo periodo della funzione
f (x) = cos(2x) + cos(4x) + cos(6x).
• Esercizio 1.1.3 – Calcolare i seguenti limiti
lim sin
x→+∞
3πx − 2 sin x
2x + 3 cos x
lim
x→0+
,
√
lim 3n2 [log(n2 + 2) − 2 log n],
n→+∞
x3 sin
1
√
x3
.
2
Esercizi di base
• Esercizio 1.1.4 – Stabilire se la funzione
f (x) =
x2 − 1
log x
ammette un’estensione continua a tutto R.
• Esercizio 1.1.5 – Confrontare, per x → +∞, gli inﬁniti
cosh(log x),
• Esercizio 1.1.6 – Calcolare
lim
n→+∞
log(cosh3 x + 1).
n3 − n2 − 2
n3 + 1
2n
.
• Esercizio 1.1.7 – Dimostrare che 3n n! ≥ nn per ogni n ∈ N+ .
• Esercizio 1.1.8 – Determinare il dominio di ciascuna delle seguenti funzioni
1
.
f (x) = arccos(|x| − x),
g(x) = log x −
x
• Esercizio 1.1.9 – Stabilire se la funzione f (x) = |x − 2| + |x| è invertibile;
trovare, eventualmente, un’opportuna restrizione di f (x) che risulti invertibile.
• Esercizio 1.1.10 – Calcolare i seguenti limiti
√
cosh( x) − cos x
1
,
lim
lim 4n tan 3 sin
.
n→+∞
n
sin(2x)
x→0+
• Esercizio 1.1.11 – Stabilire se la funzione
1
f (x) = arctan
x2
ammette un’estensione continua a tutto R.
1.1. Fino ai limiti
3
• Esercizio 1.1.12 – Sia f : R → R una funzione continua. Dimostrare che
l’insieme
Z = {x ∈ R : f (x) = 0}
è chiuso.
• Esercizio 1.1.13 – Sia (an ) una successione di numeri positivi. Dimostrare
che se
log(an ) − log(an+1 ) > n, ∀n ∈ N
allora
lim an = 0.
n→+∞
• Esercizio 1.1.14 – Determinare l’insieme dei punti interni dell’insieme
A = {x ∈]0, +∞[ : | log x| = log x} .
• Esercizio 1.1.15 – Determinare il tipo degli eventuali punti di discontinuità
delle funzioni
1
e− x x < 0
,
g(x) = sgn[f (x)].
f (x) =
0
x≥0
• Esercizio 1.1.16 – Calcolare i seguenti limiti
lim x2 sin
x→+∞
x
1 + 2x5
,
lim sin
x→+∞
1
√
x
√
sin( 4 x),
arctan(5x2 )
√
.
x→0 1 − cos( 2x)
lim
• Esercizio 1.1.17 – Calcolare l’ordine e la parte principale d’inﬁnito, per
x → 1, della funzione
log2 x
.
f (x) =
(x − 1)3
4
Esercizi di base
• Esercizio 1.1.18 – Stabilire se la successione (an ) deﬁnita per ricorrenza
da
a0 = 1
√
an+1 = 10 + 3an
ammette limite ed in caso aﬀermativo calcolarlo.
• Esercizio 1.1.19 – Calcolare
lim
x→+∞
log(ex)
log x
x
.
• Esercizio 1.1.20 – Dimostrare, per induzione, che, per ogni n ∈ N+ ,
1
1
1
+ log 1 +
+ · · · + log 1 +
= log(n + 1).
log(1 + 1) + log 1 +
2
3
n
• Esercizio 1.1.21 – Sia A il sottoinsieme dell’intervallo ]0, 1[ costituito dai
numeri che, in forma decimale, hanno parte decimale con due sole cifre diverse
da 0. Determinare sup A e inf A.
• Esercizio 1.1.22 – Una sola delle seguenti uguaglianze è vera, per ogni
x ∈ [−1, 1]. Quale e perché?
√
(a) cos(arcsin x) = ± 1 − x2
√
(b) cos(arcsin x) = 1 − x2
√
(c) cos(arcsin x) = − 1 − x2
• Esercizio 1.1.23 – Siano A e B sottoinsiemi di R, con A limitato superiormente e B limitato inferiormente. Dimostrare che A e B sono separati e
contigui se, e soltanto se, sup A = inf B.
• Esercizio 1.1.24 – Sia (an ) una successione di numeri positivi. Posto
bn = (−1)n an , dimostrare che la successione (bn ) è convergente se, e soltanto
se, lim an = 0.
n→+∞
1.1. Fino ai limiti
5
• Esercizio 1.1.25 – Sia A un sottoinsieme di R limitato superiormente e sia
s = sup A. Dimostrare che s è un punto di aderenza per A. Il punto s è in
ogni caso di accumulazione per A?
• Esercizio 1.1.26 – Sia A un sottoinsieme di R limitato superiormente.
Posto
B = {x ∈ R : x ≥ a, ∀a ∈ A}
dimostrare che B è limitato inferiormente. Dimostrare che A e B costituiscono
classi separate e contigue. Qual è il loro elemento separatore?
• Esercizio 1.1.27 – Sia A un sottoinsieme di R privo di punti interni.
Dimostrare che ogni punto di A è di accumulazione per il complementare AC
di A.
• Esercizio 1.1.28 – Siano f (x) e g(x) due funzioni deﬁnite in un intervallo
I ed x0 un punto interno ad I in cui entrambe le funzioni sono continue. Sia
inoltre f (x0 ) > g(x0 ). Dimostrare che esiste un intorno U di x0 , tale che
f (x) > g(x) per ogni x ∈ U .
• Esercizio 1.1.29 – Sia A il seguente sottoinsieme di R
√
√
3
n
+
.
A = (−1) 2 + 2 ; n ∈ N
n
Determinare l’insieme dei punti di accumulazione di A e l’insieme dei punti
interni di A.
• Esercizio 1.1.30 – Sia f (x) ∼0 xα , α ∈ R. Dimostrare che
lim
x→0
f (2x) − f (x)
= 2α − 1.
xα
• Esercizio 1.1.31 – Siano a, b ∈ R tali che a > b > 0 e a2 − b2 = 1.
Dimostrare che, se c > 0 e c = 1, si ha
logc (a − b) = − logc (a + b).
6
Esercizi di base
• Esercizio 1.1.32 – Determinare i valori di k ∈ R per i quali la successione
(an ), con
an = (n + 1)k − nk
è, per n → +∞, un inﬁnitesimo.
• Esercizio 1.1.33 – Sia (an ) una successione crescente ed (ank ) una sua
sottosuccessione convergente ad ∈ R. Dimostrare che
lim an = .
n→+∞
• Esercizio 1.1.34 – Un sottoinsieme A ⊂ R è privo di punti interni. Quali
fra le seguenti aﬀermazioni sono certamente vere?
(a) A è anche privo di punti di accumulazione.
(b) A è chiuso.
(c) In ogni intorno di un qualsiasi punto x ∈ A cadono punti del complementare AC di A.
• Esercizio 1.1.35 – Siano f (x) e g(x) funzioni continue in [a, b] con
f (a) = g(b) = 1, f (b) = g(a) = 0. Dimostrare che l’equazione
f (x) = g(x)
ha almeno una soluzione in ]a, b[.
• Esercizio 1.1.36 – Veriﬁcare che la funzione
√
√
f (x) = 3 x + sin x − 3 x − sin x
è inﬁnitesima per x → +∞ e stabilire se esistono l’ordine e la parte principale
d’inﬁnitesimo.
• Esercizio 1.1.37 – Determinare, se esistono, l’inf ed il sup dell’insieme
1
1
1
A=
+
− ,n ∈ N .
2n 3n 4n
1.1. Fino ai limiti
7
• Esercizio 1.1.38 – Se f : R → R è iniettiva, quali tra le seguenti funzioni
sono pure iniettive nei rispettivi domini?
g1 (x) = sin[f (x)],
g2 (x) = log[f (x)],
g3 (x) = |f (x)|.
• Esercizio 1.1.39 – Veriﬁcare che la funzione
√
1
f (x) = log( x + 1) − log x
2
è inﬁnitesima per x → +∞ e determinare l’ordine e la parte principale d’inﬁnitesimo.
• Esercizio 1.1.40 – Determinare, se esiste, il limite della successione deﬁnita
da
a0 = 1
an+1 = 7an3+2
• Esercizio 1.1.41 – Calcolare
lim (1 + e−n )log n .
n→+∞
• Esercizio 1.1.42 – Sia f : R → R una funzione continua. Dimostrare che
se vale la condizione
lim f (x) = lim f (x) = +∞
x→−∞
x→+∞
allora esiste un punto di minimo assoluto per f (x).
• Esercizio 1.1.43 – Dimostrare che la funzione
x x∈Q
f (x) =
0 x∈R−Q
è continua in x0 = 0 e discontinua in tutti gli altri punti.
8
Esercizi di base
• Esercizio 1.1.44 – Dimostrare che gli insiemi
2
2
n +1
n −1
+
+
B=
,n ∈ N
,n ∈ N
A=
3n2
3n2
costituiscono classi separate e contigue. Determinarne l’elemento separatore.
• Esercizio 1.1.45 –
funzioni
Determinare il dominio di ciascuna delle seguenti
2x
f (x) = log(e
− 3e + 2),
x
1
g(x) = arcsin x −
x
.
• Esercizio 1.1.46 – Stabilire se la funzione f (x) = (x + 2)|x + 2| − 1 è
invertibile nel suo dominio e determinarne l’eventuale inversa.
• Esercizio 1.1.47 – Sia A un sottoinsieme di R. Dimostrare che un punto
x0 ∈ R è di aderenza per A se, e soltanto se, esiste una successione di punti di
A che converge ad x0 .
• Esercizio 1.1.48 – Sia f : R → R una funzione continua. Dimostrare che,
se f (x) è periodica, allora f (x) è uniformemente continua su R.
• Esercizio 1.1.49 – Determinare i punti di accumulazione dell’insieme
n
,n ∈ N .
A = (−1)n · 2 + (−1)n+1 · 3 +
n+1
• Esercizio 1.1.50 – Calcolare l’ordine e la parte principale d’inﬁnitesimo,
per x → 0+ , della funzione
f (x) = x + x3 − x − x3 .
• Esercizio 1.1.51 – Confrontare per x → 0 i due inﬁnitesimi
f (x) = ex − cos x,
g(x) = sin x.
1.1. Fino ai limiti
9
• Esercizio 1.1.52 – Calcolare, al variare di α ∈ R il limite
lim n
α
n→+∞
3
n3
√
3
3
+n n− n −n n .
√
• Esercizio 1.1.53 – Per quali valori di a, b ∈ R le funzioni
f (x) = log (1 + xa ) ,
g(x) = cosh(bx3 ) − 1
sono equivalenti in x0 = 0?
• Esercizio 1.1.54 – Determinare i valori di α ∈ R per i quali la funzione
log(1 + tan x)
f (x) =
sin
sinα x
1
tan x
è un inﬁnitesimo per x → 0.
• Esercizio 1.1.55 – Sia (an ) una successione di numeri reali a valori in un
intervallo I e sia f : I → R una funzione uniformemente continua. Posto
bn = f (an ), dimostrare che se la successione (an ) è di Cauchy, allora anche la
successione f (an ) è di Cauchy.
• Esercizio 1.1.56 – Sia (an ) una successione di numeri reali a valori in un
intervallo chiuso I e sia f : I → R una funzione continua. Dimostrare che se
lim an = ∈ R, allora ∈ I e
n→+∞
lim f (an ) = f ().
n→+∞
• Esercizio 1.1.57 – Sia f : R → R una funzione continua. Dimostrare che,
se f (x) non è suriettiva, allora f (x) è limitata o superiormente o inferiormente.
• Esercizio 1.1.58 – Sia A un sottoinsieme di R. Dimostrare che un punto
x0 ∈ A è isolato se, e soltanto se, tutte le successioni di punti di A convergenti
ad x0 sono deﬁnitivamente costanti.
10
Esercizi di base
• Esercizio 1.1.59 – Sia (an ) una successione divergente a +∞. Dimostrare
che se esiste una successione di numeri naturali (kn ) tale che
lim sin(2πan − 2πkn ) = n→+∞
allora
lim sin(2πan ) = .
n→+∞
Utilizzando questo risultato, calcolare lim sin 2π n2 + n .
n→+∞
• Esercizio 1.1.60 – Sia (an ) una successione di numeri reali ed
A = {an , n ∈ N} la sua immagine. Sia y un punto di accumulazione di A.
Dimostrare che esiste una sottosuccessione di (an ) che converge ad y.