NOTE SUGLI INTEGRALI
Prof. SILVIA STRADA
Appunti di supporto al corso di Fondamenti di Automatica
A.A. 2008-09
L’integrale indefinito
Data una funzione f (x) si dice che la funzione G(x) è una primitiva di f (x) se si verifica che
dG(x)
= f (x)
dx
Quindi se una funzione ammette una primitiva ne ammette infinite.
Si definisce integrale indefinito di una funzione f (x) l’insieme delle sue primitive:
Z
f (x)dx = G(x) + c
In appendice a queste note è riportato un elenco di alcuni degli integrali fondamentali. Non
esistono regole che permettano di calcolare l’integrale di una qualsiasi funzione. Esistono però dei
metodi di integrazione che consentono di calcolare l’integrale di alcune funzioni.
• Metodo di integrazione per sostituzione
Questo metodo di integrazione viene illustrato attraverso due esempi.
1 esempio
Z
2x cos(x2 )dx
si effettui la sostituzione x2 = t ⇒ dx2 = dt ⇒ 2xdx = dt
Z
cos(t)dt = sin(t) + c = sin(x2 ) + c
2 esempio
Z
1
(ln x)5 dx
x
si effettui la sostituzione ln x = t ⇒ d(ln x) = dt ⇒ x1 dx = dt
Z
t5 dt =
t6
(ln x)6
+c=
+c
6
6
• Metodo di integrazione per parti
Dalla regola di derivazione di un prodotto si ottiene la seguente formula di integrazione per
1
parti:
Z
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) −
f 0 (x)g(x)dx
Il metodo funziona se l’integrale del secondo membro è più facile da calcolare dell’integrale
al primo membro. Ad esempio
Z
Z
x cos xdx = x sin x − 1 sin xdx = x sin + cos x + c
• Metodo per l’integrazione di funzioni razionali fratte
Per integrare le funzioni razionali fratte (rapporto tra due polinomi) per prima cosa, se il numeratore ha grado maggiore del denominatore, bisogna effettuare la divisione del numeratore per il
denominatore.Successivamente, bisogna scomporre la frazione nella somma di frazioni elementari.
Ad esempio
Z
x+3
x2 − 2x + 5
dx =
1+ 2
dx =
2
x − 3x + 2
x − 3x + 2
Z
Z
x+3
x+3
x+
dx
=
x
+
dx =
x2 − 3x + 2
(x − 1)(x − 2)
Z
Z
Z
4
5
1
1
x+ −
+
dx = x − 4
dx + 5
dx =
(x − 1) (x − 2)
(x − 1)
(x − 2)
x − 4 ln |x − 1| + 5 ln |x − 2| + c
Z
L’integrale definito
Sia f (x) una funzione positiva definita in un intervallo chiuso [a, b] ed ivi limitata. L’area della
zona racchiusa tra il grafico della funzione, le due ordinate di f (x) in a e b e il segmento [a, b] si
può calcolare in maniera approssimata dalle somme integrali che geometricamente rappresentano
un plurirettangolo che approssima l’area cercata.
2
In maniera non del tutto rigorosa si può dire che se, facendo tendere a zero l’ampiezza di tutti gli
intervallini, esiste il limite delle somme integrali, la funzione f (x) è integrabile e il numero che si
ottiene si chiama integrale def inito tra a e b della funzione f (x) e si indica con
Z
b
f (x)dx
a
con f (x) funzione integranda e a e b estremi di integrazione.
Si tenga bene presente la differenza tra l’integrale indefinito che è data da una classe di funzioni
e l’integrale definito che è un numero. La regola pratica per il calcolo dell’integrale definito, se
la funzione f (x) è continua nell’intervallo [a, b], dice di procurarsi una primitiva G(x) di f (x),
calcolare il valore di G(x) negli estremi b ed a e farne la differenza.
Z
b
a
f (x)dx = [G(x)]ba = G(b) − G(a)
Se si usano il metodo di integrazione per sostituzione o per parti, si può prima calcolare l’integrale
indefinito, scegliere una primitiva e usare la regola precedente. Vediamo i seguenti esempi:
1 esempio - integrazione per sostituzione
Z
4
0
√
e x
√ dx
x
√
√
posto x = t ⇒ d x = dt ⇒ 2√1 x dx = dt e cambiando gli estremi di integrazione, se x=0
√
√
⇒ t = 0 = 0, se x = 4 ⇒ t = 4 = 2
Z
4
0
√
e x
√ dx =
x
Z
2
0
2et dt = [2et ]20 = 2e2 − 2
2 esempio - integrazione per parti
Z
2
x ln xdx
1
scelto f (x) = ln x ⇒
Z
2
1
df
dx
=
1 dg
x dx
= x ⇒ g(x) =
x2
x ln xdx = [ ln x]21 −
2
Z
2
1
x2
2
quindi
1 x2
x2
1
dx = 2 ln 2 − [ ]21 = 2 ln 2 − (1 − )
x 2
4
4
3
La funzione integrale
Se f (x) è integrabile in un intervallo [a, b] si può considerare la funzione F (x) cosi’ definita
Z x
F (x) =
f (t)dt
a
La funzione F (x) cosi’ definita si dice funzione integrale e, fissato a, dipende solo da x e non da
t. Si può inoltre dimostrare che la funzione integrale è sempre continua se lo è la funzione f (x)
e vale la relazione dFdx(x) = f (x). Quindi F (x) è una primitiva di f (x) e quindi tutte le funzioni
continue ammettono una primitiva.
ELENCO DEGLI INTEGRALI PIU’ COMUNI
Funzioni razionali
Z
dx = x + C
Z
xa dx =
Z
Z
xa+1
+C
a+1
per a 6= −1
1
dx = ln |x| + C
x
1
dx = arctan x + C
1 + x2
Logaritmi
Z
lnxdx = xlnx − x + C
Z
logb xdx = x logb x − x logb e + C
4
Funzioni esponenziali
Z
ex dx
=
ex + C
Z
ax dx =
ax
lna
+C
Funzioni irrazionali
Z
1
dx = arcsin x + C
1 − x2
Z
−1
√
dx = arccos x + C
1 − x2
Z √
a2
x x√ 2
2
2
a − x dx =
arcsin +
a − x2 + C
2
a 2
√
Funzioni trigonometriche
Z
cos xdx = sin x + C
Z
sin xdx = − cos x + C
Z
tan xdx = − ln |cos|x + C
5
