Disequazioni irrazionali

Disequazioni irrazionali
Le disequazioni irrazionali sono della forma
p
n
A(x) = B(x)
dove A(x) e B(x) sono polinomi ed n è un numero naturale.
Per esempio è una disequazione irrazionale
4
p
x2 − 1 = x + 2.
Il procedimento risolutivo cambia se l’indice della radice è dispari oppure pari.
Radici con indice dispari
Per risolvere una disequazione irrazionale con indice n dispari:
1) si isola la radice;
2) si elevano a n entrambi i membri;
3) si risolve la disequazione ottenuta.
Vediamo subito degli esempi:
Esempio 1. Consideriamo la disequazione
3
√
x − 4 − 5 > 0.
In questo caso n = 3 e quindi è dispari.
Quindi: isoliamo la radice, cioè
√
3
x − 4 > 5;
eleviamo al cubo entrambi i membri
¡3 √
¢3
> 53
x−4
=⇒
x − 4 > 125;
=⇒
x > 129.
e infine, risolviamo la disequazione ottenuta
x > 4 + 125
Esempio 2. Consideriamo la disequazione
3
p
x − x3 < −x.
In questo caso n = 3 e quindi è dispari. Procedendo come prima si avrà
3
p
x − x3 < −x
=⇒
=⇒
³ p
3
x − x3
´3
< (−x)3
x − x3 + x3 < 0
1
=⇒
=⇒
x < 0.
x − x3 < −x3
=⇒
Esempio 3. Consideriamo la disequazione
√
3
x − 4 >3
√
5x + 6.
Anche in questo caso l’indice n = 3 e quindi è dispari. Per questo tipo di disequazione si procede
in modo analogo. Si avrà
¡3 √
¢3
x−4
>
¡3 √
5x + 6
¢3
=⇒
x − 4 > 5x + 6
=⇒
−4x > 10
−10
x<
.
4
=⇒
=⇒
=⇒
x − 5x > 4 + 6
4x < −10
=⇒
=⇒
Radici con indice pari
Ricordiamo che non si può estrarre la radice pari dei numeri negativi e che ogni radicale con indice
pari è sempre maggiore o uguale a zero. In altre parole si considera solo la radice positiva, cioè per
esempio
√
4 = +2.
Nel caso di n pari, bisogna distinguere due casi:
p
• Se n A(x) < B(x) allora si considera il sistema


 A(x) ≥ 0
B(x) > 0


n
A(x) < [B(x)] .
• Se
n
p
A(x) > B(x) allora si devono considerare i due sistemi
½
½
B(x) ≥ 0
A(x) ≥ 0
e
n
A(x) > [B(x)] .
B(x) < 0.
Vediamo degli esempi.
Esempio 4. Consideriamo la disequazione
p
x2 + 3 < x + 1.
In questo caso n = 2 e quindi è pari. Ci troviamo nel primo dei due casi trattati. Nel nostro caso
si ha A(x) = x2 + 3 e B(x) = x + 1. Quindi bisogna considerare il sistema

 x2 + 3 ≥ 0
x+1>0
 2
x + 3 < (x + 1)2 .
Considerando che
x2 + 3 < (x + 1)2
=⇒
x2 + 3 < x2 + 2x + 1
=⇒
2
x2 + 3 − x2 − 2x − 1 < 0
=⇒
−2x + 2 < 0
si ha
(
x2 + 3 ≥ 0
x > −1
x>1.
per ogni x
Quindi la soluzione del sistema è x > 1 (vedi graf. 1).
Esempio 5. Consideriamo la disequazione
p
x2 − 4 > x − 3.
Anche in questo caso n = 2 quindi è pari. Siccome c’è ¿ dobbiamo considerare il secondo caso
trattato. In questo caso si ha A(x) = x2 − 4 e B(x) = x − 3, quindi dovremo considerare i due sistemi
½
1)
½
x−3≥0
x2 − 4 > (x − 3)2
2)
x2 − 4 ≥ 0 .
x−3<0
Analizziamo il primo. Considerando che
x2 − 4 > (x − 3)2
=⇒
x2 − 4 > x2 − 6x + 9
=⇒
x2 − 4 − x2 + 6x − 9 > 0
si ha
n
1)
=⇒
½
x−3≥0
6x − 13 > 0
=⇒
=⇒
6x − 13 > 0
x≥0
x > 13
6
quindi, x ≥ 3 (vedi graf. 2).
Ora analizziamo il secondo. Considerando che
x2 − 4 ≥ 0
si ha
=⇒
n
2)
(x − 2)(x + 2) ≥ 0
=⇒
n
x ≤ −2 e x ≥ 2
x−3<0
=⇒
x ≤ −2 e x ≥ 2
x ≤ −2 e x ≥ 2
x<3
quindi x ≤ −2 e x ≤ 2 < 3 (vedi fig. 3).
Quindi, riepilogando, la nostra disequazione ha soluzione, per
x ≤ −2,
2≤x<3
e
e quindi di conseguenza per
x ≤ −2
e
3
x ≥ 2.
x≥3
4