Esercizi svolti Insiemi di esistenza Prof. Chirizzi Marco www.elettrone.altervista.org 1) Trovare l’insieme di esistenza della funzione: f ( x ) = x 3 − 12 x 2 + 5 x − 1 Siccome le operazioni da eseguire sulla variabile x sono sempre possibili, l’insieme di definizione della funzione data è costituito da tutti i numeri reali, quindi possiamo scrivere: I = ] − ∞, + ∞ 2) [ Trovare l’insieme di esistenza della funzione: f ( x) = x − 4 Affinché questa funzione sia definita nell’insieme dei numeri reali, la funzione radicanda, cioè la quantità x − 4 , deve essere positiva o nulla, quindi bisogna imporre la seguente condizione: x−4≥ 0 che è soddisfatta per x ≥ 4 . In definitiva, l’insieme di esistenza della funzione data è: I = [ 4, + ∞ [ N.B. La funzione radice ad indice pari è definita nell’insieme dei numeri reali, se la funzione radicanda è positiva o nulla; mentre la funzione radice ad indice dispari è definita in tutto l’insieme dei numeri reali. 3) Trovare l’insieme di esistenza della funzione: f ( x ) = 5 x 3 + 6 x − 14 Questa funzione è definita in tutto l’insieme dei numeri reali, in quanto l’indice della radice è dispari e la funzione radicanda è una funzione razionale intera. 4) Trovare l’insieme di esistenza della funzione: 5x 2 − x + 1 f ( x) = x−3 Questa funzione è definita per ogni valore di x che non annulli il denominatore, per cui bisogna imporre la seguente condizione: x−3≠ 0 da cui si ricava: x≠3 quindi, possiamo scrivere: I = ] − ∞, 3 [ ∪ ] 3, + ∞ 5) [ Trovare l’insieme di esistenza della funzione: f ( x) = x x+5 Ricordiamo che l’estrazione di radice ad indice pari è possibile solo quando il radicando è positivo o nullo, quindi dobbiamo imporre la seguente disequazione fratta: x ≥0 x+5 le cui soluzioni sono: x < −5 e x ≥ 0 In definitiva, l’insieme di definizione della funzione data è: I = ] − ∞, − 5 [ ∪ [ 0, + ∞ 6) [ Trovare l’insieme di esistenza della funzione: f ( x) = log ( x + 2 ) Ricordiamo che il logaritmo, qualunque sia la base positiva e diversa da uno, esiste soltanto quando l’argomento è positivo, di conseguenza bisogna imporre la seguente disequazione: x+2>0 da cui si ha: x > −2 L’insieme di definizione della funzione data è: I = ] − 2, + ∞ 7) [ Trovare l’insieme di definizione della funzione: f ( x) = log ( x 2 − 2 x − 3 ) ( x 2 − x − 12 ) 25 − x 2 Dobbiamo attribuire alla variabile x valori soddisfacenti alle seguenti condizioni: x 2 − x − 12 ≠ 0 2 25 − x > 0 x 2 − 2 x − 3 > 0 Risolvendo il sistema di disequazioni, possiamo dire che l’insieme di esistenza della funzione è costituito dall’unione dei seguenti intervalli aperti: I = ] − 5, − 3 [ ∪ ] − 3, − 1 [ ∪ ] 3, 4 [ ∪ ] 4, 5 8) [ Trovare l’insieme di esistenza della funzione: f ( x) = log 10 ( x − 3 ) Dobbiamo imporre la seguente condizione: log 10 ( x − 3 ) ≥ 0 Questa disequazione si risolve come segue: log 10 ( x − 3 ) ≥ 0 ⇔ x −3 ≥1 ⇔ x ≥ 4 In definitiva, l’insieme di esistenza della funzione è: I = [ 4, + ∞[ 9) Trovare l’insieme di esistenza della funzione: f ( x) = x − 2 + 3 − x La funzione è definita per tutti i valori di x che soddisfano al seguente sistema di disequazioni: x − 2 ≥ 0 3 − x ≥ 0 che risolvendo si ha: 2≤ x≤3 L’insieme di definizione è: I = [ 2, 3 10) ] Trovare l’insieme di esistenza della funzione: f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + 3x E’ opportuno che questa funzione venga scritta nella seguente forma: f ( x) = x ( x 2 − 4 x + 3 ) Dobbiamo imporre che la funzione radicanda sia positiva o nulla: x (x 2 − 4x + 3 ) ≥ 0 dove : x 2 − 4x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 e x ≥ 3 Intersecando queste soluzioni con la soluzione x ≥ 0 , si ricava l’unione dei seguenti intervalli: I = [ 0, 1 ] ∪ [ 3, + ∞[