Esercizi svolti Insiemi di esistenza

Esercizi svolti
Insiemi di esistenza
Prof. Chirizzi Marco
www.elettrone.altervista.org
1)
Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
f ( x ) = x 3 − 12 x 2 + 5 x − 1
Siccome le operazioni da eseguire sulla variabile x sono sempre possibili, l’insieme di definizione
della funzione data è costituito da tutti i numeri reali, quindi possiamo scrivere:
I = ] − ∞, + ∞
2)
[
Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
f ( x) = x − 4
Affinché questa funzione sia definita nell’insieme dei numeri reali, la funzione radicanda, cioè la
quantità x − 4 , deve essere positiva o nulla, quindi bisogna imporre la seguente condizione:
x−4≥ 0
che è soddisfatta per x ≥ 4 . In definitiva, l’insieme di esistenza della funzione data è:
I = [ 4, + ∞
[
N.B.
La funzione radice ad indice pari è definita nell’insieme dei numeri reali, se la funzione radicanda
è positiva o nulla; mentre la funzione radice ad indice dispari è definita in tutto l’insieme dei
numeri reali.
3)
Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
f ( x ) = 5 x 3 + 6 x − 14
Questa funzione è definita in tutto l’insieme dei numeri reali, in quanto l’indice della radice è
dispari e la funzione radicanda è una funzione razionale intera.
4)
Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
5x 2 − x + 1
f ( x) =
x−3
Questa funzione è definita per ogni valore di x che non annulli il denominatore, per cui bisogna
imporre la seguente condizione:
x−3≠ 0
da cui si ricava:
x≠3
quindi, possiamo scrivere:
I = ] − ∞, 3 [ ∪ ] 3, + ∞
5)
[
Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
f ( x) =
x
x+5
Ricordiamo che l’estrazione di radice ad indice pari è possibile solo quando il radicando è positivo
o nullo, quindi dobbiamo imporre la seguente disequazione fratta:
x
≥0
x+5
le cui soluzioni sono:
x < −5 e x ≥ 0
In definitiva, l’insieme di definizione della funzione data è:
I = ] − ∞, − 5 [ ∪ [ 0, + ∞
6)
[
Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
f ( x) = log ( x + 2 )
Ricordiamo che il logaritmo, qualunque sia la base positiva e diversa da uno, esiste soltanto quando
l’argomento è positivo, di conseguenza bisogna imporre la seguente disequazione:
x+2>0
da cui si ha:
x > −2
L’insieme di definizione della funzione data è:
I = ] − 2, + ∞
7)
[
Trovare l’insieme di definizione della funzione:
f ( x) =
log ( x 2 − 2 x − 3 )
( x 2 − x − 12 )
25 − x 2
Dobbiamo attribuire alla variabile x valori soddisfacenti alle seguenti condizioni:
 x 2 − x − 12 ≠ 0

2
25 − x > 0
x 2 − 2 x − 3 > 0

Risolvendo il sistema di disequazioni, possiamo dire che l’insieme di esistenza della funzione è
costituito dall’unione dei seguenti intervalli aperti:
I = ] − 5, − 3 [ ∪ ] − 3, − 1 [ ∪ ] 3, 4 [ ∪ ] 4, 5
8)
[
Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
f ( x) =
log 10 ( x − 3 )
Dobbiamo imporre la seguente condizione:
log 10 ( x − 3 ) ≥ 0
Questa disequazione si risolve come segue:
log 10 ( x − 3 ) ≥ 0 ⇔
x −3 ≥1 ⇔ x ≥ 4
In definitiva, l’insieme di esistenza della funzione è:
I = [ 4, + ∞[
9)
Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
f ( x) = x − 2 + 3 − x
La funzione è definita per tutti i valori di x che soddisfano al seguente sistema di disequazioni:
x − 2 ≥ 0

3 − x ≥ 0
che risolvendo si ha:
2≤ x≤3
L’insieme di definizione è:
I = [ 2, 3
10)
]
Trovare l’insieme di esistenza della funzione:
f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + 3x
E’ opportuno che questa funzione venga scritta nella seguente forma:
f ( x) = x ( x 2 − 4 x + 3 )
Dobbiamo imporre che la funzione radicanda sia positiva o nulla:
x (x 2 − 4x + 3 ) ≥ 0
dove :
x 2 − 4x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 e x ≥ 3
Intersecando queste soluzioni con la soluzione x ≥ 0 , si ricava l’unione dei seguenti intervalli:
I = [ 0, 1 ] ∪ [ 3, + ∞[