Potenze: proprietà Proprietà delle potenze Definizione: Dato un numero razionale a ed un numero intero positivo n maggiore di 1, si chiama potenza ennesima di a il prodotto di n fattori uguali ad a. an = aaaaa….a n volte Le limitazioni della definizione ai numeri razionali e ad esponenti positivi maggiori di 1 saranno superate nel momento in cui si enunceranno in modo completo le proprietà delle potenze. Proprietà 1) Il prodotto di due potenze di uguale base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti Esempio a am = an + m 5457 = 54 + 7 = 511 2) Il quoziente di due potenze di uguale base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. an:am = an - m 58:52 = 58 - 2 = 56 54:57 = 54 - 7 = 5-3 n a 3) La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che si ottiene elevando la base della prima potenza ad un esponente uguale al prodotto degli esponenti. x y 5 3 4 ax y 534 512 4) La potenza di un prodotto indicato è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori. a b c x ax bx c x 3 4 57 37 47 57 5) Il prodotto di più potenze, con esponenti uguali, è uguale ad una potenza avente per base il prodotto delle basi e per esponente,l’esponente comune. ax b x c x a b c x 6) La potenza di un quoziente è uguale al quoziente delle potenze del dividendo e del divisore. a : bn an : bn 37 4 7 57 3 4 57 n an a n b b 5 : 3n 5n : 3n n 5n 5 n 3 3 1 Potenze: proprietà Proprietà 7)Una potenza con esponente un numero Sia n >0 negativo è uguale ad una potenza che ha per base il reciproco della base e per esponente l’opposto dell’esponente dato. Esempio a n 1 1 n a a n 5 3 1 1 3 5 5 3 a b n bn b n a a 4 34 3 4 5 5 5 3 n 4 a0 1 8) Una potenza che ha per esponente lo zero è sempre uguale ad 1. 5 0 1 0 4 1 3 9) Il numero 1 può essere scritto come una potenza di base qualsiasi avente come esponente lo zero. c 1a b d 0 0 0 4 15 3 7 0 0 0 10) Una potenza, avente per base un numero a e per esponente un numero x, può essere scritta dove: come prodotto di potenze aventi la stessa base il numero a e per esponenti dei numeri la cui somma è x. a x an m k a n am ak 11) Una potenza, avente per base un numero a e per esponente un numero x, può essere scritta dove: come divisione tra due potenze aventi la stessa base il numero a e per esponenti due numeri la cui differenza sia x. a x an m an : am 12) Un radicale si può scrivere sotto forma di potenza avente per base il radicando e per esponente una frazione dove il numeratore è l’esponente del radicando e per denominatore l’indice di radice. 2 x=n+m+k 58 5 5 4 53 x=n–m 7 4 710 6 710 : 76 y ax a 5 7 7 3 x y 3 5 710 76