Proprietà delle potenze

Potenze: proprietà
Proprietà delle potenze
Definizione: Dato un numero razionale a ed un numero intero positivo n maggiore di 1, si
chiama potenza ennesima di a il prodotto di n fattori uguali ad a.
an = aaaaa….a
n volte
Le limitazioni della definizione ai numeri razionali e ad esponenti positivi maggiori di 1
saranno superate nel momento in cui si enunceranno in modo completo le proprietà delle potenze.
Proprietà
1) Il prodotto di due potenze di uguale base è una
potenza che ha per base la stessa base e per
esponente la somma degli esponenti
Esempio
a am = an + m
5457 = 54 + 7 = 511
2) Il quoziente di due potenze di uguale base è
una potenza che ha per base la stessa base e per
esponente la differenza degli esponenti.
an:am = an - m
58:52 = 58 - 2 = 56
54:57 = 54 - 7 = 5-3
n
a 
3) La potenza di una potenza è uguale ad una
potenza che si ottiene elevando la base della
prima potenza ad un esponente uguale al
prodotto degli esponenti.
x y
5 
3 4
 ax  y
 534  512
4) La potenza di un prodotto indicato è uguale al
prodotto delle potenze dei singoli fattori.
a  b  c x  ax  bx  c x
3  4  57  37  47  57
5) Il prodotto di più potenze, con esponenti
uguali, è uguale ad una potenza avente per base
il prodotto delle basi e per esponente,l’esponente
comune.
ax  b x  c x  a  b  c x
6) La potenza di un quoziente è uguale al
quoziente delle potenze del dividendo e del
divisore.
a : bn  an : bn
37  4 7  57  3  4  57
n
an
a
   n
b
b
5 : 3n  5n : 3n
n
5n
5
   n
3
3
1
Potenze: proprietà
Proprietà
7)Una potenza con esponente un numero Sia n >0
negativo è uguale ad una potenza che ha per base
il reciproco della base e per esponente l’opposto
dell’esponente dato.
Esempio
a
n
1
1
   n
a
a
n
5
3
1
1
   3
5
5
3
a
 
b
n
bn
b
   n
a
a
4
34
3
   4
5
5
5
 
3
n
4
a0  1
8) Una potenza che ha per esponente lo zero è
sempre uguale ad 1.
5 0  1
0
4
   1
3
9) Il numero 1 può essere scritto come una
potenza di base qualsiasi avente come esponente
lo zero.
c
1a b  
d
0
0
0
4
15 3  
7
0
0
0
10) Una potenza, avente per base un numero a e
per esponente un numero x, può essere scritta
dove:
come prodotto di potenze aventi la stessa base il
numero a e per esponenti dei numeri la cui
somma è x.
a x  an  m  k  a n  am  ak
11) Una potenza, avente per base un numero a e
per esponente un numero x, può essere scritta
dove:
come divisione tra due potenze aventi la stessa
base il numero a e per esponenti due numeri la
cui differenza sia x.
a x  an  m  an : am
12) Un radicale si può scrivere sotto forma di
potenza avente per base il radicando e per
esponente una frazione dove il numeratore è
l’esponente del radicando e per denominatore
l’indice di radice.
2
x=n+m+k
58  5  5 4  53
x=n–m
7 4  710  6  710 : 76 
y
ax  a
5
7 7
3
x
y
3
5
710
76