Brena - UniBG

Esercitazione 11 Novembre 2016
1. Date le seguenti funzioni disegnare un grafico approssimato studiando:
C.E.; segno, limiti ai bordi del dominio; asintoti; comportamento asintotico
negli zeri e all’infinito:
𝑥
a. 𝑓 𝑥 =
b. 𝑓 𝑥 =
c.
𝑓 𝑥 =
!!!𝑥
!
!
𝑥! − 𝑥!
𝑥! !𝑥
𝑥!!
Assegnato come compito, l’esercizio verrà corretto e completato con lo
studio della derivata prima alla prossima lezione
2. Determinare, utilizzando la definizione come limite del rapporto
incrementale, la derivata delle seguenti funzioni nei punti accanto indicati e
scrivere poi l’equazione della retta tangente in tali punti :
a. 𝑓 x = x + 2
b. f x = e!
⎡ 3
3
5 3⎤
x+
⎢ ;y=
⎥
6
6 ⎦
⎣ 6
nel punto x =1
! !!
[2e ; y = 2e x − e ]
2
nel punto x =1
2
2
3. Determinare, utilizzando la definizione come limite del rapporto
incrementale, la funzione derivata delle seguenti funzioni:
a.
𝑓 𝑥 = 𝑒!𝑥!!
b.
𝑓 𝑥 = log 2𝑥 + 1
2𝑒!𝑥!!
!
!𝑥!!
!
c. 𝑓 𝑥 = log 1 − 𝑥
𝑥!!
Assegnato come compito
4. Applicando la definizione, stabilire se le seguenti funzioni sono derivabili nel
punto indicato e eventualmente classificare i punti di non derivabilità:
a. f x = e! !!!
b. 𝑓 𝑥 =
c.
d.
!
𝑥−2
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑥
𝑓 𝑥 =
!
𝑥! − 1
x = −1
!
x=2
x=1
x=1
punto angoloso
cuspide
punto angoloso
assegnato come compito
flesso a tangente verticale
assegnato come compito
e.
𝑓 𝑥 =
𝑙𝑜𝑔𝑥
𝑥−1
𝑥≥1
0<𝑥>1
punto angoloso
𝑥=1
assegnato come compito
5. Verificare che la funzione f x = x ! log x è prolungabile con continuità per
x=0. La funzione così prolungata è derivabile in x=0?
[sì]
6. Dopo aver disegnato il grafico della seguente funzione definita in R:
𝑥−1 !
𝑓 𝑥 = 𝑒!!𝑥
1 + 𝑙𝑜𝑔𝑥
𝑥≤0
!!𝑥!!
𝑥≥1
studiarne la continuità e la derivabilità (con la definizione) studiando la
natura degli eventuali punti in cui la funzione non è continua e/o derivabile
(prova in itinere del 13/01/2014 tema A)
7. Calcolare, con le regole di derivazione, le funzioni derivate delle seguenti
funzioni :
8. 𝑓 𝑥 = log 𝑎 𝑥
!
𝑓′ 𝑥 = 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑎
9. 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑎
10. 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥
11. 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 3𝑥! + 2 𝑥 + 3 𝑥 + 4 4
𝑥! !!
12. 𝑓 𝑥 = 𝑥!!
!
!
′
𝑥! !!𝑥!!
𝑓 𝑥 =
𝑓′ 𝑥 = 4𝑥! − 6𝑥! +
!
!
𝑥! 𝑥! 𝑥
𝑥
𝑥!! !
! 𝑥
13. 𝑓 𝑥 = 𝑥! 𝑒𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑥 𝑒 3𝑙𝑜𝑔𝑥 + 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑥 + 1
14. 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
𝑓′ 𝑥 = 0
Eserciziconsigliaticomecompito:
Calcolare l’equazione della retta tangente alla curva che rappresenta la seguente
funzione nel punto accanto indicato :
f (x ) = x(log x − 1)
[
]
in x0 = e x − 2 y − 2 e = 0