piano lauree scientifiche 2011 la geometria della sfera nella scuola

PIANO LAUREE SCIENTIFICHE 2011
LA GEOMETRIA DELLA SFERA
NELLA SCUOLA SECONDARIA SUPERIORE
14 luglio 2011
Indice
Introduzione
4
1
La geometria sferica riemanniana
8
1.1
Il V postulato di Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2
Non contraddittorietà delle geometrie non euclidee
1.3
La geometria di Riemann
1.4
La geometria sferica
2
10
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Il progetto didattico
22
2.1
Il Piano nazionale Lauree Scientiche . . . . . . . . . . . . . .
22
2.2
La Matematica nel Piano Lauree Scientiche a Pavia . . . . .
24
2.3
Il laboratorio di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.4
Il laboratorio sulla geometria sferica: Nei dintorni della geo-
2.5
3
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
metria euclidea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Le schede di lavoro: l'analisi a priori
33
. . . . . . . . . . . . . .
Analisi dell'esperienza didattica
52
3.1
La scheda 1 e la scheda 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.1.1
La consegna della scheda 1 e l'esplorazione . . . . . .
55
3.1.2
Analisi dei protocolli relativi alla scheda 1
. . . . . .
56
3.1.3
La discussione sulla scheda 1 . . . . . . . . . . . . . .
58
3.1.4
La consegna della scheda 2 e l'esplorazione . . . . . .
60
3.1.5
Analisi dei protocolli relativi alla scheda 2
. . . . . .
60
3.1.6
La discussione sulla scheda 2 . . . . . . . . . . . . . .
63
3.1.7
Osservazioni conclusive al primo gruppo di schede . . .
65
La scheda 3 e la scheda 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.2.1
La consegna della scheda 3 e l'esplorazione
68
3.2.2
Analisi dei protocolli relativi alla scheda 3
3.2.3
La discussione sulla scheda 3
3.2
1
. . . . .
. . . . . .
68
. . . . . . . . . . . . .
71
3.3
3.4
3.2.4
La consegna della scheda 4 e l'esplorazione . . . . . . .
3.2.5
Analisi dei protocolli relativi alla scheda 4
3.2.6
La discussione sulla scheda 4
3.2.7
Osservazioni conclusive al secondo gruppo di schede
75
. . . . . . . . . . . . .
76
.
78
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.3.1
La consegna della scheda 5 e l'esplorazione . . . . . .
86
3.3.2
Analisi dei protocolli relativi alla scheda 5
. . . . . .
86
3.3.3
La discussione sulla scheda 5 . . . . . . . . . . . . . .
89
3.3.4
Osservazioni conclusive alla scheda 5
La scheda 5
. . . . . . . . .
92
Le schede 6, 7 e 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.4.1
La consegna della scheda 6 e l'esplorazione . . . . . .
94
3.4.2
Analisi dei protocolli relativi alla scheda 6
. . . . . .
95
3.4.3
La discussione sulla scheda 6 . . . . . . . . . . . . . .
98
3.4.4
La consegna della scheda 7 e l'esplorazione . . . . . . 100
3.4.5
Analisi dei protocolli relativi alla scheda 7
3.4.6
La discussione sulla scheda 7 . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4.7
La consegna della scheda 8 e l'esplorazione . . . . . . 103
3.4.8
Analisi dei protocolli relativi alla scheda 8
3.4.9
La discussione sulla scheda 8 . . . . . . . . . . . . . . 106
. . . . . . 100
. . . . . . 103
3.4.10 Osservazioni conclusive al quarto gruppo di schede
3.5
3.6
4
74
. . . . . .
La scheda 9
. . 109
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5.1
La consegna della scheda 9 e l'esplorazione . . . . . . . 110
3.5.2
Condivisione e commenti alle varie risposte
3.5.3
Osservazioni conclusive alla scheda 9
. . . . . . 111
. . . . . . . . . 117
La valutazione dell'attività da parte degli studenti
. . . . . . 118
Approfondimento del Laboratorio sulla geometria sferica:
Tassellazioni sulla sfera
4.1
129
Presentazione delle schede di lavoro e descrizione dell'attività
svolta il giorno 12 Maggio 2011
. . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.1.1
Tassellazioni sulla sfera: scheda 1 . . . . . . . . . . . 133
4.1.2
Consegna ed esplorazione della scheda 1
4.1.3
Analisi dei protocolli relativi alla scheda 1
4.1.4
La discussione sulla scheda 1 . . . . . . . . . . . . . . 137
4.1.5
Tassellazioni sulla sfera: scheda 2 . . . . . . . . . . . 139
4.1.6
La consegna e l'esplorazione della scheda 2 . . . . . . . 140
4.1.7
Analisi dei protocolli relativi alla scheda 2 . . . . . . . 141
4.1.8
La discussione sulla scheda 2 . . . . . . . . . . . . . . 141
4.1.9
Tassellazioni sulla sfera: scheda 3 . . . . . . . . . . . 143
4.1.10 Consegna ed esplorazione della scheda 3
2
. . . . . . . 134
. . . . . . 135
. . . . . . . 145
4.1.11 Analisi dei protocolli relativi alla scheda 3
. . . . . . 145
4.1.12 La discussione sulla scheda 3 . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2
Osservazioni conclusive all'attività
. . . . . . . . . . . . . . . 150
Conclusioni
152
Bibliograa
154
3
Introduzione
L'obiettivo di questo mio lavoro è quello di presentare una delle attività
laboratoriali organizzata dal Dipartimento di Matematica di Pavia all'interno
del Piano Lauree Scientiche 2011. L'attività in questione è un laboratorio
sulla geometria della sfera che ha avuto lo scopo di introdurre ragazzi del
triennio della scuola secondaria superiore ad una geometria, e in generale, ad
una metodologia di indagine, diverse rispetto a quelle comunemente proposte
nelle lezioni in classe.
Nel primo Capitolo, dopo aver brevemente introdotto le problematiche
legate all'accettazione del V postulato di Euclide, si aronta nello specico
la geometria ellittica doppia, o geometria sferica, la quale non ammette il
postulato delle parallele tra i propri assiomi, ma anzi, presuppone l'Assioma
di Riemann: due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto
in comune.
A partire dalla riformulazione e sistematizzazione della geometria di Euclide operata da Hilbert si sostituisce l'assioma delle parallele con l'assioma
di Riemann e da lì, procedendo a un esame di alcuni teoremi, si analizzano nel dettaglio i cambiamenti indispensabili da apportare per ottenere un
nuovo sistema assiomatico che possa dare origine ad una teoria coerente.
La dimostrazione di non contraddittorietà della teoria proposta viene
eettuata interpretando i concetti primitivi in un opportuno dominio di enti
della geometria euclidea, la supercie sferica, e osservando che, in base a
questa interpretazione, gli assiomi risultano proprietà geometriche euclidee
facilmente dimostrabili.
Questa verica tramite l'esibizione di un modello euclideo ha carattere
relativo : la coerenza della geometria non euclidea, viene così a collegarsi alla
non contraddittorietà della geometria euclidea.
Il secondo Capitolo è interamente dedicato alla presentazione del progetto
didattico.
4
Il Piano Lauree Scientiche (PLS) è stato promosso dal Ministero dell'Istruzione, dell'Università e della Ricerca con il principale scopo di porre
rimedio alla crescente crisi di vocazione scientica giovanile, proponendosi di
incrementare il numero di immatricolati alle facoltà scientiche e garantendo
loro un più sicuro inserimento nel mondo del lavoro.
La modalità di lavoro auspicata dal PLS e proposta con convinzione dai
matematici pavesi è, in contrapposizione ad una lezione di tipo frontale,
quella del laboratorio, inteso come momento in cui l'alunno è attivo, formula
le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute
e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati e a confrontarli con
le ipotesi formulate, negozia e costruisce signicati interindividuali, porta a
conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenze
personali e collettive [8, (p. 91)].
L'attività alla quale ho partecipato è stata organizzata e diretta dai professori Pesci A., Vitali E. e Maracci M. con la collaborazione di quattro
insegnanti di scuola secondaria superiore Montani D. (Liceo scientico A.
Amodeo di Mortara), Pochintesta B. (Liceo scientico C. Golgi di Broni),
Abbruscato M. L. (Liceo scientico T. Taramelli di Pavia) e Pavesi L. (Liceo
classico U. Foscolo di Pavia).
Il nostro laboratorio: Nei dintorni della geometria euclidea prevedeva la
presentazione della geometria sferica attraverso l'esplorazione guidata delle
sue proprietà direttamente su un modello in plexiglas, la Sfera di Lénárt,
un opportuno kit ideato dal professore ungherese István Lénárt.
Esso è
costituito da una supercie sferica liscia e trasparente su cui disegnare e da
una serie di strumenti specici, analoghi a quelli piani, per eseguire misure,
tracciare segmenti, rette e circonferenze.
Sempre nel secondo Capitolo vengono presentate le schede di lavoro pensate dal gruppo di ricerca per i ragazzi, ognuna seguita da una breve descrizione in cui si elencano gli obiettivi specici dell'attività. L'insieme delle
schede è stato pensato diviso in 4 gruppi in base agli argomenti proposti:
si inizia con l'esplorazione dei primi elementi (punti, rette e segmenti) e
di alcune loro proprietà e si prosegue con un gruppo di schede incentrato
sul concetto di angolo e su quello di circonferenza e sulla non costanza del
rapporto fra circonferenza e diametro.
Nell'ultimo gruppo di schede, do-
po alcune domande volte ad indagare proprietà delle rette perpendicolari,
si propongono riessioni conclusive sulle analogie e dierenze tra geometria
euclidea e sferica emerse durante tutta l'attività.
Nel terzo Capitolo si descrive completamente l'attività che ho direttamente seguito con gli alunni della classe II B del liceo classico U. Foscolo.
5
Per ogni scheda presentata ai ragazzi si descrive nel dettaglio l'analisi dei
protocolli e lo svolgimento della discussione.
Gli alunni, suddivisi in 4 gruppi di lavoro, hanno iniziato l'attività prendendo dimestichezza con i primi elementi della nuova geometria: hanno individuato il cammino di minima distanza tra due punti come la porzione
di circonferenza massima, minore di una semicirconferenza, che congiunge i
due punti e sono giunti alla denizione di retta sferica e all'analisi delle sue
prime proprietà. Ad esempio, hanno condiviso che non è più vero che per
ogni cippia di punti esiste ed è unica la retta che passa per essi: se i punti
sono antipodali, le rette sono innite.
L'attività è stata sempre caratterizzata da indagini iniziali di tipo esplorativo:
gli studenti, operando sul modello e seguendo le domande propo-
ste sulle schede, scoprivano strada facendo proprietà e teoremi della nuova
geometria.
Uno dei primi aspetti su cui si sono invitati i ragazzi a riettere è stato
il fatto che, nella geometria della sfera, non esistono rette parallele.
Non è stato certamente facile per i ragazzi distaccarsi dalle note concezioni di geometria euclidea e abituarsi a ragionare con i nuovi elementi e
con le nuove proprietà. Proseguendo con l'attività, però, questa dicoltà è
diminuita.
Successivamente i ragazzi hanno scoperto i triangoli sferici e hanno
notato che la somma degli angoli interni non è, come accade sul piano, pari
a
π,
ma risulta sempre maggiore di tale valore.
Gli alunni hanno poi esplorato le proprietà delle rette perpendicolari
cercando di dimostrare per quale motivo data una retta e un punto che
non sia un polo rispetto ad essa, sia unica la perpendicolare alla retta per il
punto. I ragazzi confrontandosi e discutendo sono giunti in modo abbastanza
autonomo alla formulazione della dimostrazione utilizzando il fatto che tutte
le rette perpendicolari ad una assegnata si incontrano in due punti che sono
antipodali rispetto alla retta data.
Le ultime schede di lavoro hanno permesso agli alunni l'esplorazione delle
circonferenze e la constatazione che, sulla sfera, il rapporto tra circonferenza
e diametro non è costante, come sul piano, ma dipende dall'angolo piano
formato dalle due rette passanti per il centro della sfera e, rispettivamente,
per il centro della circonferenza sferica e per un punto arbitrario appartenente
ad essa.
In particolare esso è sempre minore di
π
e tende a questo valore
al tendere a zero dell'angolo, cioè quando la circonferenza tende a ridursi al
suo centro.
I ragazzi hanno arontato l'attività con impegno dimostrando interesse nell'argomento. Nonostante all'inizio ci sia stata un po' di dicoltà ad
6
esporre le proprie idee ai compagni, con il procedere del lavoro le discussioni
si sono svolte più agilmente ed hanno condotto più naturalmente la classe
a condividere le conclusioni auspicate e a proporre anche problematiche più
ampie.
Nell'ultimo Capitolo viene presentata una delle due attività di approfondimento preparate dal gruppo di ricerca costituito dai professori universitari
con la collaborazione delle insegnanti di liceo. La professoressa Angela Pesci
ed io abbiamo collaborato nella stesura di tre schede di lavoro sul tema La
tassellazione della sfera.
La prima attività introduce i ragazzi al tema della tassellazione, ovvero
un ricoprimento con poligoni regolari che non presenti sovrapposizioni o
spazi vuoti. Le tassellazioni della supercie sferica risultano essere cinque (a
meno di isometrie), una per ogni poliedro platonico inscrivibile nella sfera.
A partire dalla supercie sferica e da tre tassellazioni su di essa, gli studenti
hanno dovuto riconoscere i poliedri regolari con vertici corrispondenti ai vertici della tassellazione, inscritti nella sfera: l'ottaedro, il cubo e il tetraedro.
A questo punto, a partire dai modellini dei due restanti poliedri regolari, il
dodecaedro e l'icosaedro, costruiti col Geomag, hanno facilmente individuato le corrispondenti tassellazioni sulla supercie sferica, caratterizzandole in
base alla misura degli angoli e al numero di lati.
Gli studenti hanno poi potuto mettere a confronto ancora una volta la
geometria sferica con quella euclidea.
sellazioni (a meno di similitudine):
Sul piano esistono tre diverse tas-
con triangoli equilateri, quadrati ed
esagoni.
I ragazzi, in generale, hanno dimostrato di aver apprezzato l'attività
loro proposta, riportando sui questionari di valutazione risposte e commenti
largamente positivi.
E' signicativo che la quasi totalità degli aluni abbia
aermato che valeva la pena di partecipare all'attività e che più dell'80%
dei ragazzi abbia riconosciuto di aver modicato la propria visione della
matematica, obiettivo certamente auspicato dal programma del PLS.
7
Capitolo 1
La geometria sferica
riemanniana
1.1
Il V postulato di Euclide
Di tutti i postulati e gli assiomi elencati da Euclide negli Elementi e posti a fondamento della sua teoria sulla geometria, quello che ha da sempre
suscitato perplessità circa la sua evidenza è certamente il noto V postulato.
Esso aerma
V) che se una retta, incontrandone altre due, forma gli angoli interni da
una stessa parte minori di due retti, le due rette, prolungate all'innito, si
incontrino dalla parte in cui sono i due angoli minori di due retti [1, p. 37].
Figura 1
Secondo i canoni del metodo assiomatico classico le proposizioni primitive, in quanto garanti della verità di tutte quelle da esse dedotte, dovevano
risultare immediatamente vere o, come si dice spesso, evidenti, in modo da
non poter essere in alcun modo messe in discussione.
8
L'evidenza del V postulato, invece, fu messa in dubbio già dall'antichità.
Si presume che lo stesso Euclide avesse esitato prima di annoverarlo tra i
postulati e fosse dubbioso circa l'impossibilità di poterlo dimostrare. Questa
ipotesi è corroborata da un'attenta considerazione delle proposizioni iniziali
del libro I degli Elementi: il V postulato interviene per la prima volta nella
dimostrazione della proposizione numero 29, mentre le prime 28 fanno parte
della cosiddetta Geometria Assoluta, cioè quella parte di geometria euclidea
che non assume come presupposto il V postulato. Ci sono inoltre dei teoremi
che Euclide ha dimostrato senza ricorrere al V postulato, nonostante la dimostrazione sarebbe stata più semplice con l'introduzione di esso. Per questi
motivi si sospetta che Euclide avesse cercato di dierire l'uso dell'assioma
delle parallele il più possibile poichè non completamente convinto della sua
indimostrabilità.
Per più di venti secoli matematici e studiosi occidentali tentarono una dimostrazione del V postulato che consentisse di depennarlo dalle proposizioni
primitive. Le strade seguite furono duplici: ottenere una dimostrazione del
V postulato a partire dagli altri e dalle proposizioni da essi dedotte; oppure
riuscire a determinare una proposizione equivalente al V postulato ma che
risultasse evidente e fosse quindi annoverabile senza dicoltà accanto agli
altri postulati. Di fatto, però, anche i più illustri tentativi si rivelarono fallimentari. La maggior parte dei matematici, anche quando pensava di essere
arrivati alla dimostrazione corretta, assumeva come ipotesi proprietà che si
scoprirono poi essere equivalenti al V postulato.
Esistono, in eetti, molte proposizioni che risultano equivalenti al V postulato. Esse sono dimostrabili a partire dai primi cinque postulati e il V postulato è dimostrabile a partire dai primi quattro e una di queste proposizioni,
scelta come assioma.
Per citarne qualcuna:
ˆ
Se due rette
r
e
s
sono parallele, ogni retta perpendicolare ad
perpendicolare anche ad
ˆ
r
è
s.
Due rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli alterni
interni uguali.
ˆ
Due rette parallele ad una terza sono parallele tra loro.
ˆ
Se
r
è una retta di un piano
una stessa parte rispetto ad
una retta
s
parallela ad
α, il luogo dei punti di α che stanno da
r ed hanno da essa distanza assegnata è
r.
9
ˆ
La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due retti.
La versione più conosciuta del V postulato è sicuramente quella dovuta a
John Playfair (1748-1819):
ˆ
In un piano, dati un punto
ed è unica una retta
1.2
s
P
ed una retta
r
non passante per
P , esiste
passante per il punto e parallela alla retta data.
Non contraddittorietà delle geometrie non euclidee
Il processo storico che ha portato all'accettazione e all'aermazione delle
geometrie non euclidee, sorte dalla negazione del V postulato di Euclide, è
stato lungo e complesso, fondamentalmente per il fatto che le idee sulle quali
esse si basavano erano considerate troppo lontane dalla comune percezione
dello spazio sico. L'impossibilità di dimostrare il postulato delle parallele
spinse i matematici dell'Ottocento a ritenere che esso fosse realmente indipendente dalla geometria assoluta. Questo suggerì loro di considerare come
assioma di partenza per la costruzione di una nuova teoria una negazione
del postulato delle parallele. Di fatto, pensando di negare, ad esempio, la
formulazione equivalente, più nota, del V postulato:
In un piano, dati un punto
ed è unica una retta
s
P
ed una retta
r
non passante per
P,
esiste
passante per il punto e parallela alla retta data,
si ottengno due diverse formulazioni che danno origine, rispettivamente,
alla geometria iperbolica e alla geometria riemanniana (sferica ed ellittica):
ˆ
Dati un punto e una retta non passante per esso, esistono almeno due
rette passanti per il punto e parallele alla retta data.
ˆ
Dati un punto e una retta non passante per esso, non esistono rette
parallele alla retta data passanti per il punto.
Per tutto il Settecento, la coerenza della geometria euclidea e la sua non
contraddittorietà, erano state garantite dall'idea che essa traducesse in modo
esatto, corretto e unico la struttura dello spazio tridimensionale.
Il pensiero che iniziò a farsi strada successivamente alla convinzione secondo cui il V postulato fosse indimostrabile nell'ambito della Geometria
10
Assoluta, fu che la veridicità degli assiomi non dovesse basarsi esclusivamente sul legame con la realtà e il mondo sico di cui facciamo direttamente
esperienza.
Quando, nel secolo successivo, cominciò a manifestarsi l'eventualità di
dare legittimità anche alle geometrie non euclidee divenne pertanto necessario stabilire in quali termini fosse possibile vericare la loro validità, dal
momento che esse non potevano avere un riscontro nell'esperienza sensibile.
Il problema della ricerca degli elementi in base ai quali fosse lecito aermare la consistenza delle geometrie non euclidee fu risolto proprio attraverso
l'ausilio della geometria di Euclide.
Oggigiorno si è soliti aermare che le geometrie non euclidee sono non
contraddittorie in quanto è possibile costruirne un modello collegato alla
geometria euclidea; si interpretano, cioè, i concetti primitivi in un opportuno
dominio di enti della geometria euclidea e si dimostra che, in base a questa
interpretazione, risultano vericati gli assiomi. Questo modo di procedere ha
un carattere relativo : la coerenza della geometria non euclidea, si ricollega
alla non contraddittorietà della geometria euclidea.
1.3
La geometria di Riemann
L'assiomatica utilizzata da Euclide nella sua geometria razionale è stata
riformulata nel 1899 da David Hilbert nel suo Grundlangen der Geometrie
(Fondamenti della geometria).
In esso Hilbert organizzò i postulati della
geometria euclidea in cinque gruppi: gli assiomi di incidenza, di ordinamento,
di congruenza, delle parallele e di continuità.
La geometria riemanniana
nasce da tali postulati, modicando appropriatamente gli assiomi.
Il primo assioma da modicare è certamente quello della parallela.
Al
suo posto introduciamo una nuova proposizione, il cosiddetto assioma di
Riemann :
Assioma di Riemann. Due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in comune.
Questo assioma costituisce il punto di partenza per la costruzione della
geometria ellittica.
Innanzitutto, da esso segue immediatamente che non
esistono rette parallele, quindi nè il V postulato, nè le formulazioni ad esso
equivalenti sono valide.
Se però, nel sistema assiomatico messo a punto da Hilbert, sostituiamo al
postulato della parallela, l'assioma di Riemann, otteniamo un sistema contraddittorio. E' infatti possibile dimostrare che per un punto passa almeno
11
una parallela ad una retta data, senza far uso dell'assioma delle parallele.
Lo stesso Euclide, nel teorema 31 del libro I degli Elementi, mostra come
tracciare una linea retta per un punto, parallela ad una retta data, servendosi esclusivamente di proposizioni indipendenti dal postulato delle parallele.
Questo è pertanto in contraddizione con quanto aerma l'assioma di
Riemann, da cui segue appunto che non esistono rette parallele.
Per questo motivo, per costruire una geometria coerente, il sistema di
assiomi della geometria euclidea va ulteriormente modicato.
Per comprendere in che modo gli assiomi hilbertiani vadano rivisitati
analizziamo alcune delle conseguenze dell'assioma di Riemann.
Se consideriamo una retta
dicolari ad
r
nei punti
A
e
B
r
e su di essa due punti
A
e
B,
le due perpen-
si incontrano necessariamente in un punto
P.
Da questa semplice considerazione emerge che, se ammettiamo l'assioma di
Riemann, esistono punti per i quali passano più perpendicolari ad una retta.
Figura 2
Consideriamo ora sulla semiretta opposta ad
AP
un punto
P0
tale che
AP sia congruente ad AP 0 e congiungiamo P 0 con B . I due triangoli che ne
0
risultano, P AB e P AB sono congruenti per il primo criterio di congruenza,
avendo due lati e l'angolo (retto) compreso, uguali. Di conseguenza l'angolo
b
P 0 BA
risulta retto, essendo congruente a
b .
P BA
Quindi i tre punti
P , B, P 0
risultano allineati.
A questo punto si possono distinguere due casi:
1. Supponiamo che i punti
P
e
P 0 siano distinti tra loro.
In questo caso per
essi passano almeno due rette, il ché è in contraddizione con l'assioma di
incidenza di Hilbert I.2 (per due punti
12
A
e
B
c'è al massimo una retta
che appartiene ad ognuno dei due punti
A
e
B ),
che andrà pertanto
modicato.
2. Supponiamo che il punto
P
coincida con
P 0.
In questo caso la con-
traddizione è con gli assiomi di ordinamento, in quanto nella nostra
costruzione abbiamo supposto che il punto
A
si trovi tra
P
e
P 0,
i
quali, quindi, non potrebbero coincidere.
Secondo una nomenclatura introdotta da Klein, se si sceglie di adottare la
prima alternativa, la geometria riemanniana che si ottiene è detta geometria
ellittica doppia, o geometria sferica, mentre la geometria che si ottiene nel
secondo caso si chiama geometria ellittica singola, o semplicemente ellittica.
1.4
La geometria sferica
La prima particolare caratteristica della geometria sferica è l'introduzione
di un nuovo concetto primitivo, oltre a quelli di punto, retta e appartenenza
hilbertiani, quello di punti antipodali. La sua denizione è conseguente all'assioma che segue, che sostituisce i primi due assiomi di incidenza presentati
da Hilbert:
Assioma I0 .1. L'insieme dei punti del piano è suddiviso in coppie di punti,
tali che ogni punto appartiene a una e una sola coppia e i punti di ciascuna
coppia sono distinti. Per due punti che appartengono a coppie distinte passa
una e una sola retta, mentre per i due punti di una stessa coppia passano
più rette.
Deniamo dunque antipodali due punti appartenenti alla stessa coppia.
0
Dall'assioma I .1 segue un fatto estremamente nuovo rispetto alla geometria euclidea. Questo importante risultato della teoria riemanniana è espresso
nel seguente
Teorema 1. Le rette sono linee chiuse.
13
Figura 3
Dimostrazione .
tiamo sulla retta
al segmento
P A.
Consideriamo la gura 2. A partire dal punto
s,
perpendicolare ad
Dal punto
C
r
P 0,
ripor-
0
in A, un segmento P C congruente
tracciamo la perpendicolare
h
alla retta
s
e
CD congruente ad AB (gura 3).
P 0 CD sono congruenti per il primo criterio euclideo
b 0 è retto, anche l'angolo
triangoli, dunque, poichè ABP
riportiamo su di essa un segmento
Notiamo che
P 0 AB
di cogruenza dei
b 0
C DP
e
è anch'esso retto.
Ripetendo la costruzione già vista in precedenza determiniamo il punto
P 00 tale che CP 00 sia congruente a CP 0 . I punti P 0 −D−P 00 risultano allineati
0
e dunque P e P sono antipodali poiché per essi passano almeno due rette:
0
00
P − C − P e P 0 − D − P 00 . Ma, dal momento che P 0 è antipodale di P ,
0
0
per l'assioma I .1, P non può appartenere a due coppie diverse. Dunque P
00
deve coincidere con P e la retta risulta essere una linea chiusa.
Proviamo ora a derivare ulteriori proprietà della geometria sferica volendo
mantenere inalterati gli assiomi di congruenza di Hilbert.
In geometria sferica, come è facile notare, due punti su una retta determinano su di essa due distinti segmenti. In particolare
Corollario 1. Due punti antipodali dividono la retta in due parti congruenti.
Teorema 2. Tutte le rette che passano per un punto dato passano anche per
il suo antipodale.
14
Figura 4
Dimostrazione .
Si consideri ancora la gura 2. Sia Q un punto qualsiasi
s distinto dai due punti antipodali P e P 0 . Sia ora C un punto
della retta s tale che il segmento QC risulti congruente ad AP (gura 4). Si
tracci da C la rette h perpendicolare a s e si ssi su di essa un punto D tale
che CD sia congruente ad AB . In questo modo il triangolo QCD risulta
b è retto. Allora Q risulta essere
congruente a P AB , per cui l'angolo QDC
intersezione delle perpendicolari alla retta h nei punti C e D . Seguendo
sulla retta
a questo punto la costruzione già mostrata in precedenza, cioè riportando
CQ0 congruente a CQ sulla retta s, si
di Q, che quindi appartiene alla retta s.
un segmento
antipodale
determina il punto
Q0
Corollario 2. Due punti antipodali dividono in due parti congruenti tutte
le rette che passano per essi.
Teorema 3. Tutte le rette sono congruenti.
Dimostrazione .
La congruenza tra rette viene stabilita, in accordo con gli
assiomi di congruenza hilbertiani, dimostrando che tutte le rette risultano
somme di segmenti congruenti. Fissate
t
ed
s,
due rette sul piano, esse si
incontrano, per l'assioma di Riemann, in un punto
P.
Per il teorema 2,
0
entrambe le rette passano anche per P , punto antipodale di P . Si consideri,
0
sulla retta s il punto medio di P P e si indichi con A. Da esso si innalzi
la perpendicolare ad
di Riemann,
r
s
e si indichi questa retta con
intersecherà
t
in un punto
15
B.
r.
Sempre per l'assioma
La gura si presenta come la
P 0 AB risultano
b e P 0 BA
b
congruenti per il primo criterio di congruenza e isosceli poichè P BA
0
sono uguali ed entrambi retti essendo i punti P , B , P allineati su t. Ma
0
0
allora P A risulta congruente a P B e P A congruente a P B e i segmenti
0
delle due rette compresi tra i punti P e P sono congruenti. In base a quanto
aermato dal corollario precedente, sono congruenti le intere rette.
gura 2 in cui
P −B −P0
è la retta t. I due triangoli
P AB
e
Dal teorema appena enunciato discende facilmente il seguente corollario:
Corollario 3. Il luogo dei punti medi dei segmenti che, nello stesso piano,
uniscono due punti antipodali
P
e
P0
è una retta che è perpendicolare a tutte
le rette che contengono i segmenti in questione.
Tale corollario si può facilmente invertire:
Teorema 4. Tutte le rette perpendicolari a una stessa retta passano per due
punti antipodali.
In base alla teoria nora esposta, appare evidente la necessità di apportare qualche modica agli assiomi che regolano l'ordinamento sui punti di una
retta, in quanto gli assiomi hilbertiani caratterizzano un ordinamento di tipo
lineare non valido per una linea chiusa, quale è la retta sferica. Ad esempio,
diversamente da quanto accade su una retta euclidea, dati tre punti
C
A, B
e
su una retta della geometria sferica, non si può stabilire quale tra essi stia
fra gli altri due, anche se si è ssato uno dei possibili versi di percorrenza
della retta. Per questo motivo è opportuno scegliere come concetto primitivo, anziché quello di stare fra , quello di separazione che è certamente
più adatto a descrivere il tipo di ordinamento dei punti su una linea chiusa.
La separazione è una relazione quaternaria che indicheremo con l'espressione
S(AB|CD) per
punti C e D .
indicare che la coppia di punti
A
e
B
separa la coppia di
Di seguito gli assiomi di ordinamento, o separazione:
Assioma II0 .1. Se
S(AB|CD),
allora
A, B , C , D
sono quattro punti di-
stinti appartenenti ad una stessa retta.
Dunque la relazione di separazione si applica solo a punti allineati.
Assioma II0 .2. Se
S(AB|CD), allora anche S(BA|CD), S(AB|DC), S(BA|DC),
S(CD|AB), S(CD|BA), S(DC|AB), S(DC|BA).
Questo assioma garantisce che la relazione di separazione dipende solo
dalle due coppie di punti e non dall'ordine dei punti in ciascuna coppia o
dall'ordine in cui consideriamo le due coppie.
16
Assioma II0 .3. Se
A, B , C
D
tale che
almeno un punto
sono tre punti distinti di una retta, allora esiste
S(AB|CD).
0
L'assioma II .3 garantisce dunque l'innità dei punti di una retta sotto
la condizione che su ogni retta vi siano almeno tre punti.
Il seguente assioma aerma che, comunque si scelgano quattro punti su
una retta, essi si possono distribuire in due coppie che si separano.
Assioma II0 .4. Se
A, B , C , D
sono quattro punti distinti appartenenti alla
stessa retta, allora esiste una coppia di punti che separa la coppia costituita
dagli altri due; vale cioè almeno una delle seguenti relazioni:
S(AB|CD),
S(AC|BD), S(AD|BC).
Assioma II0 .5. Se
S(AB|CD)
e
S(AC|BE),
allora
S(AB|DE).
Figura 5
Come i corrispondenti assiomi dell'ordine nella geometria hilbertiana,
anche gli assiomi della separazione nella geometria sferica conducono alla
denizione di segmento e agli altri concetti che si impiegano negli assiomi di
congruenza. Bisogna però tener presente che due punti
A
e
B
determinano
sempre due segmenti anziché uno solo. Soltanto con l'aiuto di un terzo punto
C
si possono distinguere i due segmenti uno dall'altro; uno dei segmenti è
formato da tutti i punti che sono separati da
dai punti rimanenti della retta
C
per mezzo di
A
e
B,
l'altro
AB .
Tranne nel caso in cui due punti siano antipodali, in cui i due segmenti
individuati sono congruenti e vengono deniti semirette, uno dei due segmenti
individuati da
A
e
B
non contiene coppie di punti antipodali, mentre l'altro
ne contiene. Possiamo convenzionalmente denire segmento
AB
il primo di
questi due, cioè la parte che non contiene punti antipodali.
Come conseguenza di questi primi assiomi si ha il seguente teorema:
17
Teorema 5. Dati quattro punti distinti di una retta
una delle seguenti relazioni:
Dimostrazione .
A, B , C , D, vale
S(AB|CD), S(AC|BD), S(AD|BC).
al più
0
Per l'assioma II .4 sappiamo che vale almeno una delle
S(AB|CD) e dimostriamo
valesse S(AC|BD), infatti, per
relazioni elencate. Supponiamo quindi che valga
che non possono valere gli altri due casi. Se
0
l'assioma II .5, avremmo
S(AB|DD),
0
contro l'assioma II .1. Analogamente
si trova una contraddizione se si ammette che valga
S(AD|BC).
Per enunciare l'ultimo degli assiomi di questo gruppo deniamo triangolo
l'insieme costituito da tre punti non allineati e dai punti dei tre segmenti che
uniscono a due a due i tre punti. Da questa denizione segue che i lati dei
triangoli sono minori di una semiretta.
Assioma II0 .6. Una retta che, passando per un vertice, entra in un triangolo
incontra il lato opposto.
In denitiva, mantenendo la suddivisione degli assiomi in cinque gruppi, così come era stato fatto nei Fondamenti della geometria di Hilbert,
potremmo sintetizzare quelli della geometria sferica piana:
Assiomi di appartenenza.
I0 .1. L'insieme dei punti del piano è suddiviso in coppie di punti, tali che
ogni punto appartiene a una e una sola coppia e i punti di ciascuna coppia
sono distinti. Per due punti che appartengono a coppie distinte passa una e
una sola retta, mentre per i due punti di una stessa coppia passano più rette.
I0 .2. Su ogni retta vi sono almeno tre punti.
I0 .3. Non tutti i punti appartengono alla stessa retta.
Assiomi di ordinamento.
II0 .1. Se
S(AB|CD),
allora
A, B , C , D
sono quattro punti distinti appar-
tenenti ad una stessa retta.
II0 .2. Se
S(AB|CD), allora anche S(BA|CD), S(AB|DC), S(BA|DC),
S(CD|AB), S(CD|BA), S(DC|AB), S(DC|BA).
II0 .3. Se
un punto
A, B , C sono tre punti
D tale che S(AB|CD).
II0 .4. Se
A, B , C , D
distinti di una retta, allora esiste almeno
sono quattro punti distinti appartenenti alla stessa ret-
ta, allora esiste una coppia di punti che separa la coppia costituita dagli altri
due; vale cioè almeno una delle seguenti relazioni:
S(AD|BC).
18
S(AB|CD), S(AC|BD),
II0 .5. Se
S(AB|CD)
e
S(AC|BE),
allora
S(AB|DE).
Assiomi di congruenza.
Gli assiomi di congruenza di Hilbert si conservano praticamente inalterati. Nell'insieme di tutti i segmenti essi deniscono una relazione di equivalenza
∼
=
che possiamo chiamare congruenza. Anche nell'insieme di tutti gli
angoli questi assiomi conducono ad una relazione di equivalenza, chiamata
anch'essa congruenza
∼
=.
III0 .1. Dati due punti non antipodali,
retta
r,
A
su ciascuna semiretta di origine
unico segmento
CD
tale che
III0 .2. Se un segmento
A0 B 0
CD ∼
= AB .
e
C
B
ed un altro punto
ed appartenente ad
r
C
su una
esiste un
A00 B 00 sono congruenti ad uno
0 0
stesso segmento AB , allora anche il segmento A B è congruente al segmento
A00 B 00 ; ovvero, brevemente: se due segmenti sono congruenti ad un terzo sono
ed un segmento
congruenti tra loro.
III0 .3. Sia
Allora se
B interno al segmento AC e sia B 0 interno al segmento A0 C 0 .
AB ∼
= A0 B 0 e BC ∼
= B 0 C 0 , risulta anche AC ∼
= A0 C 0 .
III0 .4. Siano dati un angolo
(h, k)
ed una semiretta
retta r , allora in ciascuno dei semipiani di origine
k 0 tale che (h0 , k 0 ) ∼
= (h, k).
r
h0
appartenente ad una
esiste un'unica semiretta
III0 .5. Siano
A, B , C e A0 , B 0 , C 0 due terne di punti non allineati.
0
0
∼
c0 C 0 , allora ABC
c0 C 0 .
b ∼
b ∼
AB = A B , AC ∼
= A0 C 0 e B AC
= B0A
= A0 B
Se
Assioma delle parallele.
Tale gruppo è costituito esclusivamente dall'assioma di Riemann.
IV0 .1. Due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in
comune.
Assioma di continuità.
Il seguente è chiamato Assioma di Dedekind.
V0 .1. Se i punti di un segmento
AB
sono divisi in due classi non vuote in
modo che:
1. tutti i punti di
2. i punti
A
e
B
AB
siano in una o nell'altra classe (e in una sola);
appartengano a classi diverse (che chiameremo rispetti-
vamente prima e seconda classe);
19
3. Tutti i punti della prima classe precedono quelli della seconda;
allora esiste nel segmento
AB
un punto
C
(che può appartenere sia alla
prima sia alla seconda classe) tale che tutti i punti del segmento
precedono
C
AB
che
appartengono alla prima classe e tutti quelli che seguono
C
appartengono alla seconda classe.
A questo punto, per assicurarci che le modiche agli assiomi di Hilbert
abbiano prodotto un sistema logico coerente per la geometria sferica, è necessario procedere alla determinazione di un modello geometrico euclideo che
soddis tutti gli assiomi della geometria sferica.
L'interpretazione immediata che rispetta evidentemente tutti gli assiomi
sopra elencati, che divengono proposizioni valide di geometria euclidea, è
l'ambiente geometrico di una supercie sferica.
In questo modello si interpreta come piano la supercie della sfera, come
punto un usuale punto della supercie sferica e come retta una circonferenza
massima.
Di conseguenza, dati due punti sulla supercie sferica, se essi non sono
antipodali, individuano due porzioni di retta sferica; si conviene quindi di
chiamare segmento la linea di minima distanza tra i due punti. Nel caso i
punti siano antipodali, si ottengono due semirette.
Si adottano poi i concetti di appartenenza, separazione e congruenza nel
senso usuale euclideo.
In base a questa interpretazione si intuisce facilmente come tutti gli as-
siomi della geometria sferica siano dimostrabili come proposizioni di quella
euclidea.
ˆ
Per due punti antipodali passano innite rette, cioè circonferenze massime, in quanto ogni piano passante per la retta che unisce punti diametralmente opposti della sfera la taglia secondo un cerchio massimo
passante per i due punti.
ˆ
Per due punti non antipodali passa una e una sola retta, in quanto i
due punti sulla sfera individuano col centro di essa un unico piano che
taglia sulla sfera un cerchio massimo passante per i due punti.
ˆ
Su una retta vi sono inniti punti e non tutti i punti appartengono alla
stessa retta.
ˆ
La consistenza degli assiomi di ordinamento è assicurata dal fatto che
le rette sono linee chiuse.
20
ˆ
Due rette si incontrano sempre in due punti antipodali, infatti due
cerchi massimi sulla sfera sono individuati da due piani passanti per
il centro della sfera, che hanno quindi come intersezione una retta che
taglia la sfera in due punti opposti, comuni alle due rette.
Pertanto
anche l'assioma di Riemann risulta vericato.
ˆ
La validità degli assiomi di congruenza e di continuità è semplice
conseguenza di proprietà elementari della sfera.
In questa interpretazione risultano facilmente vericati anche i teoremi precedentemente dimostrati:
ˆ
ogni cerchio massimo che passa per un punto passa anche per l'antipodale di tale punto.
ˆ
Tutti i cerchi massimi sono congruenti tra loro.
ˆ
Tutti i cerchi massimi perpendicolari a un dato cerchio massimo si
incontrano in due punti antipodali.
ˆ
Il luogo dei punti medi di tutti i semicerchi massimi che uniscono due
punti antipodali è un cerchio massimo perpendicolare a quei semicerchi.
Dalle osservazioni appena esposte si evince che la supercie della sfera, con le
convenzioni da noi adottate, soddisfacendo pienamente tutti gli assiomi della
geometria sferica riemanniana, ne costituisce un buon modello. Dunque, come abbiamo precedentemente aermato, la geometria della sfera si congura
come teoria coerente grazie alla non contraddittorietà relativa rispetto alla
geometria euclidea.
21
Capitolo 2
Il progetto didattico
2.1
Il Piano nazionale Lauree Scientiche
Nel 2004 il Ministero dell'Università e dell'Istruzione, con la collaborazione
della Conferenza Nazionale dei Presidi di Scienze e Tecnologie e di Conndustria, ha promosso il progetto didattico Lauree Scientiche con la dichiarata
intenzione di porre rimedio alla crescente crisi di vocazione scientica giovanile, proponendosi di incrementare il numero di immatricolati alle facoltà
scientiche e garantendo loro un più sicuro inserimento nel mondo del lavoro. Come si legge sul sito del Ministero dell'Istruzione, dell'Università e della
Ricerca [9], il Progetto Lauree Scientiche si è concentrato nel quadriennio
2005 -2008 su tre obiettivi principali:
ˆ
migliorare la conoscenza e la percezione delle discipline scientiche nella
Scuola secondaria di secondo grado, orendo agli studenti degli ultimi
tre anni di partecipare ad attività di laboratorio curriculari ed extra
curriculari stimolanti e coinvolgenti;
ˆ
avviare un processo di crescita professionale dei docenti di materie
scientiche in servizio nella Scuola secondaria a partire dal lavoro
congiunto tra Scuola e Università per la progettazione, realizzazione,
documentazione e valutazione dei laboratori sopra indicati;
ˆ
favorire l'allineamento e l'ottimizzazione dei percorsi formativi dalla
Scuola all'Università e nell'Università per il mondo del lavoro, potenziando ed incentivando attività di stages e tirocinio presso Università, Enti di ricerca pubblici e privati, Imprese impegnate in ricerca e
Sviluppo.
22
Le linee guida del progetto dimostrano la volontà di potenziare le strutture
del sapere e del mondo del lavoro al loro interno e raorzarne i collegamenti,
coinvolgendo in maniera congiunta Università, Associazioni imprenditoriali
e Scuole. Per raggiungere gli obiettivi pressati, si deniscono azioni mirate
a più livelli: speciche attività di orientamento pre-universitario, miglioramento della qualità della didattica, promozione di stage e tirocini, revisione
delle classi di laurea interessate conferendo maggiore rilievo alle attività di
stage, potenziamento dei percorsi post-lauream, ecc.
Le attività proposte dal Progetto Lauree Scientiche dal 2005 al 2008
hanno coinvolto circa 3000 Scuole e 4000 insegnanti della scuola secondaria
e circa 1800 professori universitari. Gli obiettivi hanno condotto a promuovere ecaci azioni di orientamento e di formazione dei docenti, contribuendo
a colmare, almeno in parte, il profondo gap socio-culturale esistente tra sistema scolastico e sistema universitario.
Di fatto, tra il 2005 e il 2008, le
immatricolazioni ai corsi di laurea di Matematica, Fisica, Chimica e Scienze
dei Materiali, hanno avuto un signicativo incremento, che ha toccato punte del 70% per la classe di Scienze Matematiche, sintomo di un più sentito
interesse e coinvolgimento nei confronti della Scienza, certamente in parte
corroborato da un maggior numero di iniziative ed attività organizzate per
gli studenti, in linea con quanto auspicato dal Progetto Lauree Scientiche.
I signicativi risultati ottenuti nel periodo di sperimentazione hanno portato il Ministero dell'Istruzione, dell'Università e della Ricerca a proporre
un nuovo progetto, allo scopo di approfondire e consolidare ulteriormente il
rapporto tra Scuola e Università, da un lato, e tra Università e mondo del
lavoro, dall'altro. Il nuovo programma è stato denominato Piano nazionale
Lauree Scientiche (di seguito PLS), con l'evidente scopo di distaccarsi dalla
prima fase di carattere ancora sperimentale raorzandone i punti di forza e
sottolineandone con maggior convinzione e chiarezza gli obiettivi primari e
le modalità operative.
Il programma del nuovo PLS si propone, pertanto,
di mantenere le nalità di orientamento e di formazione degli insegnanti del
precedente Progetto Lauree Scientiche: viene ribadita la necessità di fornire
agli studenti la possibilità di conoscere ed approfondire temi nuovi in modo
da poter meglio individuare le proprie attitudini e propensioni e vengono
promosse speciali attività di autovalutazione, in modo che i ragazzi possano
vericare e consolidare le proprie conoscenze alla luce della preparazione richiesta nei vari corsi universitari. La classe insegnante deve venir raorzata
sia dal punto di vista delle conoscenze disciplinari e interdisciplinari, sia per
quanto riguarda l'abilità di motivare e coinvolgere gli allievi, stimolando al
meglio le loro capacità e i loro interessi.
23
Un nuovo punto fondamentale di questo Piano è la espressa esigenza
di focalizzare l'attenzione sulla necessità di collegare consapevolmente le
attività del Piano con l'innovazione dei curricula e delle metodologie didattiche adottati negli istituti scolastici, nonchè dei contenuti e delle modalità
della formazione degli insegnanti (iniziale e in servizio), per il primo e secondo ciclo. Una rinnovata attenzione andrà anche posta al coinvolgimento
delle imprese nella progettazione e realizzazione dei laboratori e delle altre
attività[9].
2.2
La Matematica nel Piano Lauree Scientiche a
Pavia
Il Dipartimento di Matematica di Pavia ha aderito sia al Progetto Lauree
Scientiche che al nuovo PLS nell'ambito di due azioni: "Formazione triennale, stage e post-lauream" e "Orientamento e formazione insegnanti", la prima
legata prevalentemente all'assegnazione di borse di studio per attività di tirocinio presso aziende, la seconda incentrata su azioni mirate all'orientamento
pre-universitario degli studenti e ad attività di formazione insegnanti.
Le principali attività del progetto mirano a fornire ai ragazzi delle scuole
superiori una più corretta visione della matematica, proponendo temi nuovi rispetto agli argomenti comunemente previsti dai programmi ministeriali,
spesso in stretta connessione con altre discipline, focalizzandosi su particolari argomenti delle scienze, della tecnologia o delle professioni, in maniera
quanto più possibile coinvolgente e accattivante, nell'ottica di rilanciare la visione di una materia troppo spesso sottostimata e non compresa, considerata,
anche da studenti brillanti, come una disciplina arida e misteriosa.
L'obiettivo del Piano Lauree Scientiche di incrementare gli iscritti ai
corsi di laurea della facoltà di Scienze, è stato interpretato dai ricercatori
pavesi impegnati nel progetto come la necessità di creare maggior consapevolezza nei ragazzi e di porli quanto più possibile in contatto con quella che
eettivamente è la disciplina matematica, nella speranza di renderli eettivamente più consci dei propri gusti e delle proprie attitudini, certamente con
l'augurio di accendere l'interesse per questa materia in chi prima d'allora si
fosse mostrato indierente. Nell'ambito del progetto Orientamento e formazione insegnanti si è investito molto sulle cosiddette attività di Laboratorio
di Matematica. Per laboratorio si intende un'attività, che avviene in base
a un obiettivo formativo e a un progetto formulato dai docenti, nella quale
gli studenti:
24
ˆ
utilizzano e mettono alla prova le conoscenze e gli strumenti che hanno
disponibili, per descrivere e modellizzare situazioni e fenomeni, per
risolvere problemi, per produrre un evento o un oggetto;
ˆ
discutono e lavorano in gruppo con altri studenti e con i docenti;
ˆ
prendono decisioni, pianicano e operano per raggiungere obiettivi
stabiliti;
ˆ
valutano i risultati ottenuti;
ˆ
acquisiscono concetti e abilità operative e li collegano in costruzioni
teoriche, con consapevolezza metacognitiva.
Il laboratorio in molti casi richiede strumenti e ambienti specici, ma occorre ricordare che la presenza di tali strumenti non è di per sé garanzia che
l'attività svolta sia un laboratorio nel senso precisato sopra. In particolare,
un'attività nella quale gli studenti si limitano esclusivamente ad ascoltare e a
osservare lezioni o anche dimostrazioni sperimentali non è un laboratorio [9].
A Pavia, per la Matematica, sono stati organizzati cinque diversi laboratori, aderendo precisamente al protocollo qui sopra riportato.
2.3
Il laboratorio di matematica
L'esigenza di proporre attività di tipo laboratoriale è senza dubbio sempre
più sentita e perseguita da chi si occupa di didattica della matematica. E'
signicativo il fatto che questa necessità sia stata rimarcata esplicitamente
all'interno delle Indicazioni per il curriculum (2007) della scuola dell'infanzia
e per il primo ciclo d'istruzione in cui si sottolinea, per l'area matematicoscientico-tecnologica l'importanza del laboratorio inteso sia come luogo
sico (aula, o altro spazio specicamente attrezzato) sia come momento in
cui l'alunno è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a
raccogliere dati e a confrontarli con le ipotesi formulate, negozia e costruisce
signicati interindividuali, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperture
la costruzione delle conoscenze personali e collettive [8, (p. 91)].
Per comprendere esattamente cosa si intenda per laboratorio di matematica e in che senso questo possa rappresentare una tanto ecace alternativa alla didattica convenzionale tipica della maggior parte delle lezioni
scolastiche, riportiamo alcune delle considerazioni proposte, già nel 2003,
dall'Unione Matematica Italiana nel volume Matematica 2003 (UMI 2003)
25
per un curriculum il più possibile adeguato ai bisogni della nostra società e
della realtà giovanile.
Il documento sottolinea innanzitutto la necessità di presentare una matematica che si faccia carico di mobilitare le risorse intellettuali degli allievi
anche al di fuori delle abilità strettamente matematiche in modo da contribuire alla formazione complessiva dell'alunno. Per fare ciò è necessario che
si prediliga la scelta di autentici problemi da presentare ai ragazzi piuttosto
che semplici esercizi a carattere ripetitivo. Fare molti esercizi dello stesso
tipo è importante per acquisire scioltezza e sicurezza, ma può ottundere lo
spirito critico se non vi è suciente variabilità[16,
(p. 21)].
Nel paragrafo intitolato Indicazioni metodologiche si enfatizza la necessità di proporre attività didattiche signicative e coinvolgenti , in cui l'alunno possa essere attivamente coinvolto e stimolato ad arontare e risolvere
problemi. [...] Le attività didattiche potranno essere realizzate tramite vari
approcci metodologici, che coinvolgano in varia misura studenti e insegnanti,
ma che dovranno dare al processo di insegnamento-apprendimento prevalentemente una caratterizzazione di tipo collettivo, impostata sull'interazione
tra gli studenti e tra insegnante e studenti[16, (p. 26)].
Il documento UMI 2003 sottolinea che, nonostante la cosiddetta lezione
frontale rappresenti la tecnica più sicura per insegnanti, genitori e dirigenti
scolastici, poichè garantisce, di solito, che si nisca in tempo il programma,
essa non deve essere l'unica metodologia di insegnamento-apprendimento. La
lezione frontale, infatti pur avendo una sua valenza didattica, nell'abituare
gli studenti a prestare attenzione a una spiegazione, a imparare a prendere appunti in maniera autonoma, quando una persona parla, a sviluppare
competenze di sintesi e di organizzazione dell'informazione, a comprendere
un discorso fatto da un esperto su un argomento matematico, [...] andrebbe
aancata, integrata, alternata ad altre metodologie, che sviluppano altre
competenze negli studenti [16, (p. 26)].
E' fondamentale che gli alunni si pongano nei confronti delle materie oggetto di studio con l'atteggiamento corretto. La matematica, in particolare,
non deve essere percepita come un insieme di regole che vengono esposte
dall'insegnante o lette sui libri di testo e che l'alunno deve semplicemente
sforzarsi di memorizzare e applicare. Questa disciplina dovrebbe invece essere riconosciuta e apprezzata come contesto dinamico in cui arontare e porsi
problemi signicativi, mettere alla prova le proprie capacità di ragionamento e analisi ed esercitarle.
Durante attività di tipo laboratoriale, l'alunno
ha l'opportunità di mettersi completamente in gioco ed anzi, è fortemente
spinto dal contesto a farlo: non solo deve prestare attenzione alle congetture
proposte dai compagni, ma è portato a produrre a sua volta ragionamenti;
26
egli si confronta, verica la pertinenza del proprio pensiero e ricerca tesi a
sostegno di esso.
Viste le particolari modalità di questo tipo di didattica,
è usuale assimilare l'ambiente del laboratorio di matematica a quello della bottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e
vedendo fare, comunicando fra loro e con gli esperti [16, (p. 23)]. Risulta
quindi evidente la grande importanza dell'aspetto comunicativo della pratica
laboratoriale. Richiamo, in proposito, quanto proposto sul documento UMI
2003 in un paragrafo intitolato Le interazioni tra le persone nel laboratorio
di matematica:
La costruzione di signicati è strettamente legata alla comunicazione e
condivisione delle conoscenze in classe, sia attraverso i lavori in piccoli gruppi
di tipo collaborativo o cooperativo, sia attraverso lo strumento metodologico
della discussione matematica, opportunamente gestito dall'insegnante.
Ci
soermiamo, a scopo esemplicativo per quel che riguarda la gestione delle
interazioni sociali in classe, sulla discussione matematica.
Un primo livel-
lo di discussione è quello che, per esempio, si sviluppa dopo la lettura del
testo di un problema. Un secondo livello di discussione matematica si sviluppa al termine della soluzione (individuale o in piccoli gruppi) o, talvolta,
in un momento cruciale della soluzione stessa. Tale discussione è centrata
sul confronto delle soluzioni realizzate dagli alunni e si sviluppa attraverso
la presentazione delle proprie soluzioni, oltre che sull'interpretazione e sulla
valutazione di quelle realizzate dai compagni. Un terzo livello di discussione
matematica riguarda la correttezza e la ricchezza delle soluzioni proposte,
la coerenza e l'attendibilità, il livello di generalizzazione adottato. Quest'ultima fase dovrebbe condurre alla costruzione di signicati che vanno oltre
quelli direttamente coinvolti nella soluzione del compito, per consentire agli
studenti di entrare in contatto con nuovi aspetti della cultura matematica,
favorendo in particolare, un approccio, graduale ma sistematico, al pensiero
teorico. [16, (p. 25)].
Gli insegnanti, purtroppo, non sono particolarmente abituati a proporre agli alunni modalità di lavoro alternative rispetto alle classiche lezioni di
tipo frontale. Inoltre, durante la normale attività didattica, tendono spesso
ad essere troppo direttivi e a indirizzare i propri alunni verso la conclusione
dell'indagine, limitando in questo modo quel fondamentale processo di autonomia nell'acquisizione di nuovi contenuti che permette anche di sviluppare
strategie e idee alternative a quelle progettate dall'insegnante. E' pertanto
necessario che i docenti rivedano criticamente il proprio operato e la propria
pratica in classe rivisitando i contenuti matematici da proporre agli studenti
e le modalità di costruzione della conoscenza.
27
Riporto, a titolo d'esempio, signicativi pareri di alcuni insegnanti in seguito alla presentazione di speciche attività laboratoriali basate sul modello
del cooperative learning, raccolti durante esperienze didattiche dierenti e
riportate in un articolo pubblicato nel 2008 sulla rivista L'insegnamento
della matematica e delle scienze integrate.[12, (p. 457)].
ˆ
Ho dovuto più volte ripensare criticamente al lavoro disciplinare da
proporre in classe, migliornado la qualità e l'organizzazione delle proposte didattiche. Ho anche intensicato la riessione sul mio agire in
classe.
ˆ
Ho trovato che il lavoro è più stimolante, la comunicazione con la
classe è più intensa e gli obiettivi da raggiungere sono più facilmente
condivisi.
ˆ
Ho imparato a conoscere gli alunni come persone e non soltanto
come scolari .
ˆ
E' stato un ottimo esercizio per abituarmi a non suggerire la strada
più ecace per arrivare alla soluzione.
ˆ
Ho potenziato la capacità di organizzare e gestire una attività in cui i
ragazzi siano protagonisti e non spettatori del lavoro di classe. Mi ha
aiutato ad essere più attiva nella ricerca di nuove proposte che stimolino
la creatività degli alunni nell'arontare nuovi concetti. Sono stata più
attenta alle situazioni di disagio e di dicoltà presenti in una classe e
che il lavoro cooperativo aiuta ad individuare ed arontare.
2.4
Il laboratorio sulla geometria sferica: Nei dintorni della geometria euclidea
Il laboratorio al quale ho collaborato durante l'anno scolastico 2010-2011, intitolato Nei dintorni della geometria euclidea, è stato organizzato e guidato
dai professori Angela Pesci, Enrico Vitali e Mirko Maracci, con la collaborazione di quattro insegnanti di scuola secondaria superiore. Si è scelto di
proporre agli studenti l'esplorazione di un modello concreto di geometria
sferica, tramite l'utilizzo delle cosiddette sfere di Lénárt, per indagare,
alla luce di interpretazioni dierenti di alcuni termini usuali della geometria
euclidea, la validità o meno di teoremi e proprietà della geometria euclidea.
28
Si è cercato in questo modo di illustrare una tipologia di sviluppo peculiare della matematica, quel movimento di astrazione che a partire da una
realtà nota (la geometria euclidea, nel caso in questione), la inquadra in un
panorama più generale, gettando luce su aspetti, caratteristiche e relazioni
che non sarebbero altrettanto nitidamente delineate rimanendo all'interno
del contesto familiare[13].
Il lavoro è stato pensato per alunni del triennio di scuola secondaria
superiore. In particolare hanno partecipato le seguenti classi: seconda B del
Liceo Classico U. Foscolo di Pavia, con docente Laura Pavesi, quarta B del
Liceo scientico pavese T. Taramelli, con docente Maria Luisa Abbruscato,
quarta D del Liceo scientico A. Amodeo di Mortara, con la professoressa
Daniela Montani e classe terza C del liceo scientico C. Golgi di Broni,
seguita dalla docente Barbara Pochintesta.
Si è scelto di presentare agli studenti un laboratorio sulla geometria della
sfera, un tema con il quale dicilmente i ragazzi hanno modo di confrontarsi
durante le normali lezioni scolastiche. Gli studenti sono stati in questo modo
resi protagonisti di un'azione di costruzione di nuova conoscenza, tramite un
processo di astrazione a partire da una realtà già nota, la geometria del
piano.
Si è auspicato di poterli mettere in questo modo a contatto con
il carattere dinamico e sfaccettato della matematica, con la possibilità di
essere attivi creatori di sapere, in aperto contrasto con la visione statica che
molti hanno di questa materia. In questo modo si è data la possibilità agli
alunni di riettere sulla geometria del piano in una prospettiva più generale e
di venire a conoscenza di una nuova geometria, appartenente al gruppo delle
non euclidee, per le quali non vale il quinto postulato di Euclide, argomento
che viene raramente arontato dagli insegnanti, se non con brevi riferimenti
o cenni di tipo storico.
Per rendere più agile agli studenti l'esplorazione della geometria sferica ci
siamo dotati del kit Sfera di Lénárt, ideato dal professore ungherese István
Lénárt.
Esso è costituito da una supercie sferica liscia e trasparente su
cui disegnare e da una serie di strumenti specici, analoghi a quelli piani,
per eseguire misure e costruzioni accurate. Le principali componenti del kit
sono:
ˆ
La sfera di Lénárt. Una sfera di plastica sulla quale è possibile scrivere
e cancellare.
ˆ
Una base d'appoggio per la sfera di forma toroidale, che è essa stessa
una nuova supercie (il toro) che gli alunni possono investigare.
29
ˆ
Due calotte trasparenti da posizionare sulla sfera sulle quali è possibile
disegnare.
ˆ
Un righello sferico per compiere misurazioni lungo circonferenze massime. Con il bordo graduato è possibile disegnare circonferenze massime,
mentre con il bordo non graduato si possono rappresentare archi di circonferenze sulla supercie sferica ma che non appartenessero a cerchi
massimi. Esso è costituito inoltre di una base d'appoggio a tre piedi
per cui è possibile riporlo su una supercie piana e renderlo un'ulteriore
base per la sfera.
ˆ
Un goniometro sferico per misurare le ampiezze degli angoli sulla sfera.
Va osservato che poichè angoli e segmenti possono avere sulla sfera la
medesima unità di misura (il grado), il goniometro sferico può essere utilizzato per misurare distanze lungo circonferenze e viceversa, il
righello può essere utilizzato per misurare angoli.
ˆ
Un compasso sferico.
Esso permette di disegnare circonferenze sulla
supercie sferica in analogia al metodo con cui si opera nel piano. E'
presente un dischetto di gomma con un piccolo foro al centro che ha
la funzione di base su cui puntare il compasso.
Dopo aver regolato
l'apertura e inserito un pennarello nell'opportuno anello di sostegno
si può procedere al disegno e riuscire ad ottenere circonferenze molto
precise.
30
La progettazione del lavoro è durata circa quattro mesi, da Novembre a
Febbraio 2010, durante i quali si sono svolti quindici incontri pomeridiani
del gruppo di ricerca, comprendente le insegnanti, allo scopo di progettare
insieme le schede di lavoro per gli studenti e denire le modalità operative con
cui condurre l'attività. Si è deciso di suddividere ogni classe in piccoli gruppi
di quattro - cinque persone, secondo criteri scelti dall'insegnante in base alle
conoscenze delle dinamiche della classe nel complesso, ponendo attenzione a
creare gruppi quanto più omogenei tra loro, sia relativamente alle competenze
disciplinari che alle caratteristiche personali o sociali, con lo scopo che gli
elementi più brillanti potessero essere da stimolo per i ragazzi più insicuri
e meno motivati, rendendo in questo modo più partecipe all'attività tutto
il gruppo. L'obiettivo generale da perseguire era quello di avere dei gruppi
capaci di collaborare tra loro, evitando tensioni personali e cercando di far
fruttare le risorse di ognuno, sollecitato a metterle a disposizione di tutti.
All'interno di ogni gruppo, alla ne di ogni esplorazione, l'insegnante
avrebbe dovuto nominare un portavoce diverso, con il compito di riferire a
tutta la classe le conclusioni tratte in seguito alle attività svolte.
Il fatto
che l'insegnante scelga un capogruppo che debba rendere conto dell'operato
di tutto il suo team alla ne del lavoro tende a creare negli alunni maggior
responsabilità e presumibilmente più attenzione durante lo svolgimento, perchè essi si sentono consapevoli di rappresentare non solo se stessi ma anche i
propri compagni. Sono dunque maggiormente responsabilizzati, stimolati a
rappresentare al meglio la loro squadra.
Si è deciso di dotare ogni gruppo del kit Sfera di Lénárt e di una cartellina per raccogliere il materiale, personalizzabile a discrezione dei ragazzi con
scritte e disegni. Procedendo nel lavoro la cartellina si sarebbe arricchita di
contenuti, ma anche di signicato: sarebbe stata testimone del lavoro compiuto insieme, rappresentando per il gruppo un vero e proprio riferimento.
Si è ritenuto importante che ogni ragazzo disponesse inoltre di un quaderno,
fornito anch'esso dall'insegnante, con lo scopo che tutti gli alunni potessero
conservare una propria traccia dell'attività svolta ma soprattutto la formulazione delle risposte alle schede di lavoro nella loro versione nale condivisa
e arricchita di tutte le osservazioni e argomentazioni proposte [11].
Per l'esecuzione dell'attività sono state previste otto ore di lezione da
eettuare durante l'orario scolastico. Le schede di lavoro sono nove ed ognuna è costituita da alcune domande volte a favorire l'esplorazione: si chiede
spesso di agire operativamente sulla sfera tramite disegni e osservazioni per
aiutare gli studenti a ragionare e trarre le giuste conclusioni. Per arontare
e comprendere la geometria della sfera, infatti, potrebbe non essere aatto
suciente l'immaginazione. Per questo, l'opportunità di avere a disposizio-
31
ne uno strumento come quello delle sfere di Lénárt, risulta essere, a nostro
avviso, un'enorme risorsa. Lo studente lavora e disegna sulla supercie liscia
con estrema semplicità e ha la possibilità di eettuare diverse prove grazie
al fatto di poter cancellare e riscrivere e inoltre può compiere misurazioni
accurate con gli strumenti forniti in dotazione. I ragazzi vengono pertanto
in parte guidati nel loro lavoro esplorativo ma, come vedremo dall'analisi
dettagliata delle schede, tanto è lasciato alla loro iniziativa e intuizione. Tra
i nostri obiettivi c'era infatti la scoperta, da parte degli studenti, delle caratteristiche della nuova geometria, in modo abbastanza autonomo e il più
possibile personalizzato.
Per arontare il tema proposto non si richiedono particolari prerequisiti,
se non qualche nozione di goniometria e la conoscenza della geometria euclidea, i cui asserti principali sono noti n dalla scuola media inferiore. In
ogni caso le proposizioni della geometria del piano, utili per la formulazione
di quelle sulla sfera, sono quasi sempre richiamate, eccetto che nella scheda
conclusiva nella quale si chiede di operare un confronto tra le proposizioni
delle due geometrie. In questo caso si esplicita la possibilità di consultare il
libro di testo.
Si è deciso di dotare ogni gruppo di una sola copia delle schede di lavoro in modo che la lettura stessa del testo e la sua interpretazione potessero
rappresentare un momento di confronto e di condivisione di signicati. Sulla
scheda si sarebbero riportate le considerazioni su cui il gruppo sarebbe stato
d'accordo, sollecitando però i ragazzi a prendere nota anche di pareri contrastanti, cosicché potessero diventare oggetto di discussione. Il tempo per
eseguire le esplorazioni con le sfere di Lénárt e trarre le opportune conclusioni è stato stabilito a priori e sarebbe stato reso noto ai ragazzi n dall'inizio
dell'attività. Al termine della specica attività il portavoce di ogni gruppo
avrebbe avuto il compito di riferire alla classe le osservazioni e gli esiti emersi
dal lavoro coi compagni. L'insegnante quindi avrebbe annotato alla lavagna
le varie risposte evitando di scrivere considerazioni analoghe emerse da più
gruppi.
A questo punto sarebbe potuta iniziare la discussione, al termine
della quale ogni studente avrebbe riportato sul proprio quaderno la versione denitiva delle proposizioni e osservazioni corrette. Quest'ultima fase di
confronto risulta essere fondamentale ma molto delicata. L'insegnante deve
dimostrare grande abilità di gestione della classe, dosando opportunamente
il tempo dell'attività e dei singoli interventi evitando che la discussione venga
polarizzata da pochi studenti, dando a tutti la possibilità di esprimersi e sollecitando opportunamente la partecipazione di chi risulta essere meno abile
ad intervenire spontaneamente, deve saper cogliere gli interventi dei ragazzi
che potrebbero dar origine a sviluppi produttivi, ma senza sottolineare espli-
32
citamente l'esattezza dei loro ragionamenti [11]. Il ruolo dell'insegnante è di
carattere fondamentale per tutta l'attività. Egli è il costante supervisore del
lavoro, deve seguire e osservare i comportamenti degli alunni, facendoli sentire appoggiati e seguiti, ma non deve cedere alla tentazione di intervenire,
correggere eventuali interpretazioni scorrette e dare indicazioni speciche.
Questo tipo di attività rappresenta quindi per l'insegnante un momento di
arricchimento, innanzitutto per la possibilità di approfondire un particolare
argomento dicilmente noto nella sua peculiarità, perché raramente arontato nello specico all'interno dei corsi di laurea, ma anche per la possibilità
di sviluppare o consolidare metodologie didattiche centrate sulla discussione,
la negoziazione e il confronto tra gli studenti.
2.5
Le schede di lavoro: l'analisi a priori
Le nove schede di lavoro che qui si presentano sono state elaborate, come
già sottolineato, in stretta collborazione con i quattro insegnanti coinvolti
nell'esperienza.
Personalmente ho seguito quasi tutti gli incontri, parteci-
pando attivamente alla scelta dei contenuti da proporre, delle domande da
formulare agli studenti e delle modalità da seguire nelle attività in classe.
Qui di seguito le schede sono presentate suddivise in quattro gruppi,
ognuno di due o tre schede, per rispettare l'iniziale idea di organizzare quattro incontri di due ore ciascuno. Questo, di fatto, non è stato sempre possibile, compatibilmente con la suddivisione delle ore che ogni docente aveva nella
sua classe. In ogni caso, l'insegnante, anche qualora abbia dovuto suddividere ulteriormente la presentazione del lavoro, ha mantenuto, eventualmente
con qualche richiamo iniziale, il nesso con la scheda precedente.
I quattro gruppi di schede sono ani tra loro per quanto riguarda gli
argomenti proposti:
si inizia con l'esplorazione dei primi elementi (punti,
rette e segmenti) e di alcune loro proprietà, il secondo gruppo di schede è
particolarmente incentrato sul concetto di angolo e il terzo sulla circonferenza.
Nel quarto incontro, dopo una prima scheda con un paio di domande
volte ad indagare proprietà delle rette perpendicolari, si presenta una scheda
dal carattere composito esplorativo-conclusivo. La compilazione della tabella nale ha il duplice obiettivo di far riettere sulle analogie-dierenze tra
geometria euclidea e sferica emerse durante tutta l'attività, e di spingere gli
alunni ad un'ulteriore esplorazione in questa direzione.
Le domande proposte sono atte a guidare gli studenti nel loro cammino di
scoperta delle proprietà della geometria sferica. Terminata l'analisi di ogni
scheda, o di particolari questioni interne ad una scheda di lavoro, deve iniziare
33
una discussione con il compito di far emergere le conclusioni tratte dai vari
gruppi, di confrontarle e di giungere attraverso il dibattito e il confronto ad
una condivisione di contenuti corretti.
Di seguito sono presentate le schede di lavoro originali consegnate ai ragazzi. Al termine di ogni gruppo di schede, secondo la suddivisione sopra
menzionata, è presentato un commento di carattere didattico, che rappresenta una sorta di guida per l'insegnante durante tutta l'attività. Vengono
descritte le questioni proposte in termini di contenuti e obiettivi sottolineando riessioni didatticamente interessanti, esplicitando in quali momenti deve
aver luogo la discussione tenendo conto e prevedendo, per quanto possibile,
alcuni possibili sviluppi.
34
SCHEDA 1
DATA: ...........................
GRUPPO: ..............................
Nomi dei partecipanti:
..................................
..................................
..................................
..................................
..................................
Con un pennarello segnate due punti sulla sfera, appoggiata sulla sua base.
1. Disegnate la linea di minima distanza che unisce i due punti sulla
supercie sferica.
Provate con più coppie di punti e spiegate come avete ottenuto la
linea richiesta.
2. In generale, come si può ottenere geometricamente la linea di minima
distanza tra due punti su una supercie sferica?
Giusticate la vostra risposta.
35
SCHEDA 2
La discussione precedente ci conduce alla seguente denizione di retta nella
geometria della sfera:
Denizione: Si dice retta una qualsiasi circonferenza massima
della supercie sferica.
In geometria euclidea per ogni coppia di punti
esiste ed è unica la
retta che passa per essi.
1. Questa proposizione è valida anche sulla sfera?
Giusticate la vostra risposta dopo aver esplorato più situazioni sulla
sfera con gli strumenti a vostra disposizione.
In geometria euclidea data una retta e un punto fuori di essa
esiste ed è unica la parallela per il punto alla retta.
2. Questa proposizione è valida anche sulla sfera?
Giusticate la vostra risposta.
36
Queste due schede sono state formulate per il primo incontro con i ragazzi,
prevedendo per l'attività un tempo complessivo di due ore.
Si noti che
si è deciso di indicare in corsivo i termini corrispondenti a elementi sulla
supercie sferica, per facilitare agli studenti la comprensione del contesto.
Questa convenzione è stata adottata in tutte le schede.
Per rispondere ai quesiti della scheda 1 i ragazzi hanno a disposizione i
seguenti strumenti: Sfera di Lénárt e base d'appoggio toroidale, pennarelli,
un elastico, uno spago, un righello usuale.
Questa attività contiene indicazioni per muovere i primi passi nella comprensione della nuova geometria. La prima richiesta è quella di individuare,
dati due punti sulla sfera, la linea di minima distanza tra essi. Successivamente si richiede di argomentare la propria scelta, cioè di giusticarla da un
punto di vista geometrico. L'obiettivo di questa prima attività è quello di far
emergere che la linea di minima distanza tra due punti si trova sul cerchio
massimo individuato dai due punti.
La prima richiesta ha carattere fortemente esplorativo: i ragazzi disegnano sulla sfera i punti e, utilizzando gli strumenti a loro disposizione, fanno
prove, compiono misure e traggono le prime conclusioni. In questa fase iniziale ci si aspetta che gli alunni intuiscano che, ssati arbitrariamente i due
punti, l'arco più breve risulta essere quello che sta sulla circonferenza più
grande. In ogni caso, a questo primo livello di esplorazione, si possono accettare anche ragionamenti molto qualitativi, come: il cammino di minima
distanza è quello in cui lo spago resta più teso , che possono essere una buona
base di partenza per lo sviluppo della discussione.
Procedendo nell'analisi della scheda osserviamo che per il confronto dell'arco tra i due punti percorrendo la circonferenza massima oppure una qualunque altra circonferenza, è opportuno considerare le due circonferenze sullo
stesso piano. Nel caso in cui nessuno proponga la giusticazione adeguata,
ricorrendo alle opportune intersezioni sfera - piani, si può proporre di esaminare ad esempio perché il cammino minimo tra due punti sullo stesso
parallelo, non risulti essere il tratto di parallelo stesso. In fase di discussione
si dovrebbe portare i ragazzi a ragionare su quale possa essere la denizione di retta per due punti, sottolineandone l'analogia con il piano: come sul
piano il cammino minimo tra due punti è sulla retta per essi, sulla sfera la
linea di minima distanza che unisce due punti risulta appartenere ad una
circonferenza massima che dunque è naturale denire retta della geometria
sulla sfera.
Soltanto alla ne della prima discussione si procede alla consegna della
seconda scheda, sempre una per ogni gruppo.
Essa inizia, appunto, con
la denizione di retta condivisa nella discussione. Si chiede inizialmente di
37
capire se, dati due punti, esista un'unica retta passante per essi, oppure
se questa proposizione sia falsa nella nuova geometria. Ci si aspetta che gli
alunni esplorino più situazioni, concludendo che nel caso in cui si considerino
punti antipodali, la proposizione risulta falsa, essendo innite le circonferenze
massime per essi.
La seconda domanda fa riettere sull'esistenza della parallela per un punto ad una retta. I ragazzi dovrebbero notare, senza troppe dicoltà, che data
una retta ed un punto fuori di essa, ogni altra retta passante per il punto
assegnato interseca la prima retta, precisamente in due punti antipodali. La
giusticazione rigorosa che potrebbe emergere è che, dal momento che due
qualsiasi circonferenze massime stanno su piani passanti per il centro della
sfera, esse si intersecano inevitabilmente sulla sfera, in due punti antipodali
appartenenti alla retta passante per il centro che costituisce l'intersezione
dei due piani cui appartengono le circonferenze.
38
SCHEDA 3
DATA: ...........................
GRUPPO: ..............................
Nomi dei partecipanti:
..................................
..................................
..................................
..................................
..................................
DEFINIZIONE:
Data una sfera di centro O, siano A, B, C tre punti della supercie
sferica. Il
triangolo sferico di vertici A, B, C è l'intersezione
tra la supercie sferica e il triedro che ha vertice in O e gli spigoli
passanti per i tre punti dati.
Il
triangolo ha come lati archi di circonferenza massima.
Ricordiamo che:
Si dice triedro una terna di semirette non complanari, aventi
l'origine in comune; tale origine si dice vertice del triedro e le
semirette ne sono gli spigoli.
Si usa semplicemente la parola triedro anche per indicare la regione convessa
di spazio ad essa associata.
I tre angoli convessi che i tre spigoli del triedro formano a due a due si
chiamano facce del triedro.
Provate ora a disegnare alcuni
triangoli sferici.
39
1. In base alle premesse fatte, se A, B, C sono i
sferico, possono essere allineati?
vertici di un triangolo
Motivate la vostra risposta.
2. Due punti antipodali possono essere
vertici di un triangolo sferico?
Giusticate la risposta.
3. Ci sono delle limitazioni alle lunghezze dei
rico?
Motivate la vostra risposta.
40
lati di un triangolo sfe-
SCHEDA 4
DEFINIZIONE:
Considerata una
retta (circonferenza massima) e due punti antisemiretta ciascuna
podali su di essa, A e A', possiamo chiamare
delle due parti individuate da A e da A' (cioè una semicirconferenza massima).
Sia il punto A che il punto A' si congurano come
entrambe le
semirette.
origine
di
DEFINIZIONE:
a e b sono due semirette di origine A, chiamiamo angolo
sferico (o semplicemente angolo) di lati a e b, l'angolo piano
Se
di vertice A avente come lati le semirette a' e b' tangenti in A
rispettivamente ad
a e b.
Osservate che le semirette a' e b' sono semirette euclidee, la a
e la b sono semirette della geometria sferica...
Disegnate ora alcuni
triangoli sferici e misurate in ciascun caso, con l'aptriangolo.
posito strumento, quanto vale la somma degli angoli interni di un
Quali osservazioni potete dedurre dai vostri risultati?
41
L'insieme di queste due schede è stato previsto per il secondo incontro, in modo che gli alunni potessero comprendere la denizione di triangolo sferico e avere la possibilità di esplorare il nuovo concetto e conoscerne
immediatamente alcune proprietà.
La scheda 3 propone una denizione di triangolo sferico e sollecita ad
eettuare opportune esplorazioni sulla sfera di Lénárt.
Le prime due domande portano a riettere sulla denizione data: non è
possibile che un triangolo sferico abbia tre vertici allineati (cioè appartenenti
ad un cerchio massimo), così come due vertici antipodali, dal momento che
nella denizione di triedro è espressa la condizione di non complanarietà per
la terna di semirette.
La terza domanda chiede se ci possano essere o meno limitazioni alle lunghezze dei lati e dalle esplorazioni appena eettuate gli studenti dovrebbero
concludere, senza troppa dicoltà, che le lunghezze dei lati devono essere
sempre inferiori ad una semicirconferenza massima.
Dopo una prima discussione sulle idee emerse i ragazzi ricevono la scheda 4.
In essa si propongono le denizioni di semiretta sferica e di angolo
sferico e si richiede di misurare, disegnando diversi triangoli sferici, la somma
degli angoli interni dei triangoli.
Oltre alla sfera di Lénárt, al kit di pen-
narelli, e al righello per disegnare circonferenze massime, i ragazzi vengono
dotati dell'opportuno goniometro sferico.
Gli obiettivi di questa scheda sono molteplici: certamente in questo secondo incontro i ragazzi entrano, per così dire, nel vivo della nuova geometria,
conoscendo nuovi oggetti e proprietà caratteristiche. Per far sì che il distacco
dalla geometria del piano risulti evidente abbiamo deciso, ancora per questo
incontro, di ricordare la denizione di retta sulla sfera, tramite l'inciso della
prima riga, e di far notare esplicitamente quando si indica una semiretta sferica e quando una semiretta euclidea. Nel seguito, invece, gli alunni non sono
più così guidati, ma gli oggetti della geometria sferica sono semplicemente
scritti in corsivo per questione di chiarezza.
Tramite la sola richiesta di questa scheda si vorrebbe far rietter i ragazzi
sulla non costanza della somma degli angoli interni di un triangolo, proprietà
contrastante con l'analoga euclidea.
Ci si aspetta inne che gli alunni si
interessino all'esplorazione dei cosiddetti casi limite, ovvero si domandino
se ci possano essere un valore massimo e un valore minimo per la somma
degli angoli interni di un triangolo, e attraverso l'esplorazione sulla sfera di
particolari triangoli, giungano alla conclusione che tale somma varia da
3π ,
ma che, tuttavia, questi valori non vengono mai raggiunti.
42
π
a
SCHEDA 5
DATA: ...........................
GRUPPO: ..............................
Nomi dei partecipanti:
..................................
..................................
..................................
..................................
..................................
Analogamente alla denizione di circonferenza sul piano, poniamo la seguente
DEFINIZIONE:
Se C è un qualsiasi punto sulla supercie sferica, chiamiamo cir-
conferenza
Γr
con centro C e raggio r, il luogo dei punti della
supercie sferica che distano r da C.
1. Considerate sulla sfera una qualsiasi retta. In base alla denizione di
circonferenza data, potete interpretare la retta come una particolare
circonferenza ? Se si quali sono i rispettivi centro e raggio ?
2. Tracciate una qualsiasi circonferenza sulla sfera, quali osservazioni
potete fare riguardo all'individuazione di centro e raggio ?
3. Qual è l'intervallo di valori entro il quale può variare la misura del
raggio di una circonferenza ?
Descrivete le caratteristiche delle circonferenze corrispondenti ai valori
estremi di questo intervallo.
43
SCHEDA 6
Disegnate alcune circonferenze
Γ1 , Γ2 ...
di centro C e raggi
r1 ,r2 . . .
Utilizzando spago e righello misurate i raggi, le circonferenze e compilate la
tabella che segue.
raggio
circonferenza
rapporto
r1 =
Γ1 =
Γ1 /2r1 =
r2 =
Γ2 =
Γ2 /2r2 =
Cosa osservate dalla tabella, pensando alla analoga situazione nel piano?
44
SCHEDA 7
Nella geometria euclidea,
π
rappresenta il rapporto costante tra la lunghezza
della circonferenza e la lunghezza del diametro.
Come si è potuto osservare nella Scheda 6 il valore di questo rapporto non è
costante nella geometria della sfera.
Dimostrerete ora da cosa dipende tale rapporto.
Considerate sulla sfera una circonferenza
Γ
di centri C e C'.
1. Siano Q e R due punti della circonferenza.
Come potete giusticare che Q e R si proiettano nello stesso punto H di
CC'?
(Considerate
i
triangoli
Γ,
che Γ
Osservate che, poiché ogni punto di
stanza da H, si può concludere
45
CRC'
e
CQC'. . . ).
si proietta in H e ha uguale diè una circonferenza anche sul
piano perpendicolare a CC' in H.
Γ
è dunque una circonferenza sia in geometria sferica che in geometria
euclidea.
2. Se
θ
è la misura in radianti dell'angolo COQ, esprimete in funzione di
θ:
- il raggio r della circonferenza sferica : r
=
- il raggio QH della circonferenza euclidea: QH
=
3. Determinare il rapporto tra la lunghezza della circonferenza
Γ
e il suo
diametro, nella geometria sferica.
Il risultato che avete ottenuto, è in accordo con quanto avete osservato in
precedenza? Perché?
46
Il terzo incontro, che si articola nelle schede 5, 6 e 7, è completamente
incentrato sul tema della circonferenza sferica. Dopo averne dato la denizione, i ragazzi iniziano la loro esplorazione utilizzando il compasso sferico
per arrivare a concludere che ogni retta è, in particolare, una circonferenza.
Messi di fronte alla richiesta di individuarne centro e raggio, potrebbe sorgere il dubbio su quale raggio e quale centro considerare, rispetto al particolare
cerchio massimo, essendo i raggi identici e i centri antipodali. Si auspica che
essi notino che non vi è alcuna dierenza se si sceglie l'una o l'altra situazione
e per questo deducano più in generale che data una qualunque circonferenza
sferica essa possiede due centri, tra loro antipodali, e due raggi, diversi tra
loro se la circonferenza non è anche una retta.
La lunghezza del raggio varia da zero a quella di una semiretta sferica,
ovvero metà circonferenza massima, e in entrambi i casi estremi la circonferenza si riduce ad un punto sulla sfera. Nel caso
raggio = 0
la circonferenza
coincide col suo centro, nel caso in cui esso abbia lunghezza pari a metà
circonferenza massima, con il punto antipodale al centro.
Nella scheda 6, i ragazzi, tramite l'indagine operativa sulla sfera, possono rendersi conto che il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza sferica
e il suo diametro non è aatto costante e in particolare risulta sempre minore
di
π.
Tutti gli insegnanti, in fase di progettazione, sono stati concordi nel ri-
tenere che ogni gruppo, rifacendosi all'analogo caso del piano, si dovrebbe
rendere conto che il rapporto non supera mai il valore
π,
ma potrebbe di-
cilmente emergere una giusticazione rigorosa che faccia ricorso al fatto che
il raggio sferico è sempre maggiore del corrispondente raggio della (stessa)
circonferenza piana.
Il fatto che la circonferenza sferica sia anche una circonferenza euclidea
non è aatto banale, ma almeno a livello intuitivo potrebbe emergere a questo
punto del percorso. In tal caso potrebbe essere arontata da parte dell'insegnante una breve riessione in conclusione alla discussione, anticipando ciò
che verrà ripreso nella scheda successiva.
La scheda 7 è piuttosto interessante.
L'obiettivo è quello di guidare
nella dimostrazione del fatto che il rapporto tra circonferenza e diametro
non è costante, ma dipende dall'angolo formato dalle rette passanti per il
centro della sfera e, rispettivamente, per il centro della circonferenza sferica
e per un punto arbitrario appartenente ad essa. In particolare esso è sempre
minore di
π
e tende a questo valore al tendere a zero dell'angolo, cioè quando
la circonferenza tende a ridursi al suo centro. In fase di discussione si può
far riettere i ragazzi, qualora essi stessi non lo propongano, sul fatto che
per raggi sucientemente piccoli e tenendo conto dell'inevitabile approssi-
47
mazione delle misure, la dierenza tra
π
e il rapporto in questione non è
rilevabile; cioè, limitandoci a porzioni di supercie sferica molto piccole rispetto al raggio della sfera, le circonferenze sulla sfera si comportano circa
come le circonferenze del piano e questo spiega perchè per regioni terrestri
di piccola estensione il piano costituisce una buona approssimazione [14].
Nella prima parte della dimostrazione si osserva che la circonferenza sferica è, in particolare, una circonferenza euclidea giacente su un piano perpendicolare alla retta passante per il centro della sfera e il centro della circonferenza sferica. Durante la fase di elaborazione delle schede si è a lungo
discusso su come presentare questo risultato. Esso risulta essere di carattere
intuitivo, ma ovviamente necessita di giusticazione rigorosa. Si è stati molto indecisi su quanto dire direttamente ai ragazzi e quanto lasciare, invece,
alla loro deduzione. Inizialmente si era pensato di far discendere la proprietà
dal fatto che la circonferenza sferica può essere considerata ottenuta dalla
rotazione di un qualsiasi suo punto intorno alla retta passante per il centro
della sfera e per il centro della circonferenza sferica. Al posto di questo ragionamento piuttosto semplice e immediato, si è preferito scegliere una strada
diversa e apparentemente meno agile, tenendo conto che gli studenti non
avevano ancora studiato alcune isometrie dello spazio. Si è scelto quindi di
presentare ai ragazzi una dimostrazione che utilizzasse i criteri di congruenza
dei triangoli. Grazie a domande guida gli alunni sono portati ad osservare
che il rapporto indagato dipende dall'angolo secondo la relazione:
lunghezza circonf erenza
sinθ
=π
.
diametro
θ
Dall'analisi di questa espressione dovrebbero quindi stabilire che il risultato
è eettivamente in accordo con quanto osservato nella scheda precedente,
cioè che il rapporto in questione è minore di
sinθ
<1
θ
e
π,
noto che
sinθ
= 1.
θ→0 θ
lim
48
SCHEDA 8
DATA: ...........................
GRUPPO: ..............................
Nomi dei partecipanti:
..................................
..................................
..................................
..................................
..................................
Tracciate una retta r sulla supercie sferica, cosa potete osservare riguardo
all'insieme delle rette perpendicolari ad r ?
In geometria euclidea data una retta ed un punto fuori di essa esiste
ed è unica la perpendicolare per il punto alla retta.
Questa proposizione è valida anche sulla sfera?
Giusticate la vostra risposta.
49
SCHEDA 9
Durante le precedenti discussioni abbiamo trovato proposizioni riguardanti
le rette che sono valide in geometria euclidea ma non in geometria sferica.
Collocate le proposizioni che abbiamo esaminato nella tabella seguente ed
eventualmente trovatene altre.
Se credete vi sia d'aiuto consultate il testo di geometria.
PROPOSIZIONI VALIDE
NELLA GEOMETRIA
NELLA GEOMETRIA DEL
DELLA SFERA
PIANO
50
La prima di queste due schede, programmate per essere arontate durante l'ultimo incontro, tratta la questione della perpendicolarità. L'obiettivo è,
come al solito, quello di considerare nuove proposizioni e riettere sulla loro
somiglianza o dierenza rispetto alle analoghe della geometria euclidea. Dall'analisi di questa scheda, ci si aspetta che i ragazzi, esplorando e discutendo,
arrivino a concludere che, data una retta, l'insieme delle rette perpendicolari
ad essa è innito e che tutte le perpendicolari ad una retta, oltre ad intersecarla in due punti (antipodali), si intersecano tra loro in due punti (anch'essi
antipodali). Inoltre, data una retta e un punto fuori di essa, non è sempre
garantito il teorema di esistenza e unicità della perpendicolare; infatti, nel
caso equatore - polo, le rette perpendicolari risultano essere innite.
L'ultima scheda non ha solo carattere riepilogativo.
Essa certamente
conduce ad una riessione sulle analogie e dierenze tra le due geometrie
trovate no a quel momento dai ragazzi nella loro esplorazione, ma chiede
esplicitamente di trovarne di nuove. Gli alunni sono qui liberi di ragionare e
di confrontarsi tra loro seguendo strade diverse e giungendo probabilmente
a proposte diverse. La discussione ha qundi il compito di mettere assieme
i risultati ottenuti dai vari gruppi.
In questo modo si auspica di ottenere
una versione piuttosto ricca di analogie/dierenze, che ogni ragazzo deve
scrivere sul proprio quaderno.
Lo scopo di questa domanda è quello di indurre i ragazzi a riettere
su concetti quali quello di ordinamento, innità dei punti di una retta,
illimitatezza, suddivisione del piano mediante una retta, ecc.
Nel caso in cui qualcuno di questi aspetti non emerga, è compito dell'insegnante guidare opportunamente la discussione ed il confronto tra i ragazzi,
in modo che si rietta sugli aspetti non analizzati.
51
Capitolo 3
Analisi dell'esperienza
didattica
Dal 13 al 20 Aprile 2011 ho seguito la sperimentazione del Laboratorio sulla
geometria sferica nella classe 2 B del liceo classico U. Foscolo di Pavia, insieme alla professoressa Laura Pavesi, l'insegnante di classe. Abbiamo lavorato
con i ragazzi per dieci ore, modicando quindi il progetto iniziale di otto ore
che ci eravamo pressati di seguire.
Questo cambiamento si è reso neces-
sario per il fatto che la realizzazione di discussioni e confronti fra i ragazzi
ha reso indispensabile più tempo rispetto a quello inizialmente previsto per
l'analisi delle schede e la condivisione dei risultati.
Ci è sembrato quindi
opportuno ampliare le varie fasi di esplorazione sulla sfera, cercando di non
creare troppa pressione per le scadenze dei tempi, ma facendo in modo che
gli studenti potessero confrontarsi quanto più possibile. Nonostante questo,
in taluni momenti sarebbe servito ancora un po' di tempo per far sì che i
gruppi consolidassero quanto condiviso su tutte le richieste delle schede in
esame. Nei casi in cui qualche gruppo non avesse nito di completare il lavoro, si è comunque scelto di concludere, ragionando insieme sulle risposte
mancanti. Questa situazione si è vericata solamente per un paio di gruppi
in non più di due o tre occasioni.
E' stato impossibile seguire alla lettera l'iniziale suddivisione degli argomenti, e quindi delle schede, tra le lezioni, e questo per il fatto che le ore che
la docente aveva a disposizione non erano tutte suddivise a blocchi di due
consecutive al giorno. Ecco la scansione oraria con cui abbiamo proceduto:
Mercoledì: 9.50 - 10.40 e 11.45 - 12.40, due ore;
Giovedì: 11.00 - 12.00, un'ora;
52
Sabato: 10.00 - 11.00 e 12.00 - 13.00, due ore;
Lunedì: 9.50 - 10.40, un'ora;
Martedì: 8.00 - 10.00, due ore;
Mercoledì: 9.50 - 10.40 e 11.45 - 12.40, due ore.
Un'altra modica resasi opportuna, è stata quella di presentare la scheda 8 prima della scheda 5, modicando perciò la numerazione delle schede
di lavoro.
Questo cambiamento è stato suggerito da due motivi: innanzi-
tutto perchè, essendo emerse considerazioni sugli angoli di 90° tra rette, ci è
parso opportuno concludere i ragionamenti sulle rette sferiche, e in particolare sulla relazione di perpendicolarità, prima di introdurre le circonferenze,
e inoltre perchè la scheda 8 si prestava ad essere arontata in una giornata
in cui si aveva solo un'ora a disposizione, il lunedì.
La classe che ha preso parte alla sperimentazione sulla geometria sferica,
cioè la seconda liceo, sezione B, del liceo classico U. Foscolo, è composta
da 17 alunni (6 maschi e 11 femmine).
Essi hanno lavorato suddivisi in
quattro gruppi, uno costituito da cinque studenti e gli altri tre da quattro. Alcuni ragazzi hanno esplicitamente richiesto di poter lavorare insieme
come in un'attività extrascolastica di matematica a cui avevano recentemente partecipato suddivisi in gruppi e quindi, presumibilmente, già abituati a
collaborare e a condividere tra loro ragionamenti.
Allo scopo di agevolare la lettura dei paragra riguardanti l'analisi dei
protocolli e le discussioni, riporto di seguito la suddivisione degli studenti
nei gruppi, citando solo i loro nomi.
Gruppo 1: Alessia, Michela, Chiara, Diletta.
Gruppo 2: Michele, Francesco, Tommaso, Vincenzo, Eugenio.
Gruppo 3: Valentina, Carolina, Sara, Francesca.
Gruppo 4: Giorgio, Anna, Veronica, Camilla.
L'insegnante responsabile, la professoressa Laura Pavesi, ha accettato
con molto entusiasmo di partecipare alla sperimentazione del PLS e mi ha
permesso di seguire direttamente e attivamente l'esperienza nella sua classe,
dimostrandosi sempre coinvolta e disponibile.
La classe ha partecipato con interesse a tutto il lavoro, impegnandosi in
maniera disciplinata e attiva nei compiti ricevuti, dimostrando inizialmente
un po' di dicoltà nel confronto tra pari in fase di discussione. Le dicoltà
sono diminuite durante il corso della sperimentazione: i ragazzi, rompendo il
ghiaccio iniziale, hanno partecipato in maniera sempre più esplicita e diretta
alle fasi di condivisione dei risultati con il gruppo classe.
Durante le prime due lezioni ci sono stati due assenti, mentre nei successivi incontri è sempre stata presente la totalità della classe.
53
In ognuno dei paragra che seguono viene presentato un particolare gruppo di schede, seguendo la suddivisione inizialmente stabilita, ad eccezione
della modica già citata riguardante la scheda 8, che viene presentata dopo la scheda 4.
All'interno di ogni paragrafo vengono poi descritti la fase
di consegna delle schede e l'esplorazione condotta dai ragazzi, l'analisi dei
protocolli e la discussione in classe. Per quanto riguarda l'analisi delle loro
risposte, c'è da fare un'osservazione: alla ne di ogni esplorazione, i ragazzi
dettavano alla lavagna le loro conclusioni, un portavoce per gruppo. Essendo
capitato che nell'esposizione modicassero in parte quanto avevano scritto,
cercando, solitamente, di spiegarsi in modo più chiaro e rigoroso, quello che
riporto nell'analisi dei protocolli tiene anche in parte conto dei commenti che
i ragazzi hanno allegato alla presentazione delle loro conclusioni.
54
3.1
La
scheda 1 e la scheda 2
Durante la prima lezione, mercoledì 13 Aprile, sono state arontate le prime
due schede di lavoro, anche se la discussione della seconda scheda ha occupato
parte della seconda lezione, per motivi di tempo.
I ragazzi hanno potuto constatare n da subito la dierenza tra la geometria euclidea e la nuova geometria, ed hanno incontrato un po' di dicoltà a collocare l'usuale nomenclatura geometrica nel nuovo contesto, con
interpretazioni dierenti da quelle più familiari.
Lo scopo della prima attività era di far emergere che il cammino di minima distanza tra due punti sulla supercie sferica si trova sulla circonferenza
massima che unisce i due punti e di condividere con gli alunni la nuova
denizione di retta sulla sfera.
La scheda 2 invita gli studenti ad analizzare nel nuovo contesto della
geometria sferica due proposizioni della geometria euclidea: esistenza e unicità di una retta per due punti e di una retta parallela ad una data per un
punto esterno. L'obiettivo era che i ragazzi, confrontandosi e ragionando con
gli strumenti a loro disposizione, analizzassero analogie e dierenze con le
corrispondenti proposizioni euclidee ed arrivassero a formulare proposizioni
adatte al nuovo contesto.
3.1.1
La consegna della
scheda
1 e l'esplorazione
E' stato spiegato agli studenti che il lavoro si sarebbe basato su un'attività
di esplorazione di un contesto diverso da quello usuale: avrebbero dovuto
indagare la geometria sulla sfera e scoprire analogie e dierenze con quella
euclidea. Dopotutto la vita di tutti i giorni ci mette a contatto con oggetti
di forma sferica e, anzi, noi stessi viviamo su un oggetto avente quella forma,
eppure poco si sa sulle caratteristiche della sua geometria.
Suddivisi in gruppi gli studenti, si è fatto presente che alla ne di ogni
attività sarebbe stato scelto, a discrezione dell'insegnante, un portavoce, con
il compito di comunicare alla classe le conclusioni del proprio gruppo.
Si
sono quindi distribuiti le cartelline e i quaderni, spiegando che nelle prime
si sarebbero raccolte le varie schede, mentre i quadernini sarebbero serviti
per scrivere le conclusioni nali, successivamente alle fasi di condivisione e
discussione. E' stato detto di utilizzare il retro del quaderno per annotare
osservazioni o considerazioni particolari che sarebbero potute emergere durante il lavoro. Questo invito è stato interpretato da molti ragazzi come un
sollecito a trascrivere tutti i ragionamenti del gruppo e le risposte condivise.
Si è reso quindi più volte necessario far presente che le conclusioni sarebbe-
55
ro dovute essere trascritte sulla scheda di lavoro, e ribadire che il retro del
quaderno avrebbe dovuto avere solo un ruolo di block notes, su cui segnare
considerazioni particolarmente interessanti emerse durante le varie discussioni all'interno del gruppo, per tenere memoria di eventuali ragionamenti poi
modicati o per annotare dubbi personali, da proporre ai compagni.
Sono state a questo punto distribuite le sfere di Lénárt, i pennarelli e
alcuni elastici o spaghi, in modo che si potessero misurare le linee tracciate
sulla sfera.
I ragazzi si sono messi subito al lavoro con gli strumenti a loro disposizione. Girando tra i banchi ho notato che tutti facevano riferimento all'idea
intuitiva di tendere lo spago il più possibile in modo da ottenere un cammino dritto, ma non per tutti era evidente che questo cammino appartenesse
alla circonferenza massima per i due punti. Ho sollecitato i gruppi che vedevo un po' incerti a provare con diverse coppie di punti più o meno vicini tra
loro, in varie posizioni sulla sfera.
In un gruppo è emersa l'osservazione che il cammino che loro individuavano come quello di minima distanza (non avevano fatto riferimento alla
circonferenza) era unico, mentre, tutte le volte che si considerava un altro
cammino, se ne poteva trovare un secondo della stessa lunghezza (che risulta
essere speculare al primo rispetto, appunto, alla circonferenza massima).
Le tempistiche previste per questa prima scheda erano suddivise in una
trentina di minuti per la fase esplorativa e circa 20 minuti per la condivisione
e discussione dei risultati. In realtà il tempo disponibile è stato inferiore al
previsto dal momento che l'ora di lezione era di 50 minuti e si è impiegato
un po' di tempo all'inizio del laboratorio per introdurre il lavoro ai ragazzi,
spiegando loro le regole del gioco e distribuendo le sfere di Lénárt. Alla ne
della prima ora, comunque, gli alunni sono arrivati a condividere i primi concetti scrivendo sul loro quaderno la denizione di retta sferica per due punti,
cioè la circonferenza massima passante per essi, La questione dell'unicità
sarebbe stata arontata con la scheda successiva.
3.1.2
Analisi dei protocolli relativi alla
scheda
1
I ragazzi hanno compilato interamente la prima scheda.
Nella prima domanda si chiede di spiegare come si possa ottenere la linea
di minima distanza che unisce due punti sulla supercie sferica.
Il gruppo 4 ha scritto in modo impreciso:
Gruppo 4: Dati due punti sulla circonferenza il segmento più breve si ottiene
unendo i due punti senza tracciare un arco di circonferenza.
56
E un suo rappresentante ha precisato:
Giorgio: Si ottiene non facendo un arco ma facendo il segmento dritto.
Solo un gruppo ha citato da subito in maniera esplicita la circonferenza
massima per individuare il cammino di minima distanza:
Gruppo 2: La linea di minima distanza è l'arco individuato dai punti stessi
sulla circonferenza maggiore che passa per essi.
Francesco, portavoce del gruppo 2, nell'esporre la risposta, ha utilizzato
precisamente l'aggettivo massima, riferito alla circonferenza considerata.
Vediamo le altre risposte:
Gruppo1: La linea più breve che unisce due punti qualsiasi su una sfera è
stata ottenuta misurando le varie distanze casuali tra i due punti e osservando
che la più breve è sempre quella retta appartenente alla stessa semisfera.
Gruppo 3: Abbiamo ottenuto la linea richiesta con una linea che, oltre a
quella naturale non ha altre curvature. Quindi secondo noi è la linea minima.
Valentina ragiona sui piani che tagliano la sfera ma Sara non è d'accordo e
Carolina non capisce.
Il gruppo 1 non ha esposto, in fase di condivisione, la teoria secondo cui
il cammino più breve appartiene alla stessa semisfera, e non è esattamente
chiaro cosa i ragazzi volessero dire. Leggendo però la loro risposta alla seconda domanda, come vedremo, e in base ai ragionamenti riportati oralmente in
classe, pareva che in realtà avessero identicato la proprietà della circonferenza massima, quindi si può pensare che con quella frase intendessero che la
linea individuata, se prolungata a costituire la circonferenza massima, divide
la sfera in due semisfere.
Il gruppo 3 si è riferito al fatto che la linea di minima distanza risulta essere quella con minor curvatura e ha manifestato l'intuizione sul piano passante
per il centro della sfera su cui risulta giacere la circonferenza massima.
Solamente nelle risposte del
gruppo 2 è apparso un esplicito riferimento
al piano su cui giace la circonferenza massima. Alla domanda:
come si può ottenere geometricamente la linea di minima distanza tra
due punti sulla supercie sferica? essi hanno risposto che bisogna considerare quella circonferenza sulla sfera che passa per due punti opposti sullo stesso piano che taglia trasversal-
mente la sfera .
57
Il gruppo 1, pur non facendo riferimento al piano, ha scritto come risposta
alla seconda domanda:
Gruppo 1: I punti della coppia devono appartenere alla stessa circonferenza
di diametro uguale a quello di tutte le innite circonferenze
mostrando, appunto, di aver individuato la circonferenza massima a cui
appartiene la linea di minima distanza congiungente i punti dati.
Il gruppo 3 si è limitato a riferire:
Gruppo 3: Si può ottenere congiungendo i due punti con lo spago.
Mentre nel gruppo 4 si è impostata una sorta di disuguaglianza triangolare:
Gruppo 4: Se si considera un terzo punto oltre ai primi due, il segmento
ottenuto unendo questi, passando per il terzo è maggiore di quello ottenuto
unendo i punti normalmente.
Riassumendo, in tutti i gruppi è emersa subito la necessità di fare ricorso
ad un cammino più dritto possibile, ma solamente i gruppi 1 e 2 si sono
riferiti al fatto che la linea individuata appartiene alla circonferenza massima passante per i due punti dati.
Il ragionamento del gruppo 3 è parso
comunque pertinente nel considerare la condizione di minor curvatura e il
gruppo 4 ha osservato empiricamente la validità di una sorta di disuguaglianza triangolare. Dalla lettura dell'esposizione del gruppo 4 si intuisce però,
che con quel normalmente i ragazzi pensavano di aver chiaro quale fosse il
segmento di minima distanza, ma di fatto, non avendo denito alcuna sua
proprietà, questa aermazione è rimasta un po' vaga.
3.1.3
La discussione sulla
scheda
1
L'insegnante dà il via alla condivisione delle linee emerse e dal momento
che molti ragionamenti dei ragazzi sono stati pertinenti e due gruppi su
quattro hanno fatto esplicito riferimento alla circonferenza massima, e uno
all'idea della minore curvatura, l'insegnante decide che sia il caso di proporre
qualche puntualizzazione. Osserva che in tutti i gruppi è apparsa la necessità
di riferirsi ad analoghe situazioni sul piano, con la dicoltà di estenderle
opportunamente sulla sfera.
58
Insegnante: Il fatto di avere lo spago bello dritto è in eetti la situazione
di minima curvatura tra i due punti. Cos'è la minima distanza? E' l'arco di
cerchio massimo che passa per i due punti. Vi suona ragionevole questo?
Tutti: Sì.
L'insegnante propone un disegno alla lavagna cercando di confrontare i due
cammini: quello di minima distanza appartenente alla circonferenza massima, e uno non minimo, per mostrare che, se posti sullo stesso piano, risulta
evidente la dierenza di lunghezza.
I ragazzi, però, appaiono un po' dubbiosi, allora decido di mostrare loro
questo fatto utilizzando la sfera di Lénárt. Disegnati sulla sfera due punti li
collego con un arco di circonferenza massima e uno più lungo. I ragazzi stessi
esplicitano che la circonferenza massima appartiene ad un piano passante per
il centro della sfera, mentre il piano su cui giace la circonferenza più piccola,
a cui appartiene il secondo arco, sta su un piano diverso.
Io: Cosa possiamo fare per confrontarle chiaramente?
I ragazzi non rispondono. Allora prendo uno spaghetto e lo adagio sull'arco
più lungo. Facendo perno sui due estremi lo sollevo no a farlo giacere sul
piano a cui appartiene la circonferenza massima. Ripeto il movimento più
volte.
Io: Per confrontarle le sto come mettendo sullo stesso piano. Alzando lo
spago no a farlo giacere sul piano della circonferenza massima, vedo più
chiaramente che faccio più strada .
I ragazzi annuiscono.
L'insegnante, a questo punto, introduce il concetto di retta sferica:
Insegnante: Dunque, la linea di minima distanza risulta essere, dati due
punti, l'arco che congiunge i due punti appartenenti al cerchio massimo ottenuto come intersezione di un piano che passa per quei due punti e taglia la
sfera in due semisfere, e quindi passa per il centro della sfera. Quindi come
segmento possiamo considerare quell'archetto, la linea di minima distanza,
e quindi che cosa sarà una retta?.
Tommaso: Eh, la circonferenza massima.
Alcuni ragazzi per indicare la circonferenza massima usavano, in fase di
esplorazione l'espressione circonferenza per i poli o per punti opposti.
59
L'insegnante precisa che i punti opposti a cui qualcuno si riferiva possono
essere chiamati antipodali. Si chiede quindi, dato un punto sulla supercie
sferica, come si trovi il suo antipodale.
Tommaso: Traccio la retta che passa per il centro e il punto che ho scelto,
il punto che trovo come intersezione sulla supercie della sfera è il punto
antipodale.
Con queste ultime considerazioni ha termine la prima discussione.
3.1.4
La consegna della
scheda 2
e l'esplorazione
I ragazzi hanno condiviso la denizione di retta come circonferenza massima appartenente alla supercie sferica ed è stato distribuito loro lo specico righello sferico. Ho detto di assicurarsi che il righello fosse sempre ben
posizionato sulla sfera e ho fatto notare il bordo graduato.
Il tempo previsto per l'esplorazione era di 20 minuti.
I ragazzi, però,
hanno dimostrato di necessitare di più tempo per ragionare sulle proposizioni
e adattarle al contesto della sfera, infatti parte della discussione è stata
rimandata alla lezione successiva.
Girando tra i banchi, ho sentito che tutti i ragazzi riettevano sulla corrispondente situazione sul piano e cercavano un confronto. Quello che alcuni
ragazzi facevano, però, non era domandarsi se ci fossero rette sulla sfera che
non si incontrano mai, ma cercare di riprodurre sulla sfera il concetto, a
loro noto n dalle medie, di parallelismo, dimenticando di controllare che lo
stessero eettivamente applicando alle circonferenze massime, le nostre nuove
rette. Questo ha portato due gruppi ad attribuire la relazione di parallelismo
a elementi che non erano rette, ma circonferenze concentriche.
Durante questa fase esplorativa ho notato che alcuni ragazzi perdevano
molto tempo a scrivere ogni cosa emergesse sul retro del proprio quadernino.
Ho quindi sollecitato a prendere nota solo di particolari osservazioni che
poi si intendesse riproporre in discussione o che rappresentassero un cambio
d'opinione signicativo.
3.1.5
Analisi dei protocolli relativi alla
scheda
2
Per quanto riguarda la prima richiesta, cioè se dati due punti sulla supercie
sferica sia rispettata la proposizione valida in geometria euclidea che aerma
che per due punti passi una e una sola retta, il gruppo che ha scritto una
risposta adeguata è stato solo il gruppo 3:
60
Gruppo 3: Presi due punti antipodali si nota che le rette passanti per essi
sono innite; presi invece due punti qualsiasi, la retta che passa per essi è
una sola.
Per qualsiasi i ragazzi del gruppo 3 intendevano non antipodali. I punti
antipodali sono stati da subito visti come punti speciali e distinti dalle
altre coppie di punti. Quando si parlava di due punti, in generale, i ragazzi
tendevano ad escludere il caso particolare di quelli antipodali, come si nota
anche nella formulazione che segue:
Gruppo 2: Dato che la circonferenza è individuata da tre punti, questa
proposizione è valida solo se viene dato per scontato che il terzo punto sia
il centro della sfera. In questo caso, quindi, dati due punti si individua un
unico cerchio massimo.
I ragazzi hanno poi precisato che intendevano dire che i tre punti per cui
passa la circonferenza sono i due segnati e un terzo punto individuato dall'intersezione tra la supercie sferica e la retta congiungente il centro della
sfera con la proiezione del centro stesso sulla retta passante per i primi due
punti.
Qualcuno in fase di esplorazione mi aveva invece proposto un ragionamento
di questo tipo: dato per scontato che il cerchio massimo passi per il centro
della sfera, se la circonferenza passa per due punti ssati sulla supercie
sferica, essa è unica: imponendo il passaggio per un punto si ssa il raggio
del cerchio e con il terzo punto il piano a cui appartiene. Si tratta dunque di
argomentazioni opportune ma nell'ipotesi che i due punti iniziali non siano
antipodali.
Durante l'esposizione di questa risposta, Vincenzo, portavoce del gruppo
2, ha puntualizzato:
Vincenzo: In realtà questa precisazione l'abbiamo fatta prima di chiarirci
le idee sul cerchio massimo, la risposta è che è unica.
Ecco le altre risposte:
Gruppo 1: Sì è valida: non è possibile individuare due o più rette che
passino per due punti sulla sfera perchè le altre linee che le uniscono non
sono circonferenze massime.
Gruppo 4: Per ogni coppia di punti la retta non è unica perchè possiamo
pensare di percorrere una circonferenza innite volte.
61
Si è fatto notare al gruppo 4 che in questo modo risulterebbe dicile
costruire una geometria sensata anche sul piano. Ho disegnato un segmento
alla lavagna e ho chiesto quanti segmenti vedevano.
Hanno risposto uno
o inniti, a seconda della convenzione. Ho risposto che è vero, ma che se
assumessimo la convenzione che quello disegnato costituisce inniti segmenti
non potremmo distinguerlo dal caso due segmenti, sarebbero sempre inniti. Insomma, costruiremmo una geometria poco interessante. Allora Anna,
dopo essersi consultata con il gruppo si è corretta aermando che per ogni
coppia di punti si riesce a tracciare una sola retta.
In sintesi, le risposte dei gruppi 1, 2 e 4 non erano opportune. E' evidente che gli studenti erano più preoccupati di precisare come si individua la
circonferenza massima a partire da due punti, pensati in posizione generica,
piuttosto che ad esplorare l'unicità di questa circonferenza, come richiede la
domanda 1 della scheda.
Analizziamo ora le risposte alla seconda domanda: data una retta ed un
punto fuori di essa, esiste unica la parallela per il punto alla retta, come
accade in geometria euclidea?
Due gruppi hanno risposto negativamente e due aermativamente:
Gruppo 1: No: perchè la linea individuata su un punto esterno alla retta e
parallela, non è circonferenza massima.
Gruppo 2: No perchè qualsiasi altro cerchio massimo sarebbe incidente e la
linea parallela che si può tracciare non è un cerchio massimo.
E hanno aggiunto:
Eugenio: Due qualsiasi rette distinte si incontrano in due punti antipodali
estremi del diametro che fa da asse per la rotazione della circonferenza che
forma la sfera e che ruotando va a toccare l'altra circonferenza.
Gruppo 3: Sì anche sulla sfera dati un punto e una retta vi è un'unica
parallela ad essa passante per quel punto.
Gruppo 4: La parallela ad una retta esiste ed è unica perchè non la incontra
mai e appartiene ad un'altra semisfera.
Appare evidente che gli studenti dei gruppi 3 e 4 sono rimasti ancorati
alle caratteristiche euclidee. Hanno frainteso la denizione di retta, considerando come tale anche tutte le altre circonferenze sferiche. Alla domanda
sul parallelismo essi hanno interpretato la proposizione valida per linee che
62
di fatto non erano rette. C'è quindi una sorta di tendenza a mantenere le
nozioni acquisite, che sono però valide in un contesto diverso. C'è da dire
che i ragazzi non erano mai venuti a contatto con una geometria diversa da
quella euclidea, è quindi comprensibile che nelle prime lezioni abbiano faticato a distaccarsi dalle situazioni note. Le circonferenze concentriche sono
eettivamente parallele, perchè non si incontrano, tuttavia non si tratta di
rette nella geometria sferica.
3.1.6
La discussione sulla
scheda
2
Francesco e Vincenzo, membri del gruppo 2, che sostenevano esistesse un'unica retta, aprono la discussione:
Francesco: Beh, era scontato che se i punti sono antipodali ci sono innite
rette.
Vincenzo: L'avevamo detto prima!
Anche gli altri gruppi si ritrovano d'accordo sul fatto che il caso dei punti antipodali costituisca un'eccezione e la discussione, sospesa per la ne dell'ora,
viene ripresa il giorno seguente:
Insegnante: Sul fatto che per due punti, se non antipodali, passi una e una
sola retta, siamo d'accordo. Se sono antipodali, esse sono innite. Bisogna
discutere un attimo sulla seconda domanda. Esiste la parallela?
Prende la parola Chiara:
Chiara: Noi abbiamo detto di no, perchè la linea passante per il punto
esterno non è una circonferenza massima.
Io: La linea?
Chiara:
La linea retta che possiamo ricavare non è una circonferenza
massima.
Insegnante: E quindi non è una retta secondo la nostra denizione.
Chiara: Sì.
Francesco: I cerchi massimi sono tutti incidenti tra loro, quindi per forza
una linea parallela al cerchio massimo non sarà un cerchio massimo, sarà più
corta.
63
Io: Qui si chiedeva se esiste la retta parallela.
Francesco: Eh, non esiste. Se noi prendiamo un cerchio massimo e un
punto esterno, un qualsiasi altro cerchio massimo passante per quel punto
sarà incidente.
La professoressa si rivolge ora ad uno dei gruppi che avevano aermato
l'esistenza e unicità della parallela, in particolare al gruppo 3:
Insegnante: Voi, invece, avevate detto che esiste la parallela. Come giusticate? Che costruzione avete fatto o come l'avete pensata?
Anna: Possiamo considerare delle circonferenze concentriche.
Insegnante: Ma queste circonferenze concentriche sono rette nel senso della
denizione da noi data?.
Anna: Mmmm... no.
Insegnante: I cosiddetti paralleli sferici sono paralleli tra loro?
Francesco: Sì, però non sono rette, solo l'equatore è retta.
Insegnante: Quindi è vero che potremmo considerare i paralleli, le circonferenze concentriche che dicevate, tra loro paralleli, ma la relazione di
parallelismo è tra rette. E dove sono incidenti?.
Alcuni ragazzi rispondono che esse si incidono in due punti antipodali. Prende poi la parola Eugenio che già in fase di condivisione dei risultati aveva
voluto fare questa precisazione:
Eugenio: Sono gli estremi del diametro che fa da asse alla rotazione della
circonferenza.
Continua Vincenzo:
Vincenzo: Se prendiamo due cerchi massimi distinti, sono incidenti nei due
punti antipodali che costituiscono gli estremi del diametro che fa da asse per
la rotazione del cerchio massimo. Pensiamo di ssare i due cerchi massimi e
di farne ruotare uno intorno all'asse, ad un certo punto andrà a coincidere
con l'altro...
64
Insegnante: Si capisce quello che vuole dire Vincenzo?
Qualcuno dice di no, così la professoressa sollecita i ragazzi a fare delle
ulteriori prove disegnando due circonferenze massime distinte e a provare a
ragionarci ancora.
Vincenzo si alza e viene alla cattedra con una sfera su cui sono disegnate due
rette, una rossa e una nera.
Vincenzo: I due cerchi massimi si incontrano in due punti antipodali che
sono gli estremi di un diametro che passa attraverso la sfera e che funge
da asse alla rotazione della circonferenza. Il cerchio nero è come se fosse la
rotazione di quello rosso attorno al diametro che ha come estremi i due punti
della circonferenza.
Valentina: Ma non abbiamo mica denito diametro?
Vincenzo: Intendo il diametro del cerchio massimo.
Valentina: Quello che passa dentro la sfera?
Vincenzo: Sì.
I ragazzi sembrano più convinti. Per aiutarli a capire a quale retta si riferisca
Vincenzo, suggerisco di provare a pensare ai due piani su cui giacciono i cerchi
massimi. Qualcuno mi dice che si intersecano in una retta.
Io: Quindi possiamo dire che quella retta, che loro hanno individuato come
asse di rotazione della circonferenza massima, altro non è che l'intersezione
di questi due piani, che interseca quindi la sfera in due punti antipodali.
Esorto i ragazzi a scrivere sul loro quadernino le conclusioni condivise e si
consegna la scheda 3.
3.1.7
Osservazioni conclusive al primo gruppo di schede
Alcune considerazioni importanti emerse durante il lavoro sono già state
esposte durante l'analisi dei protocolli, ad esempio la questione dei punti antipodali, considerati come punti speciali, distinti da tutti gli altri. Per gli
studenti, spesso, quando si diceva due punti sulla sfera, il caso degli antipodali non veniva preso in considerazione e alla domanda: E se prendiamo
i punti in questo modo?, indicando due poli opposti, si sentivano risposte
del tipo: Ma quelli sono antipodali!.
65
Quando si è chiesto di condividere una versione denitiva da scrivere sul
quaderno per la proposizione riguardante la retta per due punti, i ragazzi
hanno preferito parlare della validità della proposizione tranne che in un
caso particolare, quello dei punti antipodali, piuttosto che aermare che
essa non valga sulla sfera.
Confrontandosi con l'insegnante e con me, in
fase di discussione, hanno condiviso che eettivamente, non essendo valida
sempre, quella proposizione non è estendibile alla sfera, ma hanno preferito
comunque formulare una proposizione analoga a quella euclidea che tenesse
conto dell'eccezione. Sul quaderno hanno scritto:
Per due punti non antipodali passa una e una sola retta, come accade sul
piano.
Se sono antipodali la proposizione euclidea non è valida, ci sono
innite rette per i due punti dati.
Si è notata una certa dicoltà da parte dei ragazzi a distaccarsi dalla
geometria del piano, dalle sue regole, denizioni e proposizioni, per ridenire
la geometria sulla sfera. Come abbiamo visto, molti ragazzi hanno frainteso
la denizione di retta sferica, considerando rette anche altre circonferenze non massime perchè hanno associato a loro la relazione di parallelismo,
dimenticando la nuova denizione di retta.
Nel parallelismo tra rette ha
quindi prevalso la ricerca della non incidenza, senza preoccuparsi abbastanza di adattarla al nuovo contesto in cui le rette sono solo le circonferenze
massime.
Durante le discussioni con i ragazzi è capitato che l'insegnante ed io
usassimo indierentemente i termini circonferenza sferica e cerchio sferico.
I ragazzi hanno manifestato un po' di confusione per questa ambiguità di
linguaggio. Per questo motivo, da quel momento in avanti abbiamo cercato
di prestare più attenzione ai vocaboli da utilizzare, cercando di parlare di
circonferenza per indicare il bordo, sulla supercie sferica, mentre indicando con cerchio anche l'area della sezione della sfera mediante il piano. In
realtà la loro confusione è stata solo iniziale: in alcuni momenti successivi,
hanno usato loro stessi i due termini indistintamente, ma dal contesto era
chiaro cosa intendessero.
Al termine delle fasi di discussione si sono sollecitati i ragazzi a riportare
le conclusioni condivise sul loro quaderno, in modo da poter avere la versione
denitiva del lavoro svolto. Per guadagnare tempo e per meglio monitorare che tutti scrivessero le conclusioni corrette, abbiamo pensato di creare un
cartellone su cui annotare i vari risultati, utilizzando colori diversi per distinguere denizioni e proposizioni, con il progetto di arricchirlo strada facendo
con nuove propietà della supercie sferica trovate dai ragazzi. Alla ne del
66
lavoro essi avrebbero potuto avere una raccolta di proposizioni, denizioni e
osservazioni corrette da riportare sul proprio quaderno o da confrontare con
quanto scritto autonomamente.
67
3.2
La
scheda 3 e la scheda 4
La scheda 3 è stata presentata durante la seconda lezione, giovedì 14 Aprile,
anche se parte della discussione si è svolta la lezione successiva, cioè sabato
16 Aprile, insieme alla consegna ed esplorazione della scheda 4. La discussione di quest'ultima è stata terminata lunedì 18. Lo scopo di queste attività
era di introdurre ai ragazzi la denizione di triangolo sferico e le sue proprietà.
La denizione proposta nella scheda 3 individua il triangolo come
intersezione tra la supercie sferica e il triedro con vertice nel centro della
sfera e gli spigoli passanti per tre punti ssati, che costituiscono i vertici
del triangolo, con il vincolo che i tre spigoli non siano complanari. Era pertanto fondamentale che i ragazzi, nel rispondere alle domande proposte, in
cui si chiedeva di analizzare alcune situazioni particolari, si rifacessero alle
proprietà del triedro. Questo non è sempre stato fatto: i ragazzi, compresa
la denizione e disegnato il triangolo sulla sfera, spesso dimenticavano come
fosse stato esplicitamente denito e quindi non sempre facevano ricorso alle
caratteristiche del triedro come giusticazione di quelle del triangolo.
La scheda 4 si propone di porre i ragazzi di fronte ad un fatto nuovo e
notevole: sulla supercie sferica la somma degli angoli interni di un triangolo
non è costante, al contrario di quanto accade sul piano. Il nostro obiettivo
era principalmente quello di far emergere la grande dierenza rispetto alla
geometria euclidea e di farli ragionare su quali potessero essere i limiti di
variabilità per la somma degli angoli interni di un triangolo sferico.
3.2.1
La consegna della
scheda
3 e l'esplorazione
Ridistribuite le sfere di Lénárt, i ragazzi si sono messi subito al lavoro nella
comprensione della denizione di triangolo. Non è parso dicile, in generale,
immaginare il triedro uscente dal centro della sfera e l'intersezione con la supercie sferica stessa, ma non è stato immediato il ricorso alla sua denizione
per giusticare le proprietà del triangolo nei casi particolari proposti.
Sono stati concessi per il lavoro una ventina di minuti e il tempo per
questa prima attività è stato sostanzialmente rispettato.
3.2.2
Analisi dei protocolli relativi alla
scheda
3
La prima domanda della scheda 3 chiede se i tre vertici di un triangolo
sferico possano essere allineati. Il gruppo 1, facendo ancora confusione sulla
interpretazione di retta sferica, ha risposto che è possibile.
formulazione:
68
Ecco la loro
Gruppo 1:
Disegnando 3 punti appartenenti ad una sola retta (quindi
allineati) è possibile congiungerli per formare un triangolo sferico.
I componenti di questo gruppo hanno collegato i tre punti allineati anche
in modi vari: se erano antipodali con semicirconferenze massime, quelli non
antipodali con linee non corrispondenti a porzioni di retta sferica.
Un componente del gruppo 2, in fase di condivisione, ha fatto notare
loro che per due punti non antipodali passa una e una sola retta sferica e
che presi tre punti sulla sfera, di antipodali ce ne possono essere al massimo
due.
Ho fatto inoltre osservare che in alcuni casi non hanno posizionato
bene il righello sferico e quindi, di fatto, non hanno tracciato porzioni di
retta sferica.
Il gruppo 4 ha invece spiegato che in questo caso si troverebbe un triangolo degenere:
Gruppo 4: I punti A, B e C che sono i vertici di un triangolo sferico non
possono essere allineati perchè appartengono a rette diverse e non ad un'unica
retta (perchè altrimenti sarebbe un triangolo degenere).
Il gruppo 3 ha scritto:
Gruppo 3: Secondo noi i tre vertici del triangolo sferico non possono essere
allineati in quanto non si possono formare gli angoli.
La risposta più completa è stata data dal gruppo 2:
Gruppo 2: No, perchè i vertici A, B, C potrebbero essere allineati solo se le
semirette di origine O fossero complanari ma così non esisterebbe il triedro.
La seconda domanda chiede se due punti antipodali possano essere vertici
di un triangolo sferico. Il gruppo 2 e il gruppo 3 hanno risposto negativamente:
Gruppo 2: Dato che i punti antipodali sono l'intersezione di due semirette complanari con vertice O, viene meno il triedro e di conseguenza la
denizione di triangolo sferico.
Gruppo3: No, perchè si formerebbe uno spicchio .
Ecco le altre due risposte:
69
Gruppo 4: Due punti antipodali possono essere vertici di un triangolo sferico perchè il terzo vertice può essere preso liberamente sulla sfera e in questo
modo si formerà sempre un triangolo sferico.
Gruppo 1: Sì, perchè giacendo sulla stessa retta e intercettando un terzo
punto, esterno o appartenente alla retta, è possibile tracciare un triangolo
sferico.
La risposta del gruppo 1 è parsa eettivamente coerente con l'errore
commesso nella prima domanda: secondo loro se il terzo punto appartiene
alla retta individuata dagli altri due si ha comunque il triangolo. Ancora, non
rifacendosi alla denizione di triedro per validare la costruzione fatta, hanno
annoverato lo spicchio, evidenziato anche dal gruppo 3, tra i triangoli.
Un fatto interessante è stato che, in fase di discussione, come vedremo,
proprio una componente del gruppo 1 ha proposto alla classe la conclusione
corretta, rivedendo la propria posizione e convincendo gli altri della validità
della sua nuova tesi.
Analizziamo ora le risposte all'ultima domanda:
Ci sono limitazioni alle lunghezze dei lati di un triangolo sferico? Il gruppo 1 e il gruppo 3 hanno riportato sulle rispettive schede che la
lunghezza massima è sempre inferiore ad una retta sferica:
Gruppo1: La lunghezza massima di un lato non è mai pari a quella del
cerchio massimo. La lunghezza minima è >0.
Gruppo 3: In base alla denizione i lati del triangolo sferico non possono
superare la lunghezza della circonferenza massima.
Con maggiore precisione, i gruppi 2 e 4 hanno scritto che deve essere sempre minore di una semicirconferenza massima.
Nel caso del gruppo 4 la
lunghezza della semicirconferenza era eettivamente un valore possibile per
la limitazione superiore dei lati del triangolo, coerentemente col fatto che
avevano risposto aermativamente alla seconda domanda.
Gruppo 4: Per formare un triangolo i lati devono avere la lunghezza massima pari a metà della lunghezza del cerchio massimo.
Il gruppo 2, invece, ha scritto:
Gruppo 2: Il lato più lungo deve essere minore della metà del cerchio
massimo.
70
Si è vericato, però, che i portavoce dei gruppi 1 e 4, nel riportare alla
lavagna le risposte, abbiano modicato la loro versione. Alessia, riferimento
del gruppo 1, ha dato come limitazione superiore metà cerchio massimo,
mentre Giorgio, che con il gruppo 4 aveva condiviso il valore massimo pari
a metà retta sferica, ha riportato come limite superiore l'intera retta.
Mi sono chiesta le ragioni del cambiamento di risposta. Può darsi che il
gruppo 1 si sia reso conto dopo l'esplorazione o dopo le prime osservazioni
condivise, dell'errore commesso, e abbia voluto correggerlo, dimenticandosi
di modicare la scheda; non ho capito invece come mai il gruppo 4 abbia
accettato la versione diversa e scorretta del suo portavoce. In base all'osservazione di come è stata condotta l'esplorazione, ho supposto che il gruppo 4
non avesse concluso l'analisi dell'ultima risposta, ma avesse abbozzato oralmente qualche considerazione e che nel riferire alla classe la loro versione si
sia fatto condizionare dal responso del gruppo 3, pronunciato prima del loro
turno, ma che poi, a ne discussione, abbia riportato sulla scheda la versione
condivisa.
Per quanto riguarda la limitazione inferiore, solamente il gruppo 1 ha
specicato sulla scheda che la lunghezza deve essere sempre strettamente
maggiore di zero, il gruppo 4 lo ha riportato in fase di condivisione e molti
compagni hanno aermato che si tratta di un'osservazione scontata.
Per concludere, alla prima domanda tre gruppi su quattro hanno risposto che non si può ottenere un triangolo con i vertici appartenenti ad una
stessa retta sferica, ma solamente il gruppo 2 ha esplicitato chiaramente la
motivazione, richiamando la denizione di triedro.
Due gruppi su quattro, poi, hanno aermato che si può ottenere un triangolo con due vertici tra loro antipodali, mentre gli altri due gruppi ritenevano
che questo non fosse possibile. Il gruppo 2, per giusticare la risposta, ha
richiamato ancora la denizione di triedro, notando che essa non verrebbe
rispettata; il gruppo 3 ha aermato, invece, che in quel caso non avremmo
più tre lati perchè si formerebbe uno spicchio.
Anche per quanto riguarda le limitazioni dei lati, si è assistito ad una
spaccatura all'interno della classe: due gruppi hanno evidenziato il limite
della semicirconferenza massima, gli altri due hanno ritenuto che questo
limite fosse tutta la retta sferica.
3.2.3
La discussione sulla
scheda 3
Dal momento che dalle risposte dei ragazzi è emerso non essere evidente
che ci si dovesse riferire alla denizione di triedro per analizzare i casi di
71
triangoli particolari proposti, la professoressa Pavesi dà il via alla discussione
chiedendo ai ragazzi un'ulteriore riessione sulle denizioni presenti sulla
scheda 3.
Insegnante: Che cos'è il triedro?
Alessia rilegge con attenzione a voce alta la denizione di triedro.
Insegnante: Allora, avete letto che le semirette, dovendo individuare una
porzione di spazio, devono essere non complanari. Rileggiamo la domanda:
i tre vertici di un triangolo sferico, possono essere allineati?
I ragazzi rispondono di no e Alessia dice:
Alessia: Perchè così non esiste il triangolo.
L'insegnante chiede di essere più precisi.
Vincenzo: Le semirette in questo caso starebbero sullo stesso piano, allora
il triedro è un triedro schiacciato.
Invitiamo gli alunni a riettere sul fatto che se si dà loro una denizione, eventualmente diversa da quella che si possono aspettare, sono tenuti a
riferirsi ad essa.
Io: Quelle che vi abbiamo fornito sono le regole iniziali, nel vostro procedere dovete rispettare le regole del gioco.
Insegnante: Qui non c'è soltanto un esercizio di geometria, nel caso particolare di geometria sferica. Dovete imparare a muovervi secondo le regole
del gioco.
Per quanto riguarda la seconda risposta, Alessia, componente del gruppo 2,
che aveva risposto che punti antipodali possono essere vertici di un triangolo
sferico, cambia idea rispetto a quanto condiviso nel gruppo e dice:
Alessia: Due punti antipodali sono allineati, quindi, anche se ne prendo
uno esterno, ho un unico piano che contiene le tre rette.
Tommaso: Sì perchè giacciono sullo stesso piano e viene così meno la
denizione di triedro e di triangolo sferico.
72
Insegnante: E per quanto riguarda le limitazioni?
Osserviamo che anche in questo caso abbiamo la classe divisa in due: due
gruppi sostengono che i lati siano sempre minori di una semicirconferenza,
altri due gruppi di una circonferenza intera. In rappresentanza del gruppo 2
prende la parola Vincenzo:
Vincenzo: Se fosse maggiore o uguale a metà di un cerchio massimo,
la supercie interna sarebbe concava, quindi andrebbe di nuovo persa la
denizione di triedro.
Alessia: Sono d'accordo, però mi chiedo come mai abbiamo fatto giusta
questa e abbiamo sbagliato quella di prima, il principio è lo stesso....
In realtà Alessia e il suo gruppo hanno riportato alla lavagna la risposta corretta alla terza domanda ma sulla scheda hanno scritto come limite superiore
l'intera circonferenza massima.
L'insegnante chiede ora ai gruppi 3 e 4 di argomentare la loro risposta secondo
cui la limitazione è tutta la retta sferica.
Anna, del gruppo 4 dice:
Anna: Ma io veramente avevo pensato alla semicirconferenza, ma poi...
In realtà sul loro foglio ho potuto leggere davvero metà lunghezza del cerchio
massimo ma mi è stato dicile comprendere le dinamiche di ragionamento
e le eettive considerazioni e conclusioni di questo gruppo.
L'insegnante chiede anche al gruppo 3 di motivare il loro ragionamento, ma
nelle risposte rimangono vaghi:
Valentina: Eh, abbiam fatto dei tentativi....
L'insegnante cerca allora di fare il punto della situazione:
Insegnante: A questo punto cosa vi sembra ragionevole?
Sara, del gruppo 3: un triangolo può stare al massimo in una semisfera
E aggiunge Francesca, sua compagna di gruppo:
Francesca: e i lati non possono essere più di 180°.
73
Dalle parole di Francesca risulta evidente come gli studenti utilizzino i gradi
per misurare le lunghezze dei segmenti: come già osservato, con gli strumenti
a disposizione, in particolare con il righello sferico graduato, ciò risulta molto
intuitivo e spontaneo.
Propongo inne un'osservazione per completare i ragionameni emersi dai
ragazzi:
Io: Quando ssiamo due punti sulla sfera, abbiamo detto che individuiamo
un certo cammino di minima distanza sulla circonferenza massima.
Non
abbiamo denito esplicitamente il termine segmento, ma l'idea è quella.
Anche per individuare i lati del triangolo abbiamo usato questi segmenti,
delle porzioni particolari di retta.
Ma, dati due punti quante porzioni di
retta troviamo?
Alcuni ragazzi: Due, ma dobbiamo prendere quella più corta.
Io: E dati due punti qual è l'estensione massima di questa lunghezza?
Anna: Minore di una semicirconferenza.
Dunque, eettivamente, i lati del triangolo non potrebbero superare la lunghezza di metà circonferenza massima, perchè in quel modo sarebbero collegati con un cammino non di minima distanza, contrariamente alle convenzioni adottate. Secondo me, al termine della scheda 1, sarebbe stato opportuno
soermarsi di più su questa considerazione, sottolineando che da quel momento in avanti avremmo dato per scontato che il segmento individuato da
due punti è sempre quello di minima distanza. Quest'osservazione è rimasta
un po' sottintesa, anche se condivisa, e la denizione di segmento non è stata
data esplicitamente.
Con queste considerazioni termina la discussione alla scheda 3.
3.2.4
La consegna della scheda 4 e l'esplorazione
Per lo svolgimento della scheda 4 è stato consegnato ai ragazzi il goniometro
sferico.
Il tempo previsto era di circa 20 minuti.
Per favorire le osservazioni richieste sulla somma degli angoli interni di
un triangolo sferico l'insegnante, dopo qualche minuto dalla consegna, ha
scritto alla lavagna le seguenti domande guida:
-
esistono triangoli con più di un angolo retto?
-
la somma degli angoli interni è costante? Se no, tra che valori varia?
74
Ciononostante ai ragazzi è servito più tempo del previsto e parte della
fase di discussione è stata rimandata alla lezione successiva.
Ci siamo rese conto che qualcuno, nonostante avesse trovato triangoli
con tre angoli retti, pensava che non fossero ammessi triangoli con più di un
angolo ottuso. Il gruppo 1, in particolare, si era concentrato sull'esplorazione
della validità di alcune proposizioni, ad esempio:
Se ci sono due angoli
acuti uno è sicuramente ottuso; Se ci sono due ottusi il triangolo non si
chiude.
Queste riessioni, che non sono state riportate alla classe, non
hanno consentito loro di pensare ai valori limite per la somma degli angoli
interni del triangolo.
Quasi tutti i ragazzi erano concordi nel ritenere 180° la limitazione inferiore alla somma degli angoli interni: la maggior parte disegnava triangoli
molto piccoli, un gruppo, invece, ha disegnato un triangolo stretto con due
angoli di 90°. Dai disegni sulle sfere ho notato in generale una certa dicoltà
a creare triangoli con angoli quanto più ampi possibile, probabilmente perchè
non risultava immediato considerare triangoli con tre angoli ottusi, essendo
impossibile questa situazione sul piano.
I ragazzi del gruppo 2, confrontandosi tra loro, riettevano sul fatto che in
geometria sferica esistono inniti triangoli equilateri, con angoli di ampiezza
strettamente compresa tra
60°e 180°.
Questo ragionamento, sebbene non sia
stato scritto sulla scheda nè proposto in fase di discussione è stato citato
durante la discussione della scheda 9, come avremo modo di vedere.
3.2.5
Analisi dei protocolli relativi alla
scheda
4
In risposta alla prima domanda guidata dell'insegnante, il gruppo 4 ha scritto
che è possibile trovare triangoli con due angoli retti.
Gli altri tre gruppi
hanno osservato che esistono anche triangoli con tre angoli retti. E' parso
quindi evidente che la somma degli angoli interni non fosse, come sul piano,
180°; gli esempi trovati dimostravano in particolare che poteva essere più
grande. Facendo più prove i ragazzi hanno dedotto che questa somma non
era però costante ma variava al variare del triangolo considerato. Un paio di
gruppi lo hanno esplicitamente scritto:
Gruppo 4:
Nei triangoli sferici la somma degli angoli interni varia al
variare della dimensione dei lati.
Gruppo 2: Non c'è un valore costante della somma degli angoli interni.
Due gruppi su quattro erano d'accordo sul limite inferiore (mai raggiunto), di 180°. Il gruppo 4 sosteneva, invece, di aver trovato un triangolo di
75
180° (si è poi rivelato essere un triangolo molto piccolo su cui era stata condotta una misura imprecisa), mentre il gruppo 3, pensando ad un triangolo
piccolissimo, ha detto che la somma degli angoli interni è una quantità innitesima. Per quanto riguarda la limitazione superiore, invece, nessun gruppo
ha trovato il valore limite di 540°. Vediamo nel dettagio le loro risposte:
Gruppo1: Limitazioni: somma angoli interni: ]180°, 360°[, non come in
geometria euclidea.
Gruppo 2: Il valore della somma degli angoli è: 180° < somma < 360°.
Gruppo 3: Il valore minimo della somma degli angoli interni è
(numero
innitamente piccolo). Il valore massimo è 270°.
Gruppo 4:
Nei triangoli sferici la somma degli angoli interni varia al variare
della dimensione dei lati e non è mai inferiore a 180°.
Quando in fase di condivisione si è chiesto al gruppo 4 se avessero in
mente un valore limite superiore essi hanno risposto +∞; dal momento che
avevano misurato un triangolo con somma degli angoli interni pari a 390°,
avevano ipotizzato che esistessero triangoli con somma degli angoli interni
grande a piacere.
3.2.6
La discussione sulla
scheda 4
L'insegnante osserva che c'è opinione concorde sul fatto che la somma degli
angoli interni non sia costante e propone di pensare insieme, in base a quanto
condiviso, alle possibili limitazioni.
Il gruppo 3, che ha aermato di avere come limitazione inferiore
, ha difeso la
propria tesi sostenendo che, diventando sempre più piccoli i triangoli, anche
gli angoli saranno sempre più piccoli. Qualcuno, però, aerma risoluto che
non si possa ottenere meno di 180°, e sda il gruppo 3 a fornire delle prove
delle loro aermazioni.
Nel frattempo Anna, convinta che la somma degli angoli interni possa valere
180° chiede:
Anna: Ma può essere uguale a 180° o no? Perchè a noi è venuto 180° su un
triangolo molto piccolo, facendo le misure col goniometro.
Michele, del gruppo 2, prende la parola e aerma: Noi non abbiamo fatto
una dimostrazione, ma facendo un po' di prove abbiamo visto che 180° non
viene mai raggiunto.
76
Francesco: Probabilmente perchè poi diventa un triangolo degenere.
L'insegnante precisa che, in base a come è stata data la denizione, i casi di
triangoli degeneri non vengono ammessi, quindi per noi, i triangoli che loro
chiamano degeneri non sono proprio triangoli, secondo la denizione data.
A questo punto prendo una sfera su cui era disegnato un triangolo piccolissimo che era stato usato per concludere che il limite inferiore mai raggiunto
era 180°. E dico di concentrarsi sulla piccola porzione di sfera considerata.
Alessia osserva:
Alessia: E' quasi piana!
I ragazzi si convincono che il valore 180° non possa quindi essere raggiunto
perchè, comunque, per quanto piccola sia la porzione di supercie sferica
considerata, essa non è piana.
Per quanto riguarda la limitazione superiore, invece, ai sostenitori del valore
360°, il gruppo 4 propone un triangolo con somma degli angoli di 390°. Si
dice allora ai ragazzi di ripensare a come disegnare un triangolo in cui ogni
angolo sia più ampio possibile e si concede loro qualche altro minuto di tempo
per l'esplorazione.
Girando tra i banchi consiglio ad un paio di gruppi un po' in dicoltà di
concentrarsi su una semisfera e di disegnare il triangolo su quella, dal momento che è emerso, durante la precedente discussione, che un triangolo è
interamente contenuto in una semisfera. Passando vicino al gruppo 2 sento
Vincenzo spiegare ai compagni che ssati i punti in stretta prossimità dell'equatore i tre angoli tendono ad un'ampiezza di 180°, quindi la somma ha
come limitazione superiore
180° × 3 = 540°.
Dopo una decina di minuti di lavoro chiedo ad un portavoce per gruppo di
proporre le risposte. Alla lavagna scrivo:
Gruppo 1: somma angoli interni
< 540°.
Gruppo 2: somma angoli interni
< 540°,
Gruppo 3: somma angoli interni
altrimenti verrebbe la semisfera.
≤ 350°,
al massimo possiamo costruire
un triangolo coi seguenti angoli: 90°, 90°, 170°.
Gruppo 4: somma angoli interni
< 540°
o
≤ 540°,
non sappiamo decidere.
Tre gruppi sono abbastanza concordi. Vedendo il gruppo 3 un po' dubbioso
chiedo a chi ha trovato angoli di ampiezza superiore a 350° di mostrare il
loro ragionamento.
77
Francesco, del gruppo 2, viene alla cattedra con una sfera di Lénárt e mostra
il loro disegno, con i tre vertici vicino all' equatore.
Francesco: Abbiamo preso tre punti sulla stessa semisfera...
Ma
Valentina lo interrompe: Ma quello non è un triangolo!
Rileggiamo insieme, nuovamente, la denizione di triangolo sferico che è stata riportata sul cartellone, nella ricerca di qualche proprietà che non venga
rispettata dal disegno di Francesco, ma non la troviamo. Valentina si convince che eettivamente quella strana gura è un triangolo secondo la nostra
denizione.
Francesco dice che dalle loro misure si otteneva come somma
454°. Domando, allora, come abbiano fatto a dedurre il valore 540°.
Francesco: Perchè abbiamo calcolato che l'ampiezza massima di ogni angolo è 180°, quindi 180° per 3 fa 540°, però, in questo caso, non sarebbe più
un triangolo, le semirette sarebbero complanari.
Successivamente all'intervento di Francesco, l'insegnante conclude la discussione facendo il punto di quanto trovato:
Insegnante: Questa è una bella scoperta: la somma degli angoli interni
di un triangolo è sempre maggiore di 180°, varia al variare del triangolo
considerato e ha una limitazione superiore di tre angoli piatti.
3.2.7
Osservazioni conclusive al secondo gruppo di schede
Come già emerso ci sono state dicoltà da parte di molti ragazzi a comprendere a fondo la denizione introdotta. Avevano qualitativamente capito cosa
fosse un triangolo sferico ma non si erano abbastanza soermati sul modo
in cui si è scelto di denirlo.
Soltanto un gruppo ha dato subito risposte
esaustive che facessero riferimento alla denizione di triedro. Alcuni hanno
parlato di triangolo degenere, non notando che in base alla denizione data, quelli considerati non erano proprio triangoli. Un altro gruppo ha detto
poi che nel caso di tre punti allineati non si formano gli angoli, ma senza
imputare questo fatto alle caratteristiche del triedro.
Per i ragazzi non è certamente facile ricostruire una nuova geometria e
staccarsi dalle note concezioni euclidee. Sembra più naturale riferirsi a nozioni quanto più possibile familiari. La dicoltà a ragionare con i nuovi concetti
emerge anche quando non si accorgono che se i lati del triangolo superassero, in lunghezza, la semicirconferenza, non costituirebbero un cammino di
78
minima distanza, un segmento. Il gruppo 2, nel giusticare questo fatto, ha
fatto riferimento alla denizione di triedro: Si usa semplicemente la parola
triedro anche per indicare la regione convessa di spazio ad essa associata ,
notando che se il triangolo avesse lati più lunghi di una semicirconferenza
massima, il triedro che lo individua non sarebbe convesso.
79
3.3
La
scheda 5
Questa scheda è stata proposta ai ragazzi durante la lezione di lunedì 18
Aprile, in cui si aveva a disposizione solamente un'ora.
In questa attività viene arontato il tema della perpendicolarità. Data
una retta sferica, come accade in geometria euclidea, essa ha innite perpendicolari che, però, risultano essere incidenti tra loro, precisamente in due
punti antipodali equidistanti dalla retta data.
Sempre nell'ottica di far riettere i ragazzi sulle proprietà della nuova geometria confrontandola con quella euclidea, la scheda propone una riessione
sulla proposizione della geometria piana:
Data una retta e un punto fuori di essa, esiste ed è unica la perpendicolare per il punto alla retta .
Questo non è in generale valido sulla sfera, dato che per un punto che
costituisca un polo rispetto alla retta - equatore data, passano innite perpendicolari.
Dal momento che si è scelto di operare un cambiamento all'interno della numerazione delle schede, nelle pagine seguenti riporto le ultime cinque
schede con la numerazione che è stata utilizzata in classe.
SCHEDA 5
Tracciate una retta r sulla supercie sferica, cosa potete osservare riguardo
all'insieme delle rette perpendicolari ad r ?
In geometria euclidea data una retta ed un punto fuori di essa esiste
ed è unica la perpendicolare per il punto alla retta.
Questa proposizione è valida anche sulla sfera?
Giusticate la vostra risposta.
80
SCHEDA 6
Analogamente alla denizione di circonferenza sul piano, poniamo la seguente
DEFINIZIONE:
Se C è un qualsiasi punto sulla supercie sferica, chiamiamo cir-
conferenza
Γr
con centro C e raggio r, il luogo dei punti della
supercie sferica che distano r da C.
1. Considerate sulla sfera una qualsiasi retta. In base alla denizione di
circonferenza data, potete interpretare la retta come una particolare
circonferenza ? Se si quali sono i rispettivi centro e raggio ?
2. Tracciate una qualsiasi circonferenza sulla sfera, quali osservazioni
potete fare riguardo all'individuazione di centro e raggio ?
3. Qual è l'intervallo di valori entro il quale può variare la misura del
raggio di una circonferenza ?
Descrivete le caratteristiche delle circonferenze corrispondenti ai valori
estremi di questo intervallo.
81
SCHEDA 7
Disegnate alcune circonferenze
Γ1 , Γ2 ...
di centro C e raggi
r1 ,r2 . . .
Utilizzando spago e righello misurate i raggi, le circonferenze e compilate la
tabella che segue.
raggio
circonferenza
rapporto
r1 =
Γ1 =
Γ1 /2r1 =
r2 =
Γ2 =
Γ2 /2r2 =
Cosa osservate dalla tabella, pensando alla analoga situazione nel piano?
82
SCHEDA 8
Nella geometria euclidea,
π
rappresenta il rapporto costante tra la lunghezza
della circonferenza e la lunghezza del diametro.
Come si è potuto osservare nella Scheda 6 il valore di questo rapporto non è
costante nella geometria della sfera.
Dimostrerete ora da cosa dipende tale rapporto.
Considerate sulla sfera una circonferenza
Γ
di centri C e C'.
1. Siano Q e R due punti della circonferenza.
Come potete giusticare che Q e R si proiettano nello stesso punto H di
CC'?
(Considerate
i
triangoli
Γ,
che Γ
Osservate che, poiché ogni punto di
stanza da H, si può concludere
83
CRC'
e
CQC'. . . ).
si proietta in H e ha uguale diè una circonferenza anche sul
piano perpendicolare a CC' in H.
Γ
è dunque una circonferenza sia in geometria sferica che in geometria
euclidea.
2. Se
θ
è la misura in radianti dell'angolo COQ, esprimete in funzione di
θ:
- il raggio r della circonferenza sferica : r
=
- il raggio QH della circonferenza euclidea: QH
=
3. Determinare il rapporto tra la lunghezza della circonferenza
Γ
e il suo
diametro, nella geometria sferica.
Il risultato che avete ottenuto, è in accordo con quanto avete osservato in
precedenza? Perché?
84
SCHEDA 9
Durante le precedenti discussioni abbiamo trovato proposizioni riguardanti
le rette che sono valide in geometria euclidea ma non in geometria sferica.
Collocate le proposizioni che abbiamo esaminato nella tabella seguente ed
eventualmente trovatene altre.
Se credete vi sia d'aiuto consultate il testo di geometria.
PROPOSIZIONI VALIDE
NELLA GEOMETRIA
NELLA GEOMETRIA DEL
DELLA SFERA
PIANO
85
3.3.1
La consegna della
scheda
5 e l'esplorazione
Sono state consegnate le sfere di Lénárt e il materiale occorrente ai quattro
gruppi, che si sono messi subito al lavoro.
Come mi aspettavo, alcuni di essi non consideravano il caso particolare
dei punti antipodali, o lo interpretavano come un'eccezione alla regola.
Avvicinandomi al gruppo 2 sentivo che discutevano su come si potesse
dimostrare eettivamente che data una retta e un punto fuori di essa, esiste
unica la perpendicolare.
Essi, di fatto, non stavano considerando il caso
particolare dei punti antipodali, ma si erano focalizzati su come giusticare
la proprietà che avevano in mente. Questo aspetto è emerso poi in fase di
discussione e i ragazzi, in maniera guidata, ma autonoma, hanno dimostrato
che dato un equatore
r
P,
e un punto fuori di esso,
esiste unica la retta perpendicolare a
r,
che passa per
che non sia un polo,
P.
Per questa scheda erano stati previsti circa trenta minuti per l'esplorazione e una ventina di minuti per la discussione. I ragazzi sono stati piuttosto
veloci, impiegando per la prima parte meno tempo del previsto e sviluppando poi una buona discussione. Parte di quest'ultima fase, però, ha occupato
anche un po' dell'intervallo, dal momento che a inizio lezione si era impiegato
circa un quarto d'ora per concludere la discussione della scheda 4.
3.3.2
Analisi dei protocolli relativi alla
scheda
5
Analizziamo le risposte alla prima domanda. Essa chiede di descrivere l'insieme delle rette perpendicolari ad una retta sferica data. Il gruppo 1 è quello
che ha fornito la risposta più precisa:
Gruppo 1:
Sono innite, tutte incidenti nei punti antipodali delle due
semisfere individuate dalla retta
r.
Essi hanno anche precisato che i due punti antipodali non sono casuali, ma sono individuati (univocamente) dalla retta
r.
Fissato un equatore,
in corrispondenza ad esso si determinano due particolari poli. Quest'osservazione spesso veniva tralasciata, ma anche quando i ragazzi non esplicitavano chiaramente a quali poli si riferissero, dai loro ragionamenti pareva
che intendessero esattamente quelli univocamente determinati dalla retta
ssata.
Il gruppo 2, nell'esprimere lo stesso concetto, non è stato invece, altrettanto preciso:
86
Gruppo 2: Data una retta
r
le perpendicolari ad essa sono tutte quelle che
passano per gli estremi della retta euclidea perpendicolare al diametro della
retta data.
I componenti di questo gruppo volevano considerare eettivamente i due
poli rispetto alla retta - equatore assegnata, ma la retta perpendicolare al
diametro euclideo della circonferenza massima da loro nominata, non è in
generale unica, quindi i due estremi citati non vengono in questo modo
individuati univocamente.
Il gruppo 2 ha anticipato poi, nella risposta alla domanda 1, considerazioni che sono state riportate nelle successive risposte:
Gruppo 2: Dato un punto esterno è unica la perpendicolare alla retta
r
che
passa per quel punto.
L'intento dei componenti del gruppo 2 era quello di considerare un punto
esterno che non fosse un polo per la retta.
Le risposte dei gruppi 3 e 4 alla prima domanda, si sono rivelate di non
facile interpretazione.
Gruppo 3: Sono innite poichè, considerando che la retta iniziale è costituita da inniti punti, per essi passano innite perpendicolari. (Se invece si
considerassero solo due punti antipodali di una retta [cioè ssati su di essa],
per essi passa una sola perpendicolare).
Gruppo 4: La perpendicolare
r
è denita dal fatto che tracciando altre
circonferenze più piccole rispetto alla stessa perpendicolare queste saranno
parallele alla prima e perciò non più circonferenze massime.
Il gruppo 4 ha proceduto in questo modo: prima di tutto ha tracciato
una retta perpendicolare ad
r.
Successivamente, ha osservato che altre linee
sulla sfera, che paiono essere perpendicolari ad
r,
non possono essere rette
poichè risultano circonferenze parallele alla prima perpendicolare tracciata,
ed abbiamo già osservato che non esistono rette sferiche parallele. Leggendo questa risposta sembra che essi non si siano chiesti se ci possano essere
rette perpendicolari con caratteristiche diverse da quelle euclidee, cioè non
parallele tra loro. Invece, in base alla risposta data alla seconda domanda,
si capisce che essi avevano chiaro il fatto che esistano innite perpendicolari
ad una retta data, passanti per due particolari punti antipodali. Essi hanno
scritto che la proposizione: data una retta ed un punto fuori di essa esiste
87
ed è unica la perpendicolare per il punto alla retta , non è valida sulla sfera
e hanno giusticato dicendo:
Gruppo 4: Se i due punti sono antipodali le rette perpendicolari ad una
retta data sono innite, mentre per un solo punto passa una e una sola retta.
Chiaramente essi intendevano dire che se il punto scelto è uno dei due
poli, si hanno innite rette, mentre se il punto non è uno dei punti antipodali
in questione, si ha esistenza e unicità.
Vediamo come hanno risposto gli altri gruppi alla domanda
Questa proposizione è valida anche sulla sfera? .
Gruppo 1: Sì, tranne per i punti antipodali, per i quali passano innite
rette perpendicolari.
Gruppo 2: Sì, a meno che non siano gli antipodali.
Gruppo 3: Sì, data una retta ed un punto qualsiasi fuori di essa, solo
una retta passante per quel punto è perpendicolare.
(Caso particolare: se
consideriamo come retta l'equatore e come punto uno degli antipodali opposti
all'equatore, esistono innite rette perpendicolari).
Il gruppo 3 inizialmente non aveva denito il punto esterno alla retta, tramite l'aggettivo qualsiasi, ma ha aggiunto il termine solo successivamente.
Questo appare molto signicativo e sottolinea ancora una volta quanto i punti antipodali siano considerati eettivamente come punti anomali, che non
vengono presi in considerazione quando si parla di punti qualsiasi.
Il gruppo 3 non ha scritto ulteriori giusticazioni mentre i gruppi 1 e 2
hanno proposto spiegazioni analoghe:
Gruppo 1: Tracciando una retta
r
notiamo che le sue rette perpendicolari
sono incidenti nei punti antipodali delle due semisfere individuate da
r.
Preso
un punto qualsiasi, notiamo che la perpendicolare per quel punto è unica;
tracciando un'altra retta per quel punto che incida la retta
r
notiamo che
l'angolo che si forma è <90°.
Ancora una volta essi hanno utilizzato l'aggettivo qualsiasi per indicare
un punto diverso dai due punti antipodali particolari.
Gruppo 2: Tracciando empiricamente sulla sfera la perpendicolare passante
per un punto esterno, troviamo che è unica, in quanto cambiando i punti di
intersezione con la retta data, non si formano quattro angoli di 90°.
88
Riassumendo, per due gruppi su quattro era evidente che l'insieme delle
perpendicolari ad una retta
r
fosse innito e che tutte si incontrassero in due
punti antipodali, univocamente determinati, una volta ssata
r.
Nonostante
i gruppi 3 e 4 non avessero risposto con precisione alla prima domanda, tutti
sono stati concordi sulla risposta alla seconda questione, aermando che la
proposizione euclidea sulla perpendicolare ad una retta per un punto esterno,
è ancora valida sulla sfera se come punto non si prende uno dei due poli.
3.3.3
La discussione sulla
scheda
5
La discussione ha inizio partendo dalla risposta data alla prima domanda dal
gruppo 4. Essi hanno sottolineato che le possibili perpendicolari ad
r
dalla
forma di circonferenze concentriche, parallele ad una perpendicolare ad
r,
non sono rette.
Giorgio, portavoce del gruppo 4 dice:
Giorgio: Se prendiamo delle circonferenze parallele alla perpendicolare alla
retta
r, non saranno rette, quindi la perpendicolare sarà proprio quella presa
in considerazoine all'inizio.
Subito Francesca, componente del gruppo 3, interviene dicendo che la risposta data dal gruppo 4 è corretta ma che non dà informazioni sensate riguardo
a quali siano, eettivamente, le possibili rette perpendicolari.
Allora si domanda al gruppo 4 se sia possibile trovare delle rette, cioè delle circonferenze massime, che siano perpendicolari alla retta data e come,
eventualmente, pensano siano fatte.
Veronica: Se sso un punto, sì, ne trovo una, ma se sono antipodali,
innite.
Francesca, però, evidenzia che quella pare essere la risposta alla seconda domanda, mentre la prima chiedeva, in generale, quali fossero le caratteristiche
dell'insieme delle rette perpendicolari. Interviene a supporto anche Michele,
del gruppo 2:
Michele: La prima domanda ci dice che data una retta, ci sono, in generale,
delle perpendicolari, e come sono fatte, senza pensare ad una in particolare
che passi per un punto. Nella seconda si dà un punto esterno e si vuol sapere
se ce ne sono passanti per quel punto.
Chiedo allora di formulare una risposta condivisa alla domanda 1.
89
Prende la parola Anna, componente del gruppo 4:
Anna: Le rette perpendicolari sono innite e si incontrano nei punti antipodali.
Proseguiamo allora con la discussione, riettendo insieme sulla seconda domanda della scheda.
I componenti del gruppo 2 cercano di dimostrare che per un punto esterno
ad una retta, che non sia un polo rispetto a quella circonferenza massima,
passa una e una sola perpendicolare.
Eugenio, del gruppo 2: Noi stavamo pensando che per giusticare il fatto
che esiste ed è unica la perpendicolare, prendiamo due punti antipodali e
un terzo compreso in una circonferenza massima che passa per i due punti
antipodali, questa retta perpendicolare sarà unica perchè deve rispettare
l'assioma di perpendicolarità.
I ragazzi, però, gracamente, considerano i due punti antipodali in questione
appartenenti alla retta
equidistanti da
r.
r
invece che da parti opposte rispetto ad essa ed
Il loro ragionamento è confuso, ed è scorretto il ricorso
alla proposizione (non assioma) dell'esistenza e unicità della perpendicolare
per un punto a una retta, la cui validità in geometria euclidea non legittima
l'estensione al caso della supercie sferica. La loro idea, in realtà, come poi
si capisce dal seguito della discussione, era di dimostrare che una qualunque
altra retta perpendicolare doveva coincidere con la prima. Sostenevano che
data una retta
r
e una perpendicolare
s
passante per un punto
P,
questa
r in due punti diametralmente opposti, che loro chiamavano
Q e R. Una qualsiasi altra retta perpendicolare ad r, passante
per P , avrebbe intersecato r negli stessi punti Q e R e in questo modo,
secondo loro, sarebbe stata necessariamente la retta s. Di fatto, i ragazzi
non riettevano sul fatto banale che le ipotetiche altre perpendicolari a r
passanti per P , avrebbero potuto intersecare la retta in punti diversi da Q e
R.
intersecasse
antipodali,
Francesca, del gruppo 3, infatti, aerma:
Francesca: Ma questo è ovvio, voi considerate sempre la stessa perpendicolare!.
Francesco chiede al gruppo 3:
Francesco: Voi come avete giusticato che c'è solo una perpendicolare?
90
Le componenti del gruppo 3 cercano di spiegare i loro disegni.
Francesco: Beh, comunque empiricamente.
Valentina: Eh, sì. Anche in geometria euclidea è così.
Francesco: Eh beh, e quindi deve essere per forza così anche qui?
Io:
Abbiamo visto che ci sono delle dierenze, in generale, tra le due
geometrie. Come si può capire se questa proprietà si mantiene?
Tommaso: Prendendo un punto esterno e costruendo la perpendicolare,
la retta è unica perchè dati tre punti passa una e una sola retta e come tre
punti consideriamo il punto esterno e i due punti di intersezione.
I ragazzi sembrano un po' confusi.
Allora suggerisco di provare a pensare
meglio a cosa succederebbe se ci fossero, ad esempio, due perpendicolari
distinte alla stessa retta
r,
passanti per un punto esterno
P.
Faccio un
piccolo schizzo alla lavagna. Troveremmo qualche situazione particolare?
Francesco: Se sono incidenti e perpendicolari allo stesso segmento dovrebbero essere parallele.
Carolina: Ma no, questo sul piano!.
Francesco: Ua, ma qui non vale più niente!.
Alessia precisa, innanzitutto, che quel punto non deve essere un polo:
Alessia: Se consideriamo il polo e il suo equatore ne troviamo innite di
perpendicolari. Quindi quel punto non deve essere un polo.
Diletta, nalmente, fa un'osservazione che si rivela risolutiva:
Diletta:
E se considero che in quel caso le rette avrebbero due punti
antipodali sulla stessa semisfera?
La esortiamo a spiegare meglio quello che intende.
Diletta: Individuata una retta le due ipotetiche perpendicolari si incontrerebbero in due punti antipodali sulla stessa semisfera.
91
Vincenzo: Le rette si incontrano in un punto che non è quello antipodale!
Francesco: Sì, però non è un po' relativo dire se ci son due punti antipodali
non va bene, perchè su una semisfera ne possiam trovare quanti ne vogliamo
di punti antipodali.
Diletta: Ma riferito ad una retta no...
Vincenzo, che pare convinto della correttezza del suo nuovo ragionamento,
prende la parola e spiega alla classe il suo pensiero:
Vincenzo: Siccome tutte le perpendicolari a
r
si incontrano in due punti
antipodali, se si incontrano in un altro punto, quello che abbiamo chiamato
P,
che non è uno dei due poli, abbiamo una cotraddizione.
Francesco: Giusto!
Io: Quindi dato che tutte le perpendicolari ad una retta si incontrano in
due punti antipodali, per un punto
P
diverso da quei due, ce ne può passare
solo una, altrimenti avremmo rette distinte passanti per gli stessi tre punti,
il ché è assurdo.
Già Diletta aveva evidenziato una contraddizione: prese due rette perpendicolari ad
r,
se consideriamo che esse si incontrano nei due punti antipodali
e in nessun altro punto, se esse incidessero in
P,
signicherebbe che
P
è un
polo, e avremmo i due poli sulla stessa semisfera.
Facciamo notare ai ragazzi che abbiamo impostato una breve dimostrazione
per assurdo: abbiamo negato la tesi e abbiamo visto che, procedendo con
semplici ragionamenti, si giunge ad una contraddizione, rispetto a quanto
supposto.
A questo punto si conclude la discussione della scheda 5.
3.3.4
Osservazioni conclusive alla
scheda
5
A conclusione dell'attività sulla scheda 5 si possono riproporre alcune difcoltà e osservazioni emerse già dall'analisi delle precedenti schede, principalmente la concezione dei punti antipodali, considerati come punti diversi
dagli altri, per i quali i ragazzi tendono a creare proposizioni ad hoc.
E' poi emersa nuovamente forte l'inuenza della geometria euclidea. Ciò
si è vericato, ad esempio, quando il gruppo 4 ha istintivamente cercato di vericare la relazione di perpendicolarità per elementi diversi dalle rette, ma che
92
percettivamente soddisfacevano la relazione voluta, oppure quando Valentina ha giusticato una proprietà valida sulla sfera tramite la corrispondente
nel piano.
Durante la discussione è positivo che sia emersa da parte di qualche
ragazzo la necessità di una spiegazione più formale e rigorosa della proposizione. Gli alunni, discutendo e confrontandosi, hanno dimostrato, con
semplici ragionamenti, che data una retta e un punto fuori di essa, che non
sia uno dei due poli corrispondenti all'equatore ssato, esiste un'unica retta
perpendicolare a quella data, passante per quel punto.
93
3.4
Le
schede 6, 7 e 8
Questo gruppo di schede presenta un breve percorso di lavoro alla scoperta
delle proprietà e caratteristiche delle circonferenze sferiche.
Le prime due
schede sono state arontate durante le due ore a disposizione di Martedì 19,
mentre l'ultima il giorno successivo.
La scheda 6 inizia con la denizione di circonferenza sulla sfera, assegnati un centro e un raggio. Naturalmente il centro è un punto sulla supercie
sferica e il raggio è una porzione di circonferenza massima, cioè un segmento
sferico.
Inizialmente si voleva far riettere i ragazzi sul fatto che, sulla sfera, ogni
retta risulta essere in particolare una circonferenza. Le successive domande
guida avrebbero poi condotto all'esplorazione di alcune proprietà: una qualsiasi circonferenza sulla sfera presenta due centri, tra loro antipodali e due
raggi di lunghezza inferiore ad una semiretta sferica.
La scheda 7 ha un'impostazione particolarmente operativa. Si è scelto
di chiedere ai ragazzi di eettuare direttamente le misurazioni di alcune
circonferenze e raggi sulla sfera in modo che si rendessero autonomamente
conto che il rapporto
sempre minore di
circonf erenza
non è costante e in particolare risulta
2raggio
π.
Con l'analisi della scheda 8, inne, si voleva che i ragazzi dimostrassero che la variabilità di quel rapporto dipende dall'angolo formato dalle
rette passanti per il centro della sfera e, rispettivamente, per i centri della
circonferenza sferica e per un punto arbitrario appartenente ad essa.
3.4.1
La consegna della
scheda
6 e l'esplorazione
Per arontare le richieste della scheda 6 si è consegnato ad ogni gruppo
lo specico compasso sferico.
Senza alcuna dicoltà nell'approccio con lo
strumento, i ragazzi si sono messi al lavoro disegnando circonferenze di varie
dimensioni.
Gli alunni parevano soddisfatti di avere nalmente una scheda sulle circonferenze, dal momento che questo concetto era già stato citato in passato,
in riferimento ai paralleli terrestri, ma non era ancora stato investigato sulla
sfera. A mio avviso, quando i ragazzi parlavano di circonferenze sulla sfera,
prima della presentazione di questa attività, ragionavano sulle corrispondenti circonferenze piane, con centro in un punto all'interno della sfera e raggio
un segmento euclideo.
Tutti gli alunni hanno compreso che il raggio della circonferenza sferica risulta essere una porzione di cerchio massimo dimostrando di aver ben
94
interpretato la denizione data. Qualcuno di loro, però, pensava che data
una circonferenza essa presentasse un unico centro e un unico raggio, forse
condotto a quest'idea dai limiti meccanici dello strumento compasso, che non
permette di tracciare circonferenze con raggio maggiore di mezza semiretta
sferica.
Per l'esplorazione, l'analisi e la discussione di questa scheda era stato
previsto un tempo complessivo di trenta minuti. In realtà i ragazzi hanno
dimostrato di necessitare di più tempo per arontare il lavoro e così questa
attività ha occupato l'intera prima ora.
3.4.2
Analisi dei protocolli relativi alla
scheda
6
La prima domanda della scheda 6 chiede se una retta sferica possa essere interpretata come una particolare circonferenza e in caso aermativo di
individuarne centro e raggio.
Tutti i gruppi sono stati concordi nel ritenere che eettivamente una retta
sferica possa essere annoverata tra le circonferenze sferiche. La denizione di
retta sferica come circonferenza massima faceva riferimento ad una circonferenza euclidea. Solo qui i ragazzi hanno compreso che essa rispetta anche la
denizione di circonferenza sferica.
Il gruppo 2 ha aermato esplicitamente che questa circonferenza presenta
due centri:
Gruppo 2: La retta ha due centri, gli antipodali della retta, e il raggio è
1/2
della semicirconferenza massima.
Il gruppo 4 ha individuato i due potenziali centri ma ha aermato che
debba esserne scelto uno. Inoltre ha determinato un unico raggio ssando
esplicitamente una semisfera:
Gruppo 4: Il centro è uno dei due punti antipodali, mentre il raggio, se
consideriamo una semisfera, è un segmento che parte dal punto antipodale
che fa da centro a un punto qualsiasi sulla circonferenza massima data.
Il gruppo 1 ha detto:
Gruppo 1: Il centro è un punto antipodale della semisfera individuata dalla
retta.
Il raggio è un quarto di circonferenza massima perpendicolare alla
retta
evidenziando, come il gruppo 4, la necessità di scegliere un unico centro
e un unico raggio tra i due presenti.
95
La risposta del gruppo 3 non ha chiaramente evidenziato il fatto che
esistano, almeno potenzialmente, due centri e due raggi:
Gruppo 3: Il centro è il punto antipodale e il raggio è un quarto della
circonferenza massima.
La seconda domanda si collega alla prima, cercando di generalizzare al
caso di una circonferenza qualsiasi:
Tracciate una qualsiasi circonferenza sulla sfera, quali osservazioni potete
fare riguardo all'individuazione di centro e raggio? .
L'unico gruppo a fornire una risposta chiara e completa è stato il 2:
Gruppo 2: Ogni circonferenza può essere individuata da due centri antipodali con raggio di diversa lunghezza, a meno che non sia un cerchio
massimo.
E ha poi precisato Francesco, il portavoce, al momento della condivisione:
Francesco: Questi raggi sono due. Cioè, a seconda del polo che scelgo ho
un raggio diverso a meno che non sia un cerchio massimo.
Il gruppo 4 ha osservato che il centro è un punto antipodale, ma senza specicare con chiarezza che anche in questo caso esistono due centri e due raggi.
Tuttavia, questa precisazione poteva essere sottintesa per i componenti del
gruppo.
Gruppo 4: Tutti i punti della circonferenza distano allo stesso modo da un
punto qualunque che è il suo centro. Il centro è sempre un punto antipodale.
I ragazzi tendono evidentemente ad utilizzare il termine qualunque in
modo improprio. In queste risposte si nota come essi abbiano, in alcuni casi,
associato all'arbitrarietà della circonferenza quella del suo centro.
Invece,
ssata arbitrariamente una circonferenza i suoi due centri non costituiscono
più punti qualsiasi, ma risultano ben determinati.
Altre volte il termine
qualunque, in questo contesto, è stato usato per sottintendere uno qualunque
tra i due poli. La stessa questione è emersa dalla risposta del gruppo 1:
Gruppo 1: Il raggio, considerato il centro come punto antipodale
qualsiasi ,
è l'arco di cerchio massimo che passa per il centro e interseca la circonferenza.
La risposta del gruppo 3 ha identicato il centro tautologicamente, ripetendone la denizione, e ha fatto confusione sull'individuazione del raggio:
96
Gruppo 3: Il centro è il punto che ha uguale distanza da tutti i punti della
circonferenza e il raggio equivale a
1/4
della circonferenza.
Nella terza domanda si chiede di determinare l'intervallo di valori entro il
quale può variare la misura del raggio di una circonferenza e le caratteristiche
delle circonferenze corrispondenti ai valori limite.
Il gruppo 2 ha scritto semplicemente:
Gruppo 2:
0<r<
semicirconferenza massima.
Gli altri tre gruppi, invece, hanno aermato che il raggio può essere al
massimo un quarto di circonferenza. Per chi di loro era consapevole dell'esistenza dei due centri e i due raggi, questo è apparso comunque coerente con
la necessità, da loro manifestata, di ssare una semisfera e ragionare su di
essa. Per chi, invece, non si era accorto di questa possibilità, è una conferma
della scorretta comprensione della denizione, che non li ha portati a ritenere
circonferenze quelle con raggio maggiore di metà semiretta sferica. Vediamo
le loro risposte:
Gruppo 1: Max:
mo. Min
1/4
di circonferenza massima
=
raggio del cerchio massi-
> 0.
Gruppo 3: L'intervallo del raggio è compreso tra
e 1/4 della circonferenza
si ha una
massima. Con il massimo si ha la circonferenza massima, con
circonferenza innitamente piccola.
Nell'ultima risposta del gruppo 4 vediamo ancora una volta l'utilizzo dei
gradi per misurare segmenti sulla sfera:
Gruppo 4: Max
→90°
= circonferenza massima. Min
→0 =punto =centro
della circonferenza.
In conclusione, non è parso evidente a tutti i ragazzi che data una circonferenza massima essa presenta due centri, tra loro antipodali, e due raggi
uguali e, quand'anche si siano resi conto che i centri e i raggi sono due, hanno manifestato l'esigenza di ssare una delle due situazioni per poter dare
senso alla denizione di circonferenza. Solamente il gruppo 2 ha aermato
esplicitamente che ogni circonferenza possiede due centri e due raggi.
Pochissimi sono riusciti a estendere, con ragionamenti pertinenti, le conclusioni raggiunte riguardo l'individuzione di centro e raggio della circonferenza massima, ad una circonferenza qualsiasi, ritenendo che il raggio della
circonferenza fosse, tra i due possibili, solamente il minore.
97
3.4.3
La discussione sulla
scheda
6
Si dà inizio alla discussione osservando che eettivamente la retta risulta
essere una circonferenza sferica, che presenta due centri, tra loro antipodali
e due raggi uguali, pari ad un quarto di circonferenza massima.
Interviene Diletta:
Diletta: Però bisogna individuarne una delle due, e allora ne ha uno, di
centro.
Qualche componente del gruppo 4 fa allora notare che nella loro risposta c'è
esplicitamente scritto che, per ssare un centro e un raggio, si deve scegliere
una specica semisfera.
Francesca, del gruppo 3, che aveva risposto che il centro è il punto antipodale, non esplicitando chiaramente la possibilità di avere due diversi centri e
lasciando il dubbio che il concetto non fosse chiaro, aerma ora:
Francesca: Allora ne ho due, ma posso scegliere sia l'uno che l'altro.
La professoressa chiede allora se si possa o meno ragionare allo stesso modo
con una circonferenza qualsiasi.
Tommaso riprende la risposta data dal proprio gruppo, cioè che ogni circonferenza può essere individuata da due centri antipodali con raggi diversi se
non è un cerchio massimo, e ribadisce:
Tommaso: Anche in questo caso i raggi sono due e sono diversi a meno
che non sia un cerchio massimo.
I ragazzi sembrano ora convinti del fatto che eettivamente ogni circonferenza tracciata sulla sfera, possa avere due centri e due raggi, ma qualcuno
aerma di non aver pensato a quella con raggio maggiore perchè tratto in
inganno dal disegno tramite il compasso, che ha massima apertura di 90°.
Ci si aspetta, ora, che le idee sulle limitazioni del raggio siano più chiare.
L'insegnante chiede quale sia la limitazione inferiore per il raggio di una
circonferenza. Tutti hanno identicato questo valore con lo zero e si trovano
pertanto d'accordo sulla risposta, ma solo due gruppi hanno detto che possa
esistere eettivamente una circonferenza di raggio nullo.
Alessia, del gruppo 1, che aveva scritto come limite superiore un quarto di
circonferenza, inizia a ragionare su entrambe le limitazioni:
Alessia: Il valore del raggio è compreso tra zero e la semicirconferenza
massima!
98
Michele: Quindi se un raggio si avvicina a zero, l'altro si avvicina alla
semicirconferenza, perchè l'altro centro è l'antipodo.
Diletta:
Beh, possiamo dire che la somma dei due raggi è sempre la
semicirconferenza...
Alessia: Ma i due valori estremi sono compresi o esclusi?
Io: Cerchiamo di capirlo insieme. Cosa succede quando li comprendiamo?
Alessia: Abbiamo delle circonferenze degeneri
Francesco: Da una parte un punto, dall'altra tutta la sfera.
Interviene a questo punto Vincenzo spiegando più precisamente:
Vincenzo: Ma noi abbiamo calcolato le circonferenze, non i cerchi, quindi
non è che ho tutta la sfera. Ho sempre il punto. Solo che i due raggi sono
uno zero e l'altro tutta la mezza circonferenza massima.
Francesco: Hai ragione!
Propongo di rileggere una volta la denizione di circonferenza sferica data,
per vedere se per caso ci possano essere restrizioni per questi due casi.
Io: Vi ricordate nel triangolo? In base alla nostra denizione, i casi, che
voi chiamate degeneri, non erano proprio ammessi, perchè le semirette del
triedro dovevano essere non complanari. Qui cosa succede?
In molti intervengono cercando di spiegare che, dalla denizione, i due casi particolari non sono esclusi, quindi concludiamo che possono essere annoverati tra le nostre circonferenze che, se vogliamo, possiamo chiamare
circonferenze degeneri.
Veronica, componente del gruppo 4, fa osservare che se si ragiona su una
semisfera non è scorretto dire che la limitazione del raggio è un quarto di
circonferenza massima.
Data questa obiezione, l'insegnante ed io proponiamo di assumere che, quando d'ora in avanti si parlerà di circonferenza, si intenderà sempre quella con
raggio minore di un quarto di circonferenza massima, ma che questa scelta
non era già implicita nella denizione data. Questa puntualizzazione permetterà di identicare con il termine circonferenza un oggetto che ha per tutti
99
lo stesso centro e lo stesso raggio, tenendo però presente che nulla vieterebbe
di scegliere la circonferenza con il raggio più lungo.
Con questa precisazione si conclude la discussione della scheda 6.
3.4.4
La consegna della
scheda
7 e l'esplorazione
Per arontare la richiesta di questa scheda, sono stati distribuiti ai ragazzi alcuni spaghi ed elastici, oltre al solito kit della sfera di Lénárt. Alcuni
gruppi, però, avevano a disposizione spaghi troppo corti, o non riuscivano ad
eettuare con facilità le misurazioni. Dopo un po' di tempo abbiamo recuperato altri elastici e anche i gruppi più in dicoltà hanno potuto controllare
le loro misure e fare altre prove.
In alcuni casi ho aiutato i ragazzi a tenere fermo lo spago sulle linee
disegnate, per far sì che la misurazione fosse più precisa possibile e mi sono
raccomandata con tutti di porre attenzione nel lavoro per ridurre al minimo
errori dovuti al procedimento eettuato.
Per l'esplorazione e la discussione di questa scheda, come per la precedente, si pensava sarebbe bastata mezz'ora di tempo, invece, forse a causa
dei problemi tecnici riscontrati in fase di esplorazione, il lavoro ha richiesto
un'ora di tempo.
3.4.5
Analisi dei protocolli relativi alla
scheda
7
I ragazzi hanno eettuato varie misurazioni di raggi e circonferenze allo scopo
di valutare il rapporto
circonf erenza
, completando la tabella proposta con tre
2raggio
o quattro prove.
Tutti i ragazzi hanno alternato misure di circonferenze molto piccole
(3
− 4 cm)
ad altre di circonferenze più grandi (13
− 14 cm).
Analizziamo le risposte alla domanda:
Cosa osservate dalla tabella, pensando alla analoga situazione nel piano?
Tre gruppi su quattro si sono trovati concordi nel ritenere che questo
rapporto non sia costante. Solamente il gruppo 4 si è trovato in disaccordo.
Ecco nel dettaglio le risposte degli studenti.
Gruppo 1: Più è grande la circonferenza, minore è il rapporto tra questa e il
diametro, contrariamente alla situazione analoga sul piano, in cui il rapporto
è costante ed è uguale a
π.
Il gruppo 2 non ha scritto le conclusioni sulla scheda, per motivi di tempo,
ma ha riferito a voce la propria idea:
100
Gruppo 2: Maggiore è la circonferenza minore è il rapporto. Sulla sfera
non esiste pi greco.
Il gruppo 3 ha precisato che è ancora vero che il doppio del raggio è uguale
al diametro e si è ritrovato d'accordo sul fatto che il rapporto in questione
non si mantiene costante.
Gruppo 3: Sembra che, come nel piano,
tra circonferenza e
r
2raggio = diametro.
Il rapporto
diminuisce all'aumentare della circonferenza.
Sulla scheda di lavoro questo gruppo ha scritto, imprecisamente, che il
rapporto considerato è
circonf erenza
, ma in fase di condivisione dei risultati
raggio
ha considerato l'espressione corretta. Si è quindi trattato esclusivamente di
un errore di scrittura.
Il gruppo 4, come già osservato, è stato l'unico a non riconoscere la non
costanza del rapporto, nonostante le misure dei raggi scelti fossero analoghe
a quelle fatte dai compagni. A parità di raggio, però, i valori delle lunghezze
delle corrispondenti circonferenze erano molto diverse da quelle degli altri
gruppi.
Questo mi ha fatto pensare a qualche dicoltà nella misurazione
delle linee tramite lo spago.
Eettivamente dai valori riportati nella loro
tabella, quel rapporto risultava sempre
2.8
a meno di approssimare i cente-
simi, per eccesso o difetto. Il fatto che non venisse sempre precisamente
2.8
è stato imputato dai ragazzi del gruppo 4 alla scarsa precisione delle misure
eseguite.
Non è apparso completamente chiaro il motivo del loro errore. Viene da
supporre che sia stata commessa qualche imprecisione sostanziale durante la
fase di disegno sulla sfera o di rilevazione delle misure.
Gruppo 4: Qualunque sia il raggio della circonferenza e la misura di quest'ultima, il rapporto è lo stesso ('
3.4.6
La discussione sulla
2.8).
scheda
7
Chiediamo ai ragazzi se hanno qualche osservazione o precisazione da proporre in merito alle loro risposte.
Prende la parola Vincenzo, del gruppo 2:
Vincenzo: Noi ci aspettavamo che il rapporto venisse sempre 2, invece
dalle misurazioni ci siamo accorti che non è così: maggiore è la circonferenza,
minore è il rapporto.
101
Francesco: E cosa vuol dire quello del gruppo 4?
Il gruppo 4 è quello che ha aermato che il rapporto rimane costantemente
uguale a
2.8.
Gli risponde Giorgio:
Giorgio: Che è costante!
Michela, del gruppo 1: Noi abbiamo trovato anche
2.2,
quindi... Mi viene
da chiedere se ci sarà un massimo e un minimo.
Francesco: Allora, sul piano vale
π ...
Anna: Mentre qui è sempre meno di
π .
Diletta: Secondo me c'è il valore minimo di 2.
Prende a questo punto la parola Tommaso, aermando di aver chiara la
situazione e cercando il silenzio e l'attenzione della classe:
Tommaso: Ho scoperto come funziona: più la circonferenza è piccola, più
si avvicina al piano (come angolazione, deformazione...), quindi il valore si
avvicinerà sempre più a pi greco. Più la circonferenza è larga più si allontana
da pi greco e arriva a
2,
perchè considero il rapporto tra la circonferenza
massima e il suo raggio, che è un quarto di se stessa.
Vincenzo: Però, se consideriamo il caso di una circonferenza con centro
quello più distante, il rapporto è anche minore di
2!
Francesco: Bravo! Hai ragione!
Insegnante: Pensate, però... Archimede è arrivato a questo numero,
π,
facendo i suoi conti sulla terra, che è sferica...
Tommaso: ...e non esiste
π , invece c'è riuscito perchè rispetto alla sfericità
della terra, la piccola porzione, possiamo dire, di pavimento, su cui faceva
le misure, tende al piano.
Eugenio: Quindi lui si avvicinava a quel valore. Ecco perchè secondo me
pi greco non è un valore denito, ha innite cifre dopo la virgola.
Insegnante: E', come si dice, un numero irrazionale.
Con queste considerazioni, lasciate nei termini intuitivi emersi, termina il
tempo a nostra disposizione e poniamo così ne alla discussione. Nella scheda
successiva sarà più chiaro da cosa dipende la variabilità di tale rapporto.
102
3.4.7
La consegna della
scheda
8 e l'esplorazione
Questa scheda costituisce una dimostrazione guidata della non costanza del
rapporto
circonf erenza
, che porta ad evidenziare da cosa dipenda tale variabi2raggio
lità. L'impostazione è un po' diversa rispetto alle altre schede di lavoro, più
teorica e meno operativa. Questo ha inizialmente creato qualche perplessità
in alcuni ragazzi, ma è stato detto loro di arontare la dimostrazione passo
passo, concentrandosi di volta in volta sulle richieste nell'ordine in cui sono
state loro presentate.
Il tempo previsto per la scheda 8 era di un'ora, da suddividere tra
esplorazione, condivisione di risultati e discussione. I ragazzi hanno però incontrato un po' di dicoltà ad arontare quanto richiesto nei tempi previsti,
così la discussione è stata rimandata all'ora successiva.
3.4.8
Analisi dei protocolli relativi alla
scheda
La prima domanda chiede di giusticare perchè i punti
Q
ed
8
R
si proiettino
∆
nello stesso punto
H
di
CC 0 , e suggerisce di considerare i due triangoli C RC 0
∆
e
C QC 0 .
Riporto qui di seguito la seconda delle due gure della scheda, in
cui sono segnati sia i punti
R
e
Q
che l'angolo
Vediamo le risposte dei vari gruppi:
103
θ.
∆
∆
C RC 0 e C QC 0 , essi risultano conRC = CQ, RC 0 = C 0 Q, CC 0 in comune. Con-
Gruppo 1: Confrontando i triangoli
gruenti per il terzo criterio:
∆
∆
0
0
sidero i triangoli C RH e C QH : data la precedente congruenza RC 0 = C 0 Q,
c0 H = QC
c0 H : congruenti. Quindi RH = HQ
C 0 H in comune e gli angoli RC
⇒ H:
proiezione ortogonale dei centri
C
e
C0
sul piano e quindi è centro
della circonferenza piana.
Oltre a non motivare la congruenza dei lati
RC = CQ, RC 0 = C 0 Q,
il gruppo 1 non si è accorto che, una volta dimostrata la congruenza dei
∆
C RC 0
triangoli
∆
C QC 0 , si può immediatamente concludere che le due altezze
CC 0 si incontrano in uno stesso punto. I componenti del
e
relative al lato
∆
gruppo 1 hanno invece voluto dimostrare la congruenza dei triangoli
C 0 RH
∆
C 0 QH ,
e
ma per concludere che
H
è proiezione sia di
R
che di
Q
su
CC 0
∆
avrebbero dovuto considerare il triangolo
C 0 RH
retto in
H
(o analogamente
∆
ipotizzare
C 0 QH
H)
retto in
e, dimostrando che esso risulta congruente a
∆
C 0 QH
∆
C 0 RH ) per il primo criterio, avrebbero
essere proiezione anche di Q (di R).
(o, nel caso dell'altra scelta, a
potuto concludere che
H
risulta
CRC 0
Gruppo 2: Poichè
e
CQC 0
tezza si proietta nello stesso punto.
congruenti in quanto
ne
HR = HQ
90°entrambi
CHR
e
CHQ
sono triangoli congruenti e quindi l'alCC 0 è in comune e gli altri lati sono
sono congruenti perchè
CH
è in comu-
perchè raggi della circonferenza piana e hanno un angolo di
compreso tra i lati congruenti, quindi
CR = CQ.
La giusticazione del gruppo 2 è piuttosto imprecisa. Essi hanno fatto
∆
∆
C HR e C HQ, dando
per scontato che la circonferenza Γ fosse anche piana e che HR e HQ fossero
ricorso alla dimostrazione della congruenza dei triangoli
uguali al raggio di tale circonferenza, cioè la tesi.
Dall'analisi a posteriori delle schede di lavoro e dei protocolli si è pensato
che il fatto di aver già riportato sulla gura il punto
e
QH ,
∆
C 0 RH
H
e i due raggi piani
∆
e
C 0 QH
∆
o
C RH
∆
e
Gruppo 3: I raggi sferici
C QH
e a trarre conclusioni non appropriate.
CQ = CR,
quindi anche le corde
CQ = CR
4
appartiene
; per
4
C QC 0 ;
C 0 Q = C 0 R ; CC 0 è lato in comune, quindi C RC 0 =
0
alla retta CC ed è proiezione di C . Essendo H proiezione
lo stesso motivo
H
RH
potrebbe aver confuso i ragazzi spingendoli a considerare i triangoli
104
del
centro
C,
anche
circonferenza
Γr
Q
ed
R
C
seguono la proiezione di
in quanto punti della
.
La prima parte è corretta e presenta l'argomentazione più completa per
∆
la congruenza dei triangoli
∆
C RC 0
e
C QC 0 .
La seconda parte risulta invece
di dicile interpretazione.
CQC 0
0
congruenti): CC
Gruppo 4: I triangoli
(hanno infatti tre lati
CRC 0
e
sono congruenti per il terzo criterio
0
0
in comune, CR = CQ e C R = C Q
perchè raggi.
In questa risposta, a contrario di quella del gruppo 3, non è stato precisato che
CR, CQ, C 0 R
e
C 0Q
sono le corde sottese ai raggi sferici e non i
raggi stessi e dunque la loro congruenza discende direttamente da quella dei
corrispondenti archi.
Globalmente i ragazzi hanno capito che bastava mostrare che i tre lati
erano congruenti, anche se alcuni di loro non lo hanno proposto in modo
adeguato.
A questo punto la scheda fa osservare che, poichè ogni punto di
ietta in
H
e ha uguale distanza da
H,
si può concludere che
ferenza anche sul piano perpendicolare a
CC 0
in
H,
Γ
Γ
si pro-
è una circon-
cioè è una circonferenza
euclidea.
La seconda domanda chiede di esprimere i raggi della circonferenza sferica
b = θ. Il raggio r
C OQ
della circonferenza sferica sarebbe dovuto essere espresso come θ·OQ e quello
euclideo QH = OQ sin θ .
e della circonferenza euclidea in funzione dell'angolo
Il gruppo 2 ha scritto entrambe le relazioni in maniera corretta ed ha
pertanto valutato correttamente il rapporto tra
Γ
e il suo diametro, pari a
π sin θ
θ .
Il gruppo 3 ha scritto:
Gruppo 3:
r=
θΓ
2π e
QH = QO sin θ.
La prima relazione è corretta se si considera come
Γ la circonferenza mas-
sima. Sebbene non sia emerso chiaramente cosa intendessero i componenti
del gruppo 3 per
Γ,
ho potuto osservare, dall'analisi dei protocolli di questa
scheda, che i ragazzi avevano disegnato una circonferenza massima prolungando l'arco
r,
la proporzione:
quindi è plausibile che intendessero eettivamente impostare
θ : 2π = r : Γmax ,
dove ho indicato la circonferenza massima
105
con
Γmax ,
per chiarezza. Questa congettura è stata poi confermata in fase
di discussione da una componente del gruppo 3.
Questo gruppo, però, non ha nito di compilare la scheda di lavoro non
calcolando il rapporto tra circonferenza e diametro.
Il gruppo 4 ha sbagliato a esprimere il raggio
infatti ha scritto
r = θ,
r della circonferenza sferica,
espressione valida solamente nel caso in cui la sfera
sia di raggio unitario e ha espresso il rapporto in questo modo:
2πr
2r
= π , non
comprendendo che i raggi a numeratore e denominatore non sono gli stessi.
Il gruppo 2, per distinguere i due raggi, li ha indicati, sul disegno, in maniera
diversa:
r
il raggio euclideo,
r∗
quello sferico. In questo modo, anche in fase
di discussione, si è evitato di fare confusione tra le due grandezze.
Il gruppo 1 ha sbagliato a scrivere la prima relazione:
Gruppo 1:
r = OC sin θ
e
QH = OQ sin θ.
L'errore ha avuto come conseguenza che nel determinare il rapporto tra
la circonferenza massima
circonferenza
Γ
Γmax , espressa come
π
, si ottenesse come valore
θ.
2π·r
θ , e il diametro sferico della
All'ultima domanda hanno risposto solo due gruppi, per motivi di tempo.
Si chiedeva se il risultato ottenuto fosse in accordo con i risultati nu-
merici della precedente scheda e di motivare la loro risposta. Il gruppo 4,
coerentemente all'errore commesso al punto precedente, ha proposto come
conclusione la costanza del rapporto tra circonferenza e diametro.
Gruppo 4: No perchè nella scheda 6 il rapporto (anche se a noi era venuto
costante) non è costante, mentre ora il rapporto è costante:
π.
Solo il gruppo 2, invece, ha espresso un'osservazione appropriata:
Gruppo 2: Sì perchè se
θ=
π Γ
2 , 2r
= 2,
come precedentemente ottenuto.
Dunque il gruppo 2 è l'unico ad aver presentato un'argomentazione pertinente pur non avendo approfondito adeguatamente il problema.
Non è
apparso chiaro se anche a questi ragazzi sarebbe servito più tempo oppure
se essi abbiano ritenuto le osservazioni proposte esaustive.
3.4.9
La discussione sulla
scheda
8
Condurre la discussione su questa scheda di lavoro non è stato aatto facile. La scheda è lunga e complessa e raramente i ragazzi avevano trovato
l'unanimità nelle risposte.
106
Alla prima domanda tutti hanno risposto che i triangoli sono uguali per il
terzo criterio di congruenza.
Nonostante i ragionamenti proposti non sia-
no stati completamente pertinenti decidiamo di proseguire mostrando loro
che l'uguaglianza dei due lati
RC
RC 0 con QC
e
e
QC 0
segue direttamente
dall'uguaglianza dei corrispondenti raggi sferici.
Allora proponiamo di discutere su come si potevano esprimere i raggi
QH
in funzione di
r
e
θ.
Prende subito la parola Tommaso, del gruppo 2:
Tommaso: Bastava impostare una proporzione. Tutta la circonferenza sta
a
360°,
che è il suo angolo, come
r∗,
l'archetto che volevamo, sta a
0
porzione di una circonferenza che passa per C , C e
θ. r∗
è
Q.
Vincenzo: r∗ è un raggio per la circonferenza sferica, un pezzo di circonferenza per la retta che lo individua.
Interviene Francesca del gruppo 3:
Francesca: Anche noi avevamo ragionato così.
Insegnante: Sì, solo non avete esplicitato
Γ.
Veronica del gruppo 4: Sì, è chiaro come hanno fatto, solo che noi ci
eravamo incastrati nel calcolo di
r.
L'insegnante a questo punto interviene per far riettere gli alunni sul valore
del rapporto tra circonferenza e diametro.
Insegnante: Quindi, questo rapporto, quanto viene?
θ
Tommaso: π sin
θ . Varia sempre! Poi quella più grande veniva 2, che è
quello che ci aspettavamo.
Vincenzo: E poi è sempre minore di
minore di
π,
π,
perchè il numeratore è sempre
il denominatore è sempre positivo, quindi tutto è minore di
π.
Chiediamo alla classe se è d'accordo con questo ragionamento e la maggior
parte annuisce.
La professoressa intende precisare quanto emerso e allora
chiede:
Insegnante: e se
θ
fosse
0.5
radianti?
107
Francesco: Eh allora mi sa che è sbagliato quello che ha detto Vincenzo.
θ
Insegnante: Proviamo a pensare a come dimostrare che sin
θ
punto il rapporto che ci interessa sarà minore di
< 1.
A questo
θ.
Disegnamo allora alla lavagna una circonferenza goniometrica e chiediamo
di individuare geometricamente
sin θ.
Tutti i ragazzi sono concordi nell'indicare
AC
come il seno dell'angolo
θ.
Francesco: Anche qui si farà una proporzione, un po' come prima, come
se
r∗
sta a
fosse
CB .
Tutta la circonferenza sta a tutto l'angolo dentro come
r∗
θ.
Io: Proviamo a esplicitare bene questa proporzione.
I ragazzi mi dettano la proporzione in questo modo:
2π · 1 : 2π = r∗ : θ,
avendo precisato che il raggio della circonferenza è pari a 1.
Io: Quindi, nel caso della circonferenza goniometrica, avete visto che potete
identicare questo arco con
θ.
Ora vogliamo legare, invece, il seno di
tenendo presente quanto abbiamo scoperto, ovvero che l'arco
BC
θ
e
θ,
ha la stessa
misura dell'angolo.
Insegnante: Quindi, invece di confrontare l'angolo con questo segmento
che non sappiamo bene come fare, confrontiamo il segmento con l'arco che
ha la stessa misura dell angolo.
108
Francesco: L'arco è maggiore del segmento quindi
sin θ < θ.
Vincenzo: Quindi abbiamo un rapporto con una grandezza maggiore al
numeratore di quella che c'è al denominatore!.
L'insegnante quindi sottolinea un'ultima volta che il rapporto che consideravamo,
π sin θ
θ , risulta essere minore di
π,
poichè
sin θ
θ
< 1.
Compiliamo il cartellone con le ultime osservazioni e invitiamo i ragazzi a
scrivere la versione corretta sul loro quaderno.
3.4.10
Osservazioni conclusive al quarto gruppo di schede
Per i ragazzi, e anche per noi, non è stato semplicissimo arontare e discutere
questo insieme di schede. Il fatto che una circonferenza possa avere due centri
e due raggi è una realtà molto diversa da quella euclidea a cui sono abituati
e per questo hanno manifestato da subito la necessità di scegliere uno dei
due centri e un raggio per poter interpretare in modo univoco la denizione
di circonferenza. Il raggio che prediligevano era quello, tra i due possibili, di
lunghezza minore, ma la scelta non è stata da tutti fatta consapevolmente.
Qualcuno non si è accorto che, anche considerando il raggio più lungo e
quindi l'altro centro, la denizione di circonferenza è ancora rispettata.
Arontare la dimostrazione, poi, è risultato abbastanza impegnativo da
parte degli alunni che non sono abituati a confrontarsi autonomamente con
piccole dimostrazioni. Solamente un gruppo è arrivato a scrivere il rapporto
tra circonferenza e diametro in maniera corretta e a proporre ragionamenti
appropriati.
Anche una semplice dimostrazione come quella che utilizzava i criteri di
congruenza ha creato qualche dicoltà: nonostante alcune giuste intuizioni,
le idee non sono state argomentate in maniera del tutto pertinente.
Un gruppo, sebbene fosse emerso dalla scheda 7 che il rapporto in questione non era costante, ma sempre minore di
π , ha risposto all'ultima domanda
π,
senza argomentare aatto questa
dicendo che tale rapporto vale proprio
loro sorprendente scoperta e senza indagare il perchè di questo risultato
contraddittorio.
I ragazzi, in fase di discussione, hanno avuto la possibilità di riettere
sulle loro risposte e seguire e partecipare ai ragionamenti con i compagni ma,
purtroppo, i tempi ristretti non hanno permesso di sviluppare a fondo una
discussione su tutte le problematiche emerse dall'esame dell'ultima scheda.
109
3.5
La
scheda 9
La scheda 9 propone un confronto conclusivo e un ulteriore spunto di riessione per confrontare la geometria sferica con quella euclidea, chiedendo di
elencare le proposizioni esaminate nel corso dell'intera attività e di trovarne
di nuove, mettendo a confronto le due geometrie.
La discussione della scheda 8 ha impiegato anche parte della seconda
ora di Mercoledì 20 Aprile. Di conseguenza per la scheda 9 si è avuto relativamente poco tempo per arontare in maniera completa le varie fasi di
esplorazione, condivisione dei risultati e discussione e per questo motivo non
si è svolta una vera e propria discussione.
Una volta compilate le schede,
si è disegnata alla lavagna una tabella con due colonne, analoga a quella
presente sulla scheda. I portavoce di ogni gruppo hanno letto le proposizioni
individuate e io le ho riportate alla lavagna senza distinguere le risposte in
base al gruppo da cui erano state proposte ma semplicemente creando un
elenco di enunciati, evitando di scrivere più volte enunciati analoghi. Alcune
osservazioni e questioni interessanti sono emerse così a mano a mano che si
citavano le varie proposizioni. Prima di scrivere i vari teoremi proposti ci si
accertava che tutti fossero d'accordo e in caso contrario si lasciava spazio per
un breve confronto.
Per l'esame di questa scheda non riporterò pertanto l'analisi dettagliata
dei protocolli, come fatto per le schede precedenti ma elencherò le varie
proposizioni emerse analizzando e unendo le proposte dei vari gruppi.
3.5.1
La consegna della scheda 9 e l'esplorazione
I ragazzi hanno iniziato a lavorare confrontandosi tra loro e rileggendo gli
appunti sul quadernino. Sul cartellone erano riportate sia le denizioni proposte dalle schede arontate durante tutta l'attività, sia le varie nuove proposizioni trovate.
Questo riferimento attendibile e schematico è stato loro
molto utile per fare il punto della situazione e ragionare più consapevolmente
sulla scheda.
Dal momento che il cartellone riassumeva già tutte le proposizioni incontrate, dopo qualche breve riessione su di esse si è suggerito di concentrare
l'attenzione sull'analisi di situazioni non ancora esplorate ma congetturabili
in base alle conoscenze acquisite, permettendo ai ragazzi di consultare, se
necessario, il testo di geometria.
Durante questa fase esplorativa abbiamo però notato che alcuni alunni
si soermavano ad analizzare teoremi abbastanza complessi trovati sul libro
di testo e mostravano di essere in dicoltà a riformulare tali proposizioni
110
nell'ambito della geometria sferica.
Per questo motivo abbiamo suggerito
loro di non focalizzarsi su enunciati particolarmente complessi ma di analizzare situazioni geometriche semplici, partendo dai concetti basilari di punto,
retta, semiretta, ecc, e ragionando sulle relazioni tra di essi.
Da subito è emersa la questione su come denire la retta sferica in contrapposizione a quella euclidea. I due aggettivi che i ragazzi citavano erano
illimitata e innita, e dimostravano di non sapere esattamente distinguere
i due termini. Non sono stati dati loro suggerimenti in fase esplorativa ma
la questione si è poi riproposta durante la condivisione delle risposte.
Per arontare questa scheda era stata prevista un'ora di tempo, ma in
seguito al ritardo dovuto alla discussione della scheda precedente, i ragazzi
hanno avuto a disposizione circa 30 minuti.
3.5.2
Condivisione e commenti alle varie risposte
Analizziamo nel dettaglio le proposizioni evidenziate dai ragazzi che qui riportiamo nella formulazione che la classe ha condiviso, in base alle proposte
dei ragazzi.
Le prime proposizioni rappresentano una raccolta delle varie
osservazioni e conclusioni emerse durante tutto il lavoro.
Tutti i gruppi hanno messo a confronto le due seguenti proposizioni:
ˆ
Nella geometria della
sfera
per due punti non antipodali passa una e
una sola retta.
ˆ
Nella geometria del
piano
per una coppia di punti esiste ed è unica la
retta passante per essi.
Il gruppo 2 ha in particolare sottolineato che
ˆ
Se i punti sono antipodali si ha l'esistenza di innite rette sferiche
passanti per essi.
Per quanto riguarda osservazioni sulle rette parallele, in fase di condivisione
è stato riportato che:
ˆ
Nella geometria della
sfera
non esistono rette parallele tra loro. La
parallela individuata su un punto esterno ad una retta non è una retta
(circonferenza massima).
111
ˆ
piano
Nella geometria del
data una retta, esistono innite rette pa-
rallele ad essa.
ˆ
Nella geometria della
sfera
data una retta e un punto fuori di essa
non esiste la retta parallela a quella passante per il punto assegnato.
ˆ
Nella geometria del
piano
data una retta e un punto fuori di essa
esiste unica la retta parallela a quella passante per il punto assegnato.
Nonostante non tutti i gruppi abbiano riportato tutte queste proposizioni,
non ci sono stati dubbi quando si è trattato di condividere queste osservazioni.
Sulle rette perpendicolari tutti i gruppi hanno concordato sulla seguente
formulazione:
ˆ
Nella geometria della
sfera
data una retta e un punto fuori di essa
non è sempre garantito il teorema di esistenza e unicità (notare il caso
equatore - polo, in cui sono innite).
ˆ
Nella geometria del
piano
data una retta e un punto fuori di essa
esiste un'unica perpendicolare per il punto alla retta.
Il gruppo 2 ha proposto anche la seguente:
ˆ
Nella geometria della
sfera
l'insieme delle rette perpendicolari alla
stessa retta sono incidenti tra loro.
ˆ
Nella geometria del
piano l'insieme delle rette perpendicolari alla stes-
sa retta sono parallele tra loro.
Altre proposizioni emerse durante le varie attività che sono state raccolte
nell'ultima scheda, sono le seguenti:
ˆ
La somma degli angoli interni di un triangolo
ma varia tra
180°e 540°.
112
sferico
non è costante
piano
ˆ
Sul
ˆ
Un triangolo
la somma degli angoli interni è sempre
sferico
180°.
può avere due o tre angoli retti, e anche due o
tre angoli ottusi.
ˆ
Un triangolo
euclideo
presenta, al massimo, un solo angolo retto o
ottuso.
Una questione piuttosto interessante emersa in più di un gruppo è stata la
seguente:
La retta sferica e quella euclidea sono illimitate? sono innite?
I ragazzi hanno mostrato n da subito un po' di dicoltà nel distinguere i
due termini innito e illimitato. Sul concetto di innità si è raggiunta facilmente una comunione di pensiero. Un po' più complesso è stato arontare
il concetto di illimitatezza.
Durante la preparazione del lavoro con le insegnanti si è scelto di intendere il termine innito nel modo usuale, cioè come composto da inniti punti,
mentre si è arontata più nel dettaglio la questione della illimitatezza.
A questo proposito in letteratura non risulta esserci univocità di pensiero.
Ad esempio sul Volume di Giovanni Prodi Scoprire la Matematica, alla
domanda La retta è illimitata? la risposta che viene data è la seguente:
no: infatti ogni retta coincide con una circonferenza che non ammette
relazioni di ordine in senso proprio; eventualmente, l'ordinamento usuale
può essere sostituito da una particolare relazione che è detta ordinamento
circolare, per il quale è previsto che si possa ritornare al punto di partenza
e il fatto che, percorrendo una retta, si ritorni al punto di partenza, non
permette di estendere a piacimento la retta, come invece è possibile nel caso
delle rette del piano [14, p.218].
Sul testo Le geometrie non euclidee e i fondamenti della geometria di
Evandro Agazzi e Dario Palladino, invece, si legge: La retta si comporta
come una linea chiusa, avente cioè lunghezza nita pur essendo illimitata, nel
senso che si può continuare a percorrerla senza mai arrestarsi [1, p. 226].
Entrambi gli autori, dunque, si collegano all'ordinamento fra punti di una
retta, anche se le loro conclusioni, per i motivi citati, risultano opposte. E'
noto che il concetto di insieme limitato, da un punto di vista topologico, si
può interpretare in modo dierente (in termini di distanza) e questa lettura
sarebbe possibile anche nel nostro caso. Per la nostra esperienza, tuttavia,
113
abbiamo preferito rimanere collegati alla relazione d'ordine tra punti di una
retta della teoria Hilbertiana[4, pp.
coppia di punti
tale che
C
A
e
giace tra
C , c'è
A e B
5-6], secondo cui data una qualsiasi
sempre almeno un punto
B,
sulla retta
AC ,
(assioma II.2) e inoltre di tre punti ce n'è al
massimo uno che sta tra gli altri due ( assioma II.3).
In base ad essa,
dunque, abbiamo scelto di considerare la retta sferica come limitata, perchè
vericante l'assioma II.2 di Hilbert ma non il II.3, mentre la retta euclidea
risulta illimitata perchè verica entrambe le proposizioni.
Durante l'esperienza didattica, come si legge nel seguito, abbiamo cercato
di far immaginare ai ragazzi la retta come illimitata nel caso in cui, scelto
un verso di percorrenza e ssato su di essa un qualsiasi punto, se ne possa
trovare un altro oltre, che non sia stato mai incontrato prima.
Vediamo come si è sviluppata la discussione:
Io: Provate a dare una specie di denizione di una cosa che non ha limite.
Cosa intendete quando dite senza limite?
I ragazzi non rispondono e paiono dubbiosi.
Io: Pensate di camminare su una linea. In che senso questa può essere
illimitata?
Qualcuno suggerisce che per illimitato si possa intendere, che
davanti si vede sempre linea e non vedi la ne.
Francesca: C'è sempre retta!
Io: quindi io sono ferma in un punto, di fronte a me la linea continua, posso
quindi procedere nel cammino. Mi rifermo...
Francesca mi interrompe
Francesca: raggiungi un altro punto!
Valentina: Non ha una ne!
Io: e cosa cambia dalla situazione in cui mi muovo su una retta euclidea
a quella in cui cammino su una retta sferica?
114
Nessuno risponde. Dato che manca ormai poco tempo alla ne dell'ora, dico
loro che quello che cambia da una situazione all'altra è che nel caso della
retta incontro sempre punti nuovi, che non avevo incontrato prima.
Francesca: Sulla circonferenza massima ripasso sempre per gli stessi punti,
mentre sul piano, se percorro la retta, incontro punti sempre nuovi.
Io: E secondo voi, per innito cosa si può intendere? Carolina suggerisce
di ritenere innite sia la retta euclidea che quella sferica perchè costituite
entrambe da inniti punti. Gli altri ragazzi concordano con questa denizione e con la distinzione tra illimitato e innito proposta e condividono
la seguente proposizione:
ˆ
La retta
sferica
ˆ
La retta
euclidea
è limitata e innita.
è illimitata e innita.
Le successive proposizioni emerse durante la presa in esame delle precedenti schede di lavoro, sono state richiamate solamente dal gruppo 2, ma
immediatamente condivise con i compagni:
ˆ
In geometria
sferica
ogni circonferenza ha due centri, tra loro antipo-
dali e due raggi (diversi tra loro se la circonferenza non è un cerchio
massimo).
ˆ
In geometria
ˆ
Sulla
ˆ
Sul
sfera
piano
piana
ogni circonferenza ha un centro e un raggio.
il rapporto tra circonferenza e diametro è
il rapporto tra circonferenza e diametro è
π sin θ
θ .
π.
Il gruppo 4 ha proposto una proposizione non corretta della geometria sferica:
ˆ
Il triangolo
ˆ
Sul
piano
sferico
è equilatero quando ha tre angoli di
il triangolo equilatero ha tre angoli di
115
60°.
90°.
Non appena enunciata questa presunta proprietà dei triangoli equilateri
sferici, è intervenuto Vincenzo aermando:
Vincenzo: No, l'ampiezza degli angoli dei triangoli equilateri è qualsiasi
tra
60°e 180°.
Insegnante: Eettivamente questo l'aveva osservato qualcuno durante l'esplorazione ma poi non è stato riportato alla classe e non lo abbiamo scritto
sui quaderni.
60°, che
180°, cioè
La misura di ogni angolo, al minimo, si avvicina a
corrisponde al caso in cui la somma degli angoli interni è quasi
vicino a quello che succede sul piano, e al massimo è
180°,
valore, anche in
questo caso, mai assunto, che corrisponde ad una somma degli angoli interni
di
540°.
Il gruppo 2 ha richiamato il fatto che sulla sfera esistono gure geometriche con angoli uguali e lati uguali, costituite da due lati, con la seguente
proposizione:
ˆ
Nella geometria della
sfera
il poligono con il minimo numero di lati è
il biangolo.
ˆ
piano
Nella geometria del
il poligono con il minimo numero di lati è
il triangolo.
Il gruppo 2 ha proposto anche le seguenti proposizioni:
ˆ
Nella geometria della
sfera
un punto non divide una retta in due
semirette.
ˆ
ˆ
Nella geometria del
piano
Nella geometria della
un punto divide una retta in due semirette.
sfera
due punti dividono una retta in due li-
nee, una delle quali è un segmento. Se i punti sono antipodali, in due
semirette.
ˆ
Nella geometria del
piano
due punti dividono una retta in due semi-
rette e un segmento.
116
Il gruppo 1 ha sollevato il seguente problema: sulla sfera esistono i quadrati,
i parallelogrammi, i rettangoli o i trapezi?
I ragazzi hanno enunciato la seguente proposizione:
ˆ
Non si possono costruire parallelogrammi sulla
ˆ
Nella geometria del
piano
supercie sferica .
esistono parallelogrammi o gure con lati
paralleli.
Subito componenti di altri gruppi si sono dimostrati a favore di questa tesi sostenendo che sulla sfera non possano esistere nemmeno gure come il
quadrato, il rettangolo o il trapezio, avendo esse lati paralleli e non essendo
questi ammessi nella geometria della sfera.
Di fatto, la possibilità di ammettere o meno queste gure, dipende dalla
denizione che si considera. Pensiamo, ad esempio, al quadrato: certamente
non può esistere sulla sfera una gura geometrica denita come poligono
con i lati paralleli e uguali tra loro. Ma se lo deniamo come il poligono con
quattro lati uguali e quattro angoli uguali, allora anche sulla sfera potremmo
ammettere i quadrati.
Questo ragionamento emergerà più chiaramente
nella fase di approfondimento [vd. capitolo successivo] in cui si aronterà il
tema della le tassellazione della sfera.
3.5.3
Osservazioni conclusive alla
scheda
9
La scheda 9 ha rappresentato la naturale conclusione di questo percorso. I
ragazzi hanno ripensato alle varie proposizioni emerse durante il lavoro e
hanno potuto confrontare ancora una volta la geometria piana con quella
della sfera.
Non tutti sono riusciti a proporre nuovi enunciati. Il tempo a disposizione era ormai poco e per questo abbiamo deciso comunque di raccogliere i
risultati.
I ragazzi si mostravano sempre piuttosto concordi nel condividere le proposizioni emerse dimostrando di aver compreso molte delle caratteristiche
della nuova geometria. In particolare, chi ha proposto nuove proposizioni,
ha dimostrato di possedere meglio i concetti e di riuscire a ragionare su di
essi in maniera autonoma.
117
3.6
La valutazione dell'attività da parte degli studenti
Al termine dell'intera attività, in tutte e quattro le classi coinvolte nel progetto è stato proposto a ciascun alunno di compilare un questionario anonimo,
suddiviso in gruppi di domande, prevalentemente a risposta chiusa.
Dopo aver inserito il nome della scuola, la classe e il genere (maschile o
femminile), è stato chiesto ai ragazzi di riferire se la percentuale di lezioni
seguita sia stata maggiore o minore del 50%. Tutti gli alunni hanno risposto
scegliendo la casella che riportava >
50%.
Riporto, nel seguito, i resoconti dei questionari, prima per quanto riguarda la 2 B del liceo classico U. Foscolo, in cui ho direttamente seguito il
progetto, e poi i risultati emersi raccogliendo tutti i pareri degli alunni che
hanno partecipato a questa attività.
Nella seguente tabella sono riassunte le risposte date dai 17 ragazzi del
Foscolo al primo gruppo di domande:
118
Per ogni frase, poni una crocetta sulla colonna che meglio corrisponde
alla tua opinione sull'attività svolta:
decisa-
Più
Più SI
decisa-
mente
NO
che
mente
NO
che SI
NO
SI
4
13
5
7
5
5
4
7
1
6
10
5
12
4
13
2
9
6
10
2
1
1
16
Gli argomenti dell'attività
svolta sono stati interessanti?
L'attività è stata impegnativa?
La tua preparazione scolastica era suciente per seguire
l'attività?
I locali e l'attrezzatura a
disposizione erano adeguati?
I materiali scritti (schede
o dispense) utilizzati per le
attività erano chiari?
I docenti sono stati chiari?
Le attività svolte sono state
utili per capire meglio cos'è la
matematica?
Le attività svolte ti saranno
utili nella scelta dei tuoi studi
futuri?
4
Valeva la pena di partecipare
all'attività?
119
Le risposte a queste domande sono state nel complesso piuttosto positive. I ragazzi hanno evidenziato di essere stati soddisfatti per come è stato
condotto il lavoro e di ritenere di aver capito meglio cosa sia la matematica.
L'attività è stata evidentemente molto apprezzata:
13 ragazzi su 17
hanno denito gli argomenti trattati decisamente interessanti, e gli altri
4 hanno risposto più SI che NO, alla prima domanda.
Alla richiesta
Le attività svolte ti saranno utili nella scelta dei tuoi studi futuri? ,
però, la maggioranza ha risposto di no.
è un buon risultato.
Questo, apparentemente, non
Uno degli obiettivi dei laboratori del Piano Lauree
Scientiche è infatti proprio quello dell'orientamento universitario. In fase
di lettura dei questionari, però, ci siamo domandati se eettivamente la
questione fosse stata posta nel modo migliore e se fosse stata eettivamente
compresa nel signicato che le si voleva attribuire. Ovvero: il nostro intento
era di indagare se in qualche modo un'attività di questo tipo avrebbe potuto
far comprendere meglio al ragazzo le proprie attitudini, il ché signica anche
che, a ne lavoro, qualcuno si sarebbe potuto rendere conto di non avere
alcuna inclinazione per questa disciplina e in questo caso l'attività sarebbe
comunque stata utile per la futura scelta universitaria, facendo orientare il
ragazzo su altri ambiti.
A mio parere, eettivamente, un unico laboratorio di questo tipo potrebbe non essere suciente a far chiarezza, negli alunni, sulle loro passioni e
propensioni o a farli sbilanciare ad aermare di essersi fatti un'idea sulla
futura scelta universitaria. Anche in persone che hanno particolarmente apprezzato l'attività e sono rimasti incuriositi dal tipo di approccio e visione
della matematica proposti, c'è stata una certa cautela nell'aermare di aver
ricevuto forti inuenze per i propri studi futuri dal lavoro arontato.
Al-
la luce di questa riessione, può in parte essere spiegata la maggioranza di
risposte più NO che SI riportate sulla scheda.
Siamo stati molto soddisfatti del fatto che 16 ragazzi su 17 abbiano
risposto decisamente sì, e 1 più SI che NO alla domanda
Valeva la pena di partecipare a questa attività?,
sintomo del fatto che il lavoro è stato percepito come un'occasione di
arricchimento personale.
Vediamo come i ragazzi hanno risposto alle domande sul tipo di attività
svolte.
120
per
NELLE ATTIVITA' SI
SONO SVOLTE
nulla
Spiegazioni teoriche da parte dei docenti
Dimostrazioni sperimentali e pratiche
da parte dei docenti
2
a volte
molto
12
5
13
2
Lavori individuali e di gruppo da parte
degli studenti
17
Attività sperimentali e pratiche da
parte degli studenti
17
Tutti si sono dimostrati d'accordo sul fatto che durante le esperienze
svolte si sia lasciato molto spazio a lavori individuali e di gruppo e ad attività
sperimentali e pratiche da parte degli studenti.
Analizzando le risposte è emersa una signicativa diversa percezione del
fatto che si siano svolte o meno dimostrazioni sperimentali e pratiche da
parte dei docenti.
2 ragazzi hanno risposto per nulla, 13 a volte e 2
molto. Questa richiesta potrebbe essere stata interpretata in modi diversi. Ad esempio qualcuno potrebbe aver voluto sottolineare il fatto che non
siano state eettivamente proposte delle dimostrazioni vere e proprie, alla
lavagna, mentre qualcun altro potrebbe aver riconosciuto come dimostrazioni sperimentali da parte dei docenti gli interventi riassuntivi da parte mia e
dell'insegnante.
Ecco, di seguito, l'ultimo gruppo di domande.
121
Vorresti
che
nell'insegnamento
della
matematica si desse maggiore attenzione
indicare con una crocetta
non più di 3 opzioni
17
All'aspetto sperimentale e pratico
All'aspetto formale
1
All'inquadramento storico
2
3
Alle ricerche fondamentali più recenti
Alle relazioni con altre discipline ed alle
applicazioni tecnologiche
9
10
Alle implicazioni nella vita quotidiana
1
Altro (specicare)
Ti interessi di matematica anche al di
ori di quello che studi a scuola?
Sì: 6
No: 11
Tutti gli alunni sono stati concordi nel sottolineare l'esigenza che nella
matematica presentata loro in classe si debba conferire maggior attenzione e
rilevanza all'aspetto sperimentale e pratico. Pochissimi hanno scelto le voci
inquadramento storico e ricerche fondamentali più recenti, rispettivamente 2 e 3 persone. 9 ragazzi hanno dimostrato di essere interessati alle relazioni
con altre discipline, applicazioni e tecnologie e in 10 hanno aermato di volere
una matematica più legata alle implicazioni nella vita quotidiana. La necessità di una maggior attenzione all'aspetto formale, caratteristica intrinseca
della disciplina matematica, spesso non adeguatamente messa in evidenza in
classe, è stata sottolineata solo da una persona. Chi ha scelto anche la voce
altro, non ha poi specicato il proprio pensiero.
122
Inne, 6 alunni su 17 hanno aermato di interessarsi di matematica anche
fuori dall'ambito scolastico.
In coda al questionario sono state poste alcune righe su cui i ragazzi avrebbero potuto annotare eventuali consigli, osservazioni, elogi o rimostranze particolari. Della classe 2B del liceo classico U. Foscolo, soltanto una
persona ha scritto il parere seguente:
ˆ
Attività interessante! complimenti!!!.
Per completezza riporto di seguito anche i resoconti complessivi dei questionari di valutazione, ovvero i pareri della totalità degli alunni che hanno preso
parte alla sperimentazione nelle quattro classi di liceo interessate. Si tratta
di 84 studenti in tutto: 23 della IV B del Liceo Scientico Taramelli di Pavia,
17 della II B del Liceo Classico Foscolo, di Pavia, 26 della IV D del Liceo
Scientico Amodeo, di Mortara e 18 della III C del Liceo Scientico Golgi
di Broni.
Le risposte date da tutti gli 84 alunni partecipanti (35 maschi e 49 femmine) rispecchiano in buona parte le proporzioni emerse nella classe del liceo
Foscolo.
La percentuale di attività seguita è stata per tutti superiore al 50%.
Vediamo le risposte date dagli studenti e raccolte nelle tre tabelle proposte:
123
Per ogni frase, poni una crocetta sulla colonna che meglio corrisponde
alla tua opinione sull'attività svolta:
decisa-
Più
Più SI
decisa-
mente
NO
che
mente
NO
che SI
NO
SI
2
39
42
10
58
10
7
45
31
12
16
66
2
37
45
17
67
Gli argomenti dell'attività
svolta sono stati interessanti?
L'attività è stata impegnativa?
3
La tua preparazione scolastica era suciente per seguire
l'attività?
I locali e l'attrezzatura a
disposizione erano adeguati?
I materiali scritti (schede
o dispense) utilizzati per le
attività erano chiari?
I docenti sono stati chiari?
Le attività svolte sono state
utili per capire meglio cos'è la
matematica?
Le attività svolte ti saranno
utili nella scelta dei tuoi studi
futuri?
1
14
50
19
15
40
24
5
2
30
52
Valeva la pena di partecipare
all'attività?
124
per
NELLE ATTIVITA' SI
SONO SVOLTE
nulla
a volte
molto
51
33
66
12
Spiegazioni teoriche da parte dei docenti
Dimostrazioni sperimentali e pratiche
da parte dei docenti
6
Lavori individuali e di gruppo da parte
degli studenti
84
Attività sperimentali e pratiche da
parte degli studenti
Vorresti
che
nell'insegnamento
della
matematica si desse maggiore attenzione
5
indicare con una crocetta
non più di 3 opzioni
All'aspetto sperimentale e pratico
74
All'aspetto formale
3
All'inquadramento storico
9
Alle ricerche fondamentali più recenti
36
Alle relazioni con altre discipline ed alle
applicazioni tecnologiche
47
Alle implicazioni nella vita quotidiana
57
Altro (specicare)
3
125
79
Ti interessi di matematica anche al di
ori di quello che studi a scuola?
Sì: 23
No: 61
Hai qualche consiglio, osservazione, elogio o rimostranza particolare?
Scrivi liberamente ogni commento od osservazione che tu ritenga di volerci
segnalare per migliorare questa attività.
Per quanto riguarda la prima tabella, alla prima domanda,
Gli argomenti dell'attività sono stati interessanti?,
il 50% dei ragazzi ha risposto decisamente SI. Poco meno del 50% ha
risposto più SI che NO e solamente due ragazzi più NO che SI.
Solo per tre alunni l'attività è risultata piuttosto facile, mentre la maggior
parte ha trovato il lavoro abbastanza impegnativo.
Alla domanda:
La tua preparazione scolastica era suciente?
7 ragazzi hanno risposto più NO che SI e 5 di questi sono alunni del
Foscolo. Forse questo è dovuto al fatto che il liceo in questione è un liceo
classico in cui, pertanto, le ore di matematica a disposizione sono meno e
il programma è di conseguenza ridotto, rispetto a quello del liceo scientico. C'è da dire, però, che per questa attività non erano richiesti particolari
prerequisiti, se non concetti di base di geometria piana e di trigonometria
elementare.
Nelle risposte alla penultima domanda:
Le attività svolte ti saranno utili nella scelta dei tuoi studi futuri?
notiamo ancora la tendenza degli alunni a dare risposte negative. Valgono
anche in questo caso i dubbi e le considerazioni sulla possibile interpretazione
da parte degli studenti esposti in precedenza.
Siamo stati in ogni caso molto soddisfatti che per più del 60% dei ragazzi
valesse decisamente la pena partecipare all'attività.
Per quanto riguarda la seconda tabella valgono considerazioni analoghe
a quelle riportate nell'analisi delle risposte della classe 2 B del Foscolo.
Anche nell'ultima tabella le risposte sono state simili, ma in questo caso si
è signivativamente evidenziata la necessità di prestare maggior attenzione,
126
durante la normale pratica scolastica, alle ricerche fondamentali più recenti,
opzione scelta dal 43% dei ragazzi.
3 alunni hanno segnato la voce altro e 2 di essi hanno specicato
rispettivamente aspetto ludico e utilità.
Anche in questa analisi è emerso lo scarso interesse per gli aspetti formali
e l'inquadramento storico della disciplina.
Più di un quarto dei partecipanti ha aermato di interessarsi di matematica anche al di fuori dell'ambiente scolastico. Essendo questa una percentuale
piuttosto elevata siamo rimasti curiosi di sapere cosa i ragazzi intendessero
con la loro risposta e in che modo, di fatto, esplichino questo loro interesse
extrascolastico, ma la nostra domanda non prevedeva ulteriori precisazioni.
Vediamo alcune delle considerazioni riportate nelle osservazioni conclusive:
ˆ
Ritengo questa attività molto utile e stimolante per i ragazzi, ben organizzata e decisamente costruttiva. Complementi. (IV B, L. S. Taramelli)
ˆ
Attività interessante! Complimenti!!! (II B, L. C. Foscolo)
Alcuni tra gli alunni della 4 D del liceo scientico di Mortara hanno scritto:
ˆ
L'attività è stata nel complesso soddisfacente e non credo debba essere
cambiato qualcosa.
ˆ
L'attività è stata preparata in modo soddisfacente e credo sia stata resa
nel modo più interessante possibile.
ˆ
Il tempo a disposizione non si è dimostrato sempre suciente, costringendo spesso ad accelerare i tempi non dedicando abbastanza tempo alla
parte di riessione e di sperimentazione sulla sfera: questo ha portato
a volte a non esporre in modo completo le dimostrazioni.
ˆ
Le argomentazioni dovrebbero riguardare aspetti meno teorici ma più
utili nella vita reale, nel quotidiano, quindi meno astrazione e più
pratica.
Ecco invece i pareri di 6 ragazzi del liceo scientico di Broni:
ˆ
Utile perchè avendo solo conoscenze di geometria piana abbiamo imparato un po' di geometria sferica in modo piacevole.
127
ˆ
Mi è piaciuto molto!
ˆ
Fare più spesso attività simili a questa
ˆ
L'attività mi è sembrata istruttiva sia per la matematica sia per il fatto
che aiuta il gruppo a lavorare insieme.
ˆ
È stato molto interessante, è stato qualcosa di diverso e appassionante,
mi è piaciuto molto.
ˆ
È un'attività da rifare, però utilizzando più ore scolastiche.
Anche dalla lettura di queste poche libere opinioni è emerso il fatto che gli
alunni sono stati complessivamente soddisfatti e interessati dall'attività loro
proposta. I ragazzi stessi hanno però sottolineato la necessità di più tempo
per arontare alcune schede di lavoro. Durante le fasi esplorative è infatti
accaduto, com'è già stato precisato, che le insegnanti sollecitassero gli alunni
a scrivere le conclusioni e riportarle alla classe, nonostante qualche gruppo
non avesse completamente terminato la fase di esplorazione e riessione con
i compagni.
Come si è già detto le ore di lezione previste per l'attività erano 8. Delle
quattro insegnanti partercipanti al progetto, due di esse hanno impiegato più
tempo: 9 ore la professoressa D. Montani e 10 ore la professoressa L. Pavesi,
ma anche in questi due casi, i tempi sono apparsi in alcuni casi stringenti.
Un'altra osservazione interessante è quella che sollecita a proporre argomentazioni riguardanti aspetti meno teorici ma più utili nella vita reale, nel
quotidiano, quindi meno astrazione e più pratica, necessità, da parte dei ragazzi, già manifestata nell' ultima tabella del questionario, dove, in risposta
alla voce: Vorresti che nell'insegnamento della matematica si desse mag-
giore attenzione a , la quasi totalità degli studenti (88%) ha scelto l'aspetto
sperimentale e pratico.
Nonostante siano poche le osservazioni libere proposte dagli studenti, è
chiaro che costituiscono interessanti suggerimenti agli insegnanti, sia per una
eventuale rielaborazione del percorso didattico sulla geometria della sfera, sia
per scelte più generali da adottare nella quotidiana prassi scolastica.
128
Capitolo 4
Approfondimento del
Laboratorio sulla geometria
sferica:
Tassellazioni sulla sfera
L'organizzazione del Laboratorio Nei dintorni della geometria euclidea, progettato e coordinato dai docenti A. Pesci, E. Vitali e M. Maracci, prevedeva, nella fase conclusiva, la realizzazione di alcuni incontri pomeridiani di
approfondimento.
Questi incontri si sarebbero svolti su base volontaria, riunendo in un'unica aula gli alunni delle varie scuole che si fossero dimostrati interessati.
L'auenza è stata molto alta dimostrando che i ragazzi hanno apprezzato
il lavoro proposto loro durante l'esperienza sulla geometria sferica svolta in
classe dalle loro insegnanti.
Si è riettuto a lungo sugli argomenti da sottoporre agli alunni durante questa fase di attività, dal momento che si voleva realizzare qualcosa
che risultasse quanto più possibile interessante e stimolante. Dopo svariati
momenti di confronto, il gruppo di ricerca, cui ho partecipato attivamente
insieme alle insegnanti coinvolte nel progetto, ha scelto due approfondimenti: uno sulle tassellazioni della supercie sferica, l'altro sulla possibilità e le
modalità per distendere una supercie curva.
Si è stabilito di presentare gli approfondimenti durante due incontri pomeridiani, ma, data la sostanziosa partecipazione da parte dei ragazzi si
è ritenuto opportuno suddividere gli alunni in due gruppi e proporre loro
129
la medesima attività in due giorni distinti, organizzando in totale quattro
incontri.
Il primo approfondimento si è svolto nelle giornate del 12 e 13 Maggio,
la prima lezione presso il Liceo scientico T. Taramelli, la seconda al Dipartimento di Matematica F. Casorati. La seconda attività è stata proposta nei
giorni 17 e 19 Maggio sempre presso il Dipartimento di Matematica.
Le modalità di svolgimento del lavoro previste erano analoghe a quelle
condotte durante il laboratorio in classe: suddivisione dei ragazzi in gruppi, esplorazione guidata con l'ausilio delle sfere di Lénárt e di materiale
opportuno, condivisione dei risultati ottenuti e discussione collettiva.
Il primo approfondimento, alla cui stesura ho direttamente collaborato,
è stato pensato e realizzato dalla professoressa Angela Pesci. La progettazione ci ha impegnate per un paio di pomeriggi, durante i quali si è pensato
all'argomento e alle modalità più consone per presentarlo.
Il titolo scelto è stato Tassellazioni sulla sfera.
Si è deciso, infatti,
di guidare i ragazzi nell'esplorazione di diverse tassellazioni della supercie sferica, cioè ricoprimenti della sfera con poligoni regolari sferici senza
sovrapposizioni nè spazi vuoti.
Lo scopo era quello di evidenziare che esistono cinque tipi di tassellazioni diverse, che corrispondono ai cinque solidi platonici inscrivibili nella
sfera.
Dopo aver fatto esplorare tre particolari ricoprimenti e mostrato il
legame, di volta in volta, con il solido platonico opportuno, si auspicava di
arrivare a constatare che da un altro eventuale poliedro regolare fosse naturale, considerata la sfera circoscritta, pensare alla corrispondente tassellazione
della supercie sferica. A questo punto sarebbe stata immediata la generalizzazione: data una sfera essa può essere ricoperta tramite cinque diverse
tassellazioni. Per la giusticazione di questo fatto sarebbe stato opportuno
un ragionamento intuitivo che proponesse di gonare idealmente il solido
in questione no a farlo aderire alla supercie sferica.
In analogia con le attività proposte durante le varie fasi del laboratorio si
sarebbe poi riettuto sulla corrispondente situazione sul piano, dove esistono
solamente tre tassellazioni con poligoni regolari: triangoli equilateri, quadrati
ed esagoni.
Il secondo approfondimento, progettato e realizzato dai professori Enrico
Vitali e Mirko Maracci, riguardava, invece, l'analisi di alcuni tipi di proiezioni
della supercie sferica sul piano.
La questione sollevata dai ricercatori ha preso spunto dal problema della realizzazione di carte geograche della supercie terrestre. Da un punto
di vista matematico il problema consiste nel rappresentare fedelmente sul
130
piano la supercie sferica o una porzione di essa, comprendendo quali caratteristiche o proprietà valide sulla sfera si mantengono nella proiezione e
quali no.
Per questa attività si è scelto di utilizzare le calotte in plexiglas presenti
nel kit Sfera di Lénárt unendole insieme a formare una sfera e creando un
piccolo foro su di essa. Si sarebbe poi fornito ogni gruppo di una lampadina
da inserire attraverso il foro e far scorrere sulla verticale tra i due poli, in
modo da proiettare sul tavolo ogni gura geometrica disegnata sulla sfera. In
questo modo si sarebbero più facilemente analizzate le caratteristiche delle
due particolari proiezioni che si volevano studiare:
quella stereograca e
quella dal centro della sfera.
Dal momento che ho direttamente partecipato alla progettazione e alla
sperimentazione del primo approfondimento, riporterò di seguito le relative
schede presentate ai ragazzi, insieme agli esiti dell'esperienza in classe.
4.1
Presentazione delle schede di lavoro e descrizione dell'attività svolta il giorno 12 Maggio
2011
Il primo approfondimento si è svolto nelle giornate del 12 e 13 Maggio. Riporterò qui di seguito l'attività svoltasi il primo pomeriggio, alla quale hanno
partecipato alunni appartenenti alla classe seconda B del liceo classico U. Foscolo e della quarta B del liceo scientico T. Taramelli, per un totale di 17
ragazzi.
Si sono creati, pertanto, cinque gruppi di studenti composti da tre o
quattro persone. Il fatto di poter formare gruppi poco numerosi è certamente
un fattore positivo: ne risulta favorito il dialogo e il confronto tra i ragazzi
e maggiormente sollecitata la partecipazione di tutti al lavoro da svolgere
insieme.
Al ne di agevolare la lettura delle analisi dei protocolli e delle discussioni,
riporto di seguito, analogamente a quanto fatto per la parte sul laboratorio
in classe, un elenco dei nomi dei ragazzi, divisi per gruppi:
Gruppo 1: Alessia, Vincenzo, Diletta.
Gruppo 2: Silvia, Giulia, Lorenzo, Jacopo.
Gruppo 3: Andrea, Stefano, Mattia.
Gruppo 4: Giulia, Francesco, Federica.
Gruppo 5: Matteo, Gabriele, Luca, Marcello.
131
Il tempo previsto a nostra disposizione era di due ore e mezza. In questo
caso non abbiamo pensato ad una tempistica precisa per ogni scheda, ma ci
siamo riservate di accelerare i tempi o concedere qualche ulteriore momento
di riessione a seconda di come si sarebbe svolto il lavoro, tenendo comunque
presente l'impegno che le varie schede avrebbero potuto richiedere.
132
4.1.1
Tassellazioni sulla sfera:
scheda
1
Ecco il testo della prima scheda:
SCHEDA 1
Cognome e nome dei componenti del gruppo
..................................
..................................
..................................
..................................
..................................
Disegnate, sulla sfera, un triangolo equilatero con tre angoli retti.
1. Descrivete la costruzione
2. Quali osservazioni potete fare? (Quanti ne avete trovati? Che misure
possono avere i loro lati?...)
133
Con la prima domanda di questa scheda ci si aspettava una spiegazione
prettamente operativa, che descrivesse eettivamente come i ragazzi avessero
proceduto.
Il fatto di poter trovare triangoli sferici con tre angoli retti non sarebbe
stata una novità per i ragazzi: sia gli alunni del liceo Foscolo con i quali ho
lavorato personalmente, che quelli del Taramelli, avevano infatti arontato
la questione in classe. Durante la sperimentazione precedente, però, almeno
nella classe che ho seguito, non ci eravamo assicurati che i ragazzi avessero
eettivamente saputo disegnare un triangolo con due o tre angoli retti, ma ci
erano bastate le loro aermazioni intuitive, dunque la prima richiesta della
scheda non appare banale.
La seconda domanda è stata posta con l'intento di far riettere i ragazzi
che è possibile trovare, a meno di isometrie, un solo triangolo equilatero con
gli angoli retti (di fatto la stessa cosa accade per un triangolo con angoli
ssati di qualsiasi ampiezza compresa tra
60°e 180°) e di far ricordare quindi
che in geometria sferica non ci sono triangoli simili, ma solo, eventualemente,
congruenti.
Un'altra osservazione che ci aspettavamo emergesse è quella che con 8
triangoli di questo tipo si può ricoprire tutta la sfera.
A questo punto,
in fase di discussione, si sarebbe precisato ai ragazzi che questo particolare
ricoprimento, fatto con poligoni regolari, in questo caso triangoli equilateri
retti, che non presenta sovrapposizioni nè buchi, è detto
tassellazione della
supercie sferica.
4.1.2
Consegna ed esplorazione della
scheda
1
Dopo aver suddiviso i ragazzi tra i vari gruppi, la professoressa Pesci ha sottolineato che durante la fase esplorativa non sarebbe stato possibile ricevere
suggerimenti dai docenti, ma che il lavoro sarebbe dovuto essere autonomo.
In caso di dubbi o perplessità, il gruppo si sarebbe cofrontato e sarebbe dovuto giungere ad una versione condivisa da tutti i suoi componenti. Quella
versione sarebbe stata quella che avrebbero poi riferito alla classe. In caso
qualche componente del gruppo si fosse trovato in disaccordo, il parere contrastante sarebbe dovuto essere riportato sulla scheda per poi venir discusso
da tutti.
La fase esplorativa di questa scheda non ha messo particolarmente in
dicoltà i ragazzi che già sapevano della possibilità di costruire triangoli
siatti. In poco tempo hanno terminato il lavoro e si è dato il via alla fase
di condivisione dei risultati e poi la discussione.
134
4.1.3
Analisi dei protocolli relativi alla
scheda
1
Vediamo come i vari gruppi hanno descritto le costruzioni del triangolo
equilatero con i tre angoli retti.
Gruppo 1: Partendo dall'equatore abbiamo tracciato due perpendicolari
passanti per i punti antipodali rispetto all'equatore.
Gruppo 2: Abbiamo diviso la semisfera in 4 parti congruenti poichè ognuna
di esse risulta essere il triangolo richiesto.
Il gruppo 3, dopo aver sottolineato che la somma degli angoli interni
risulta essere
270°,
informazione di fatto già presente nella consegna, ha
aermato:
Gruppo 3: I lati sono uguali ad un quarto di circonferenza massima.
Il gruppo 4 ha disegnato il suo triangolo tracciando un segmento da loro
denito a piacere che però risultava essere circa un quarto di circonferenza
massima.
Questo ha tratto i ragazzi in inganno e portato alla seguente
formulazione scorretta.
Gruppo 4: Si traccia un segmento a piacere inferiore alla semicirconferenza
massima, altrimenti le semirette che partono dal centro risulterebbero complanari e verrebbe meno la denizione di triedro, e si misurano due angoli di
90°e
si tracciano i due segmenti congruenti al primo.
Vediamo la risposta del gruppo 5:
Gruppo 5: Utilizzando il righello sferico posizionato con il centro in uno
degli antipodi abbiamo tracciato due rette (circonferenze massime) fra loro
perpendicolari congiungendole con un segmento di equatore.
Tutti i gruppi, salvo il 3, che non ha specicato i dettagli della costruzione, e il 4, hanno utilizzato come lato del triangolo una porzione dell'equatore
messo in rilievo dalla forma della sfera (nell'incastro tra le due calotte). In
questo modo è stato più semplice rendersi conto che con quattro triangoli
di quel tipo, disposti uno a anco all'altro, tutti con un vertice comune su
uno dei due poli, si ricopriva tutta la semisfera, quindi con otto si ricopriva
l'intera sfera.
In risposta alla seconda domanda sono emerse le seguenti osservazioni:
135
Gruppo 1: Si possono trovare inniti triangoli retti.
Mentre il gruppo 1 ha osservato semplicemente che i triangoli così fatti
sono inniti, gli altri gruppi hanno proposto anche altre riessioni. Qualcuno
ha riassunto alcune osservazioni emerse durante la sperimentazione in classe,
ribadendo le conclusioni a cui si era pervenuti riguardo varie caratteristiche
dei triangoli sferici, ad esempio sulla somma degli angoli interni.
Il gruppo 2 si è reso conto che ogni triangolo con tre angoli retti risulta
essere esattamente un quarto di semisfera.
Questa era proprio la strada
giusta verso le riessioni che volevamo emergessero.
Gruppo 2: Se ne possono tracciare inniti.
Ogni lato misura un quarto di retta.
La somma degli angoli interni è di
Ogni triangolo corrisponde ad
1/4
270°(nel
piano è
180°).
della supercie della semisfera.
Le considerazioni del gruppo 3 sono risultate, in qualche caso, ridondanti.
I ragazzi hanno ribadito, ad esempio, che in geometria sferica esistono triangoli con due o tre angoli retti, oppure che i lati del triangolo sono segmenti
sferici.
Gruppo 3: La somma degli angoli interni di un triangolo è variabile e
maggiore di
180°e
minore di
540°.
Il triangolo ha come lati archi di circonferenza massima.
A dierenza della geometria piana, nella geometria sferica esistono triangoli
con 2 o 3 angoli retti.
La somma cresce all'aumentare dell'area del triangolo.
La supercie del triangolo è uguale a un ottavo della supercie della sfera.
Vediamo ora le considerazioni proposte dai gruppi 4 e 5:
La risposta del gruppo 4, seppur scorretta, è parsa coerente con l'arbitrarietà, da loro congetturata, della lunghezza dei lati.
Gruppo 4: Esistono inniti triangoli equilateri con tre angoli retti e i loro lati possono avere misure inferiori al cerchio massimo.
Il triangolo di
conseguenza è tutto nella stessa semisfera.
Gruppo 5: Rispetto alla geometria piana la somma degli angoli interni
supera i
180°.
Un triangolo equilatero ha come somma degli angoli interni
In tutto è possibile realizzare 8 triangoli.
I loro lati sono un quarto di retta.
136
270°.
4.1.4
La discussione sulla
scheda
1
Introduce la discussione la professoressa Pesci (nel seguito P.), invitando i
ragazzi a ripensare alla propria costruzione ma anche a cercare di capire e
interpretare le risposte degli altri.
Francesco, componente del gruppo 4, che sosteneva che si potesse costruire il
triangolo tracciando un segmento a piacere, dice di non capire esattamente
la dierenza tra la loro formulazione e quella del gruppo 5 che si riferisce al
segmento di equatore.
P.: Anche a me ha incuriosito questa cosa: cosa si intende con segmento a
piacere? Pensate sia analogo all'altra formulazione? Voi state dicendo che
se faccio un segmento a piacere... poi ottengo il triangolo voluto....
Dal gruppo 2 qualcuno fa cenno di no con il capo.
Interviene un componente del gruppo 5:
Gruppo 5: Sarà a piacere ma deve essere comunque lungo
1/4
di circonfe-
renza.
Giulia, del gruppo 4, ribatte:
Giulia: Io non lo so, noi l'abbiamo preso così a caso
e mostra la loro costruzione.
Dal gruppo 3 si sente dire che se quel lato non è esattamente lungo un quarto,
il triangolo in questione non si può disegnare.
La professoressa fa riettere i ragazzi sul fatto che con il termine a piacere si
intende veramente un qualsiasi segmento sferico. Deve quindi essere possibile
costruire il suddetto triangolo anche partendo da una base piccolissima.
I ragazzi si mettono al lavoro e i vari gruppi provano a disegnare un triangolo
con le caratteristiche volute, a partire da una base relativamente piccola, allo
scopo di confutare o convincersi della tesi del gruppo 4.
Il gruppo 5 aerma di essere nettamente contrario perché, disegnando un
triangolo con base di 3 centimetri circa, e tracciando le perpendicolari agli
estremi, queste, intersecandosi, formano un angolo molto stretto.
Diletta, del gruppo 1: A noi esce un angolo di
25°!.
Anche il gruppo 4 pare ora convinto della necessità che la lunghezza dei lati
sia opportuna:
137
Francesco: Noi siamo stati tratti in inganno dal fatto che, casualmente,
abbiamo fatto un lato di
18 cm,
che all'incirca corrisponde ad un quarto di
circonferenza massima.
P.: Bene, passiamo alla seconda domanda. Qualcuno dice che ci sono inniti
triangoli così fatti. Siete d'accordo su questa innità?
Interviene un rappresentante del gruppo 5
Gruppo 5: Il nostro 8 era inteso non sovrapposti tra loro.
P.: Quindi voi dite che una volta costruito uno ne costruiamo otto. Anche il
gruppo 2 ha notato che se noi ne costruiamo 4 ricopriamo bene la supercie
della semisfera. E quante rette occorrono, dunque?
Qualcuno risponde che bastano tre rette.
P.: Quindi con i tre segmenti che avete usato per costruire il triangolo, se li
prolungate, ottenete la tassellazione della sfera. Provate tutti a farlo. Vedete
gli otto triangoli? Si tratta semplicemente di completare e tracciare le tre
rette.
Si ottiene una tassellazione che è un termine tecnico che vuol dire
ricoprire senza lasciar buchi nè sovrapposizioni .
Si preciserà, successivamente, che si vuole che la tassellazione sia realizzata
con poligoni regolari uguali.
Il caso proposto, dei triangoli equilateri, con
angoli retti, risulta pertanto essere una tassellazione regolare della supercie
sferica.
138
4.1.5
Tassellazioni sulla sfera:
scheda
2
Il testo della seconda scheda proposta per l'attività di approfondimento è il
seguente.
SCHEDA 2
1. Trovate i centri degli otto triangoli equilateri che ricoprono la sfera
(con una costruzione geometrica adeguata...)
Con un colore diverso segnate i punti trovati e unite con segmenti
(segmenti sferici!) i centri di triangoli consecutivi (cioè con un lato in
comune).
Pensate di aver ottenuto una nuova tassellazione della supercie sferica?
Giusticate la vostra risposta (ricordando che la tassellazione
richiede poligoni regoolari...)
2. Pensate agli otto punti nello spazio usuale.
Riuscite a vederli come
vertici di una particolare gura nello spazio?
3. Fate lo stesso con i sei vertici dei triangoli equilateri.
In questo ca-
so riuscite a immaginarli come vertici di una particolare gura nello
spazio?
139
Tramite le richieste di questa scheda si voleva che gli alunni costruissero
una nuova tassellazione della supercie sferica, realizzata con gure denibili come quadrati sferici perchè aventi quattro lati e quattro angoli uguali.
Pensando agli otto punti, vertici della nuova tassellazione, nello spazio usuale, ci si aspettava che gli studenti notassero che si tratta dei vertici di un
cubo, idealmente inscritto nella sfera. Ragionando analogamente sulla prima tassellazione e pensando ai suoi vertici come punti nello spazio usuale,
si auspicava che i ragazzi riconoscessero l'ottaedro come gura avente quei
punti come vertici.
Per costruire la tassellazione con i quadrati la scheda chiede di trovare i
centri degli otto triangoli del primo ricoprimento, con una costruzione geometrica adeguata. Non è stato volontariamente esplicitato il metodo da seguire
dal momento che ogni gruppo avrebbe così potuto utilizzare la costruzione
più familiare.
Nelle nostre previsioni questa attività non sarebbe dovuta risultare particolarmente dicile ma avrebbe potuto richiedere ai ragazzi un po' di tempo, per la scelta della costruzione e la successiva manipolazione della sfera.
Per immaginare le gure solide, sarebbe bastato poi solo un po' d'astrazione: svincolandosi dalla realtà della supercie sferica, aiutati dal fatto che
le calotte sono trasparenti, si sarebbe dovuto immaginare di congiungere in
modo opportuno i punti all'interno della sfera, intuendo la gura geometrica
risultante.
4.1.6
La consegna e l'esplorazione della scheda 2
La fase esplorativa di questa scheda, contrariamente alla prima, è stata un po'
più lunga del previsto. Nonostante avessimo raccomandato ai ragazzi di non
cancellare la costruzione precedentemente eseguita, qualcuno ha cancellato
le prime linee tracciate, una volta eettuata la seconda costruzione.
La prima parte di questa attività era prettamente manuale, ma era necessaria una buona collaborazione all'interno del gruppo perchè si riuscissero
a condurre agilmente le operazioni adatte per trovare il centro di ogni triangolo. In qualche gruppo questa partecipazione non è stata particolarmente
attiva e in alcuni casi la professoressa Pesci ed io siamo intervenute per sollecitare i ragazzi a collaborare anche sicamente aiutandosi a reggere la
sfera, posizionare adeguatamente il righello e tracciare le linee. A volte abbiamo aiutato gli alunni a velocizzare un po' il lavoro; si trattava, comunque,
solo di un contributo di tipo pratico, mentre siamo state attente a non dare
spunti o suggerimenti di alcun tipo.
140
4.1.7
Analisi dei protocolli relativi alla scheda 2
Alla domanda
Pensate di aver ottenuto una nuova tassellazione della supercie sferica?
tutti i gruppi hanno risposto aermativamente, giusticando in maniera
analoga. Vediamo le loro risposte:
Gruppo 1: Sì, perchè i poligoni ottenuti hanno tutti i quattro lati e i quattro
angoli congruenti.
Gruppo 2: Sì, i segmenti compongono quadrilateri con i quattro lati e i
quattro angoli tra loro congruenti.
Gruppo 3: Sì, abbiamo ottenuto una nuova tassellazione con quadrilateri
di lati e angoli congruenti (sono quadrati sferici con angoli di
120°).
Gruppo 4: Sì perchè la sfera risulta delimitata da sei quadrati sferici con
angoli di
120°.
Gruppo 5: Sì, abbiamo ottenuto 6 quadrati che sono poligoni regolari che
dividono la sfera.
Tutti i gruppi, poi, si sono accorti che pensando i punti delle due tassellazioni, quella con i quadrati e quella con i triangoli equilateri, nello spazio
usuale, si trovano i vertici, rispettivamente, di un cubo e di un ottaedro.
4.1.8
La discussione sulla
scheda
2
Chiedendo ai ragazzi cosa hanno risposto alla prima domanda, tutti sono
concordi nel ritenere di aver ottenuto una nuova tassellazione della supercie
sferica.
Si chiede quindi loro come pensano si possano chiamare le gure
geometriche del ricoprimento.
Francesco: Quadrati sferici!
Vincenzo: Parallelogrammi?
P.: Allora... certamente... sono quadrilateri...
Qualcuno osserva che gli angoli non sono retti. Ma Vincenzo, del gruppo 1,
ribatte:
141
Vincenzo: Non vuol dire! Prima avevamo un triangolo equilatero con tre
angoli retti, qui con il quadrato gli angoli saranno maggiori...
Si chiede loro quale sia l'ampiezza di questi angoli. Qualcuno risponde che
vale 120°, qualcun altro, circa
115°. Dal gruppo
360° per 3.
3 emerge la proposta di
calcolarlo semplicemente dividendo
P.: Eettivamente, avendo gli strumenti in mano ci vien voglia di misurare,
ma il matematico pensa anche all'ideale che ha in mente: guarda un vertice
e dice eettivamente tutto intorno è
coincidono sono uguali, basta fare
può essere precisa.
360
360°,
se è vero che i tre angoli che
diviso 3. Certo, la misurazione non
E' come quando si disegna alla lavagna, ad esempio,
un quadrato. Non sarà un quadrato perfetto... ma tutti lo pensano come
un quadrato. Quindi è ragionevole pensare che l'angolo che ci interessa sia
proprio
360°/3 = 120°.
Quindi sono quadrati sferici con angoli di 120°.
Per quanto riguarda le altre domande della scheda, tutti sono d'accordo
nell'evidenziare cubo e ottaedro come i solidi che si ottengono congiungendo
nello spazio i vertici delle due tassellazioni.
Si evidenzia, quindi, che a partire da due tassellazioni, abbiamo trovato due
particolari poliedri.
Due rappresentanti di gruppi diversi aermano che si tratta di poliedri duali,
cioè ottenuti uno a partire dall'altro congiungendo i centri di facce adiacenti;
presumibilmente, la loro insegnante aveva arontato la legge di dualità in
classe. Si chiede dunque loro di spiegare, a chi non lo sappia, cosa questo
signichi. Le risposte che emergono dai ragazzi sono le seguenti:
ˆ
Sono uno contenuto nell'altro.
ˆ
Si scambiano il numero delle facce con il numero dei vertici.
ˆ
Se uniamo i centri delle facce dell'ottaedro otteniamo il cubo.
Annunciamo, a questo punto, che il legame tra tassellazioni e poliedri regolari
verrà messo in luce più chiaramente nell'ultima scheda e concludiamo così la
seconda discussione.
142
4.1.9
Tassellazioni sulla sfera:
scheda
3
Di seguito è riportata l'ultima del gruppo di schede presentate ai ragazzi per
questa attività di approfondimento.
SCHEDA 3
1. Scegliete un vertice sulla sfera tra quelli del cubo e osservate che sono tre i quadrilateri che si incontrano in quel vertice. Segnate poi, in
ognuno di questi tre quadrilateri, il vertice opposto al primo che avete
scelto: avete così ottenuto quattro punti.
Unite ora i quattro punti, ciascuno con gli altri tre (con segmenti sferici).
Descrivete la nuova tassellazione della supercie sferica che avete ottenuto:
2. Se pensate ai quattro punti nello spazio usuale, riuscite a vederli come
vertici di una particolare gura nello spazio?
3. Conoscete altri poliedri regolari?
143
Con la prima richiesta di questa scheda si voleva guidare i ragazzi nella
costruzione di una nuova tassellazione, questa volta costituita da triangoli
equilateri con angoli di 120°. Anche in questo caso i vertici della tassellazione
corrispondono, se pensati nello spazio usuale, ai quattro vertici di un solido
platonico, il tetraedro. A questo punto del lavoro i ragazzi sarebbero stati
ormai più familiari con questo tipo di ragionamenti; si è ritenuto quindi che
questa richiesta sarebbe stata arontata senza particolari dicoltà.
All'ultimo punto si domanda se conoscano altri poliedri regolari. Si pensava emergesse dai vari gruppi o tramite il confronto collettivo che i poliedri
regolari non ancora nominati sono solo l'icosaedro e il dodecaedro.
Si sono preparati, per ogni gruppo, dei modellini di questi due poliedri
costruiti con il Geomag, in modo da rendere più agevole ragionare su di essi
ed eventualmente fare osservazioni sui poligoni corrispondenti alle facce sulla
sfera, sulle misure degli angoli, ecc.
In questo caso, quindi, si voleva mettere i ragazzi di fronte ad un procedimento di tipo inverso rispetto a quelli fatti no a quel momento: dato che
con le prime tre tassellazioni si erano trovati, in corrispondenza, tre solidi
platonici, si volevapensassero se fosse possibile, a partire dai due rimanenti
poliedri regolari, ottenere delle tassellazioni della supercie sferica.
In questo caso, quindi, i ragazzi non sarebbero partiti da una tassellazione
della sfera per passare ad un solido platonico ma, viceversa, partendo dagli
altri due solidi platonici avrebbero dovuto ricollegarsi alle corrispondenti
tassellazioni sulla sfera.
Si è scelto quindi di chiedere se fosse possibile ottenere anche in questo
caso delle tassellazioni, accettando come risposta idee intuitive che proponessero di gonare idealmente il poliedro no a farlo aderire alla sfera.
In questo modo si sarebbe dovuti arrivare a concludere che i cinque poliedri regolari danno origine, sulla supercie sferica, a cinque diverse tassellazioni.
Dal momento che durante le attività in classe è emersa la questione di
analizzare i cosiddetti bilateri, cioè le gure geometriche costituite da due
vertici antipodali, due soli lati e due angoli uguali, si è pensato di far osservare
ai ragazzi che anche con queste gure si può ottenere una tassellazione della
sfera.
In particolare è possibile costruire una tassellazione della supercie
sferica con bilateri congruenti con angoli di qualsiasi ampiezza.
Dunque, se si accettano tra i poligoni gure con soli due lati, allora
esistono innite tassellazioni della supercie sferica, altrimenti solo cinque,
corrispondenti ai cinque solidi platonici.
A questo punto sarebbe stato opportuno far emergere un confronto con
le possibili tassellazioni del piano, che a meno di similitudine sono solo
144
tre (triangoli equilateri, quadrati ed esagoni).
Sulla sfera, non esistendo
similitudini, ogni tassellazione è unica a meno di isometrie.
4.1.10
Consegna ed esplorazione della
scheda
3
Per i ragazzi non è stato dicile disegnare quest'ultima tassellazione e individuare le ampiezze degli angoli delle gure geometriche del ricoprimento,
ormai familiari con questo modo di procedere.
I ragionamenti sul poliedro inscritto, il tetraedro, erano concordi tra i vari
gruppi, anche se in un paio c'era il dubbio sul nome del solido in questione,
che però è stato poi riportato sulle schede di lavoro nel modo corretto.
I ragazzi hanno arontato anche quest'ultima attività rispettando i tempi
a loro disposizione e lavorando seriamente e con impegno.
4.1.11
Analisi dei protocolli relativi alla
scheda
3
Tutti i gruppi sono apparsi concordi nel ritenere che si sia trovata una nuova
tassellazione, costituita anche in questo caso da triangoli equilateri. Qualcuno ha specicato anche che si trattava di triangoli equilateri con lati di 120°.
Vediamo, per completezza, le varie risposte:
Gruppo 1: 4 triangoli con tre angoli di 120°.
Gruppo 2: Otteniamo 4 triangoli sferici.
Sul protocollo i componenti del gruppo 2 hanno anche scritto che si tratta
di triangoli equilateri, ma questo è stato presumibilmente aggiunto sulle
schede solo successivamente al confronto con i compagni.
Gruppo 3: Tassellazione con triangoli equilateri congruenti e abbiamo diviso la supercie sferica in quattro parti.
Gruppo 4: La tassellazione è costituita da 4 triangoli equilateri con angoli
di 120°.
Gruppo 5: La tassellazione è divisa in triangoli equilateri.
Alla seconda domanda, che chiede di immaginare i vertici della tassellazione come punti nello spazio usuale, tutti hanno risposto che essi identicano
un tetraedro.
I ragazzi si sono trovati concordi anche nell'indicare altri eventuali poliedri regolari, e tutti hanno risposto:
145
Tutti: Dodecaedro e icosaedro.
I componenti del gruppo 1, dopo aver citato il dodecaedro e l'icosaedro,
hanno aermato, in fase di condivisione, di non sapere se ne possano esistere
altri. E' stato dunque condiviso che i poliedri regolari sono eettivamente
solo questi cinque.
4.1.12
La discussione sulla
scheda
3
Data la sostanziale unanimità delle risposte, si invitano i ragazzi a caratterizzare le tre tassellazioni trovate e a scrivere gli appunti sul loro quaderno.
Gli alunni propongono, quindi, le seguenti caratterizzazioni:
ˆ Tassellazione 1:
8 triangoli equilateri con angoli di 90°.
Poliedro
corrispondente: ottaedro.
ˆ Tassellazione 2:
6 quadrati sferici con angoli di 120°.
Poliedro
corrispondente: cubo.
ˆ Tassellazione 3:
4 triangoli equilateri con angoli di 120°.
Poliedro
corrispondente: tetraedro.
P.: Quindi con i triangoli ne abbiamo già trovate due e questa è una cosa
stranissima, perchè sul piano il triangolo equilatero è bello rigido, più o
meno grande, ma sempre con angoli di 60°.
Secondo voi, come mai vi abbiamo chiesto se conoscete altri poliedri regolari?
Risponde Francesco, del gruppo 4:
Francesco: Ci saranno altre tassellazioni...
P.: Per favorire l'esplorazione vi daremo in mano dei solidi già costruiti.
Consegnamo ad ogni gruppo un dodecaedro e un icosaedro costruiti col
Geomag.
P.: Provate a descrivere la tassellazione corrispondente sulla sfera, cioè dovete dire quante gure sono e quanto sono ampi gli angoli della tassellazione
che presumete di poter dedurre sulla sfera.
Si lascia un po' di tempo ai ragazzi perchè esplorino le nuove questioni
e si confrontino all'interno del gruppo.
raccolgono le congetture.
146
Dopo una quindicina di minuti si
Per quanto riguarda la tassellazione a partire dal dodecaedro, quattro gruppi
su cinque sono concordi nel ritenere che, sulla sfera, si ottengano 12 pentagoni
regolari, con angoli di
120°.
Solamente il gruppo 4, all'inizio, aerma di aver
trovato 12 pentagoni con angoli di 60°.
Prende allora la parola Alessia, del gruppo 1:
Alessia: Noi abbiamo immaginato sulla sfera un punto visto come il centro
del goniometro. Dato che tutto è 360° e sono 3 pentagoni che si incontrano
in quel punto, abbiamo fatto 360/3.
Francesco, del gruppo 4: Abbiamo fatto il conto sbagliato. Nella stessa
semisfera abbiamo diviso in 12 anziché in 6.
E interviene Federica, sempre del gruppo 4:
Federica: Noi abbiamo diviso 360 per 6 perchè pensavamo che in una
semisfera ci sono sei pentagoni...
P.: Ma... dove devo andare a vedere gli angoli? Non a caso...
Francesco: No, intorno ad un vertice...
P.: Sì ed esploro lì.
Nonostante non sia completamente chiaro il ragionamento dei componenti
del gruppo 4 e la giusticazione del loro errore, decidiamo di proseguire.
P.: Come vi siete immaginati i poliedri dentro la sfera? Come facevano a
diventare sferici?
Mattia, del gruppo 3, un po' imbarazzato per l'apparente ingenuità della
propria intuizione, risponde:
Mattia: Eh... gonandoli.
P.: Sì, se fossero elastici, come dei palloncini che si gonano, verrebbero
proprio perfetti.
Completiamo quindi l'elenco delle tassellazioni:
ˆ Tassellazione 4:
12 pentagoni sferici regolari con angoli di 120°.
Poliedro corrispondente: dodecaedro.
147
Procediamo quindi con l'analisi dell'ultima tassellazione. Tutti i gruppi sono
concordi con la seguente versione:
ˆ Tassellazione 5:
20 triangoli equilateri con angoli di 72°.
Poliedro
corrispondente: icosaedro.
Nonostante il tempo a nostra disposizione non sia molto ci sembra interessante proporre ai ragazzi un'ultima attività: un confronto tra le tassellazioni
della supercie sferica e quelle del piano.
Chiediamo pertanto ai ragazzi con quali poligoni regolari potremmo ricoprire
il piano con le regole viste per la tassellazione sulla sfera, che ribadiamo:
poligoni regolari tutti uguali tra loro, non sovrapposti e che non lascino spazi
vuoti.
Riette a voce alta Vincenzo, del gruppo 1:
Vincenzo: La maggior parte con i triangoli...
P.: Proviamo a pensare al triangolo equilatero, quanti ne devo metter
vicini per ricoprirlo bene?
Si levano varie voci:
Due!
Quattro!
Inniti!
P.: Proviamo a pensare a come si fa. Mettiamo a terra un triangolo, poi
uno vicino, poi un altro... quanti in tutto? Deve venire 360°...
Si concorda a questo punto che i triangoli equilateri siano 6.
Luca, del gruppo 5, chiede:
Luca: E con quadrati?
P.: Con i quadrati lo sappiamo, basta pensare alla carta a quadretti, quindi è certamente possibile.
Quindi, abbiamo scoperto che si può fare con
quadrati e triangoli equilateri.
Silvia, del gruppo 2: Anche con esagoni!
P.: Sì,
120 + 120 + 120 = 360.
148
...Pentagoni?
Proponiamo ai ragazzi di pensare all'ampiezza dell'angolo del pentagono.
Nessuno si ricorda quale sia l'ampiezza di questo angolo ma dal gruppo 2
arriva un suggerimento:
Giulia: Bisogna considerare
n−2
angoli piatti, poi dividere per 5.
Dopo il calcolo un componente del gruppo 3 ci comunica che l'angolo del
pentagono risulta di 108 gradi.
P.: Proviamo a metterli vicini, ce la si fa a raggiungere 360? ...3 sono pochi,
4 sono troppi. Butto via il pentagono. Non ce la si fa. E neanche con altri
poligoni regolari ce la facciamo.
Riassumiamo alla lavagna le possibili tassellazioni del piano:
ˆ Tassellazione 1:
triangoli equilateri.
ˆ Tassellazione 2:
quadrati.
ˆ Tassellazione 3:
esagoni.
Facciamo notare che una marcata dierenza tra quanto accade sul piano e
quanto sulla sfera è che nel primo caso è possibile tassellare il piano con
poligoni regolari di varie dimensioni, mentre sulla sfera, per ogni poligono
c'è un unico modo di tassellare la supercie.
Decidiamo, a questo punto, di far emergere la questione della gura bilatera.
P.: Se accogliamo tra i poligoni regolari sulla sfera anche i bilateri, secondo
voi, quante tassellazioni ci sono?
Qualcuno risponde: Innite.
Vincenzo: Varia l'ampiezza dell'angolo.
P.: Sì, basta suddividere quel 360° in parti uguali, ottenendo anche misure
in gradi non intere, potrei dividere anche in 172 parti uguali. Questa è una
situazione un po' strana, che sul piano non c'è.
Quindi, sostanzialmente, se accettiamo i poligoni bilateri abbiamo innite
tassellazioni, se no solo cinque.
E si potrebbe benissimo accettare come
149
poligono solo una gura con almeno tre lati, e in quel caso il bilatero sarebbe
escluso. Basta mettersi d'accordo....
A questo punto, nita la discussione sulle schede di lavoro, chiediamo ai
ragazzi se ci sono domande.
Prende la parola Vincenzo:
Vincenzo: Stavo pensando se ogni triangolo con gli angoli uguali è unico....
Proponiamo di riettere sulle esplorazioni appena condotte sulla sfera. Chiediamo se quel triangolo con tutti gli angoli di 90°, ad esempio, è unico o se
ce ne possono essere di più grandi o più piccoli.
Vincenzo: Sul piano sarebbe unico, sulla sfera no.
P.: Perfetto, e come si chiama questo fatto qui?
Qualcuno risponde: Similitudine!
Vincenzo: Sì, ma io mi sono chiesto se per caso non fosse un caso particolare quello di prima...
P.: Ecco, no. Purtroppo non c'è tempo di argomentare, ma si tratta di un
fatto generale.
Sulla geometria della sfera non c'è la similitudine.
Se due
gure hanno angoli uguali, ad esempio, sono proprio uguali. Quindi se voglio
un triangolo con i tre angoli di 100°, i lati son ssati, a meno di congruenza
è unico, posso girarlo, muoverlo, ma è sempre lo stesso.
Con queste considerazioni termina la discussione.
Ringraziamo gli studenti per l'attenta e interessata partecipazione, raccogliamo le schede e concludiamo l'intera attività.
4.2
Osservazioni conclusive all'attività
Questa attività ha certamente riscosso l'interesse dei ragazzi, che si sono dimostrati curiosi e partecipi, svolgendo con disciplina e buona collaborazione
i compiti loro assegnati.
Solamente in un caso, come ho sottolineato, si è
dovuti in parte intervenire per sollecitare i ragazzi a contribuire equamente
all'interno del gruppo, ma si è trattato dell'unico gruppo, il 4, in cui erano presenti ragazzi di scuole diverse, Francesco del liceo Foscolo, Federica e
Giulia del liceo Taramelli, e non erano quindi per nulla abituati a lavorare
150
insieme. In ogni caso il nostro intervento, come precedentemente riferito, è
stato esclusivamente di tipo pratico: abbiamo aiutato i ragazzi nella fase
di disegno e misurazione per velocizzare il lavoro, viste le inevitabili scadenze dei tempi, e abbiamo evitato di dare suggerimenti, per non limitare il
dibattito e il confronto tra gli sudenti.
In generale siamo stati soddisfatti per come ha proceduto l'attività: i
ragazzi hanno esplorato e discusso adeguatamente, portando alla luce, attraverso i loro ragionamenti, le caratteristiche delle tassellazioni su cui volevamo
si soermassero.
Il lavoro proposto non era particolarmente dicile ma richiedeva, oltre
ad una certa precisione, un buon salto d'astrazione per immaginare i poliedri
inscritti nella sfera e una buona capacità di generalizzazione per analizzare
il caso di dodecadero e icosaedro e trarre le opportune conclusioni.
Una volta esplorata la situazione sulla sfera, i ragazzi hanno così operato un confronto con la geometria del piano, osservando non soltanto che
i poligoni con cui si possono tassellare le due superci non sono gli stessi,
ma anche che sulla sfera le varie tassellazioni sono determinate a meno di
isometrie, mentre sul piano sono uniche a meno di similitudini.
151
Conclusioni
Il bilancio dell'attività è stato nel complesso certamente positivo. L'organizzazione è stata condotta con impegno e meticolosità, cercando di creare un
percorso di lavoro quanto più possibile adatto a stimolare la curiosità e l'interesse dei ragazzi, che non risultasse particolarmente dicile ma abbastanza
impegnativo da stimolare e far fruttare al meglio le risorse di ognuno.
Le insegnanti coinvolte nel progetto si sono mostrate disponibili e propositive e il gruppo di ricerca è riuscito, anche grazie alla loro collaborazione,
a produrre un lavoro interessante e completo.
Essendo stata questa la prima sperimentazione per il nostro laboratorio, è
inevitabile che strada facendo si sia deciso di apportare qualche modica per
migliorare ulteriormente l'attività. Innanzitutto ci è parso sensato modicare
l'ordine delle schede di lavoro, così come esposto nel capitolo riguardante la
sperimentazione in classe e si è inoltre compreso come per questa attività
vadano riservate più ore scolastiche in modo da poter assecondare una più
soddisfacente fase esplorativa, da parte dei ragazzi, e sviluppare più ampie
discussioni.
I ragazzi, come emerso dall'analisi dei questionari di valutazione, hanno
ampiamente apprezzato il lavoro loro proposto. Praticamente la totalità degli alunni, più del 97%, ha aermato di essere soddisfatto di aver partecipato
al laboratorio e di aver ritenuto interessanti gli argomenti arontati. Nonostante non sia stato presentato agli studenti alcun questionario riguardante
le attività di approfondimento, essi hanno riferito alle loro insegnanti di esser
rimasti molto soddisfatti, qualcuno addirittura entusiasta, della peculiarità
del lavoro arontato.
Il bilancio positivo di esperienze di questo tipo costituiscono senza dubbio
forti argomenti a favore della positività ed ecacia di metodi di insegnamento
- apprendimento alternativi rispetto alle tradizionali lezioni frontali. La lezione frontale, infatti, come si legge nel volume Matematica 2003 dell'Unione
Matematica Italiana, pur avendo una sua valenza didattica, nell'abituare
gli studenti a prestare attenzione a una spiegazione, a imparare a prende-
152
re appunti in maniera autonoma, quando una persona parla, a sviluppare
competenze di sintesi e di organizzazione dell'informazione, a comprendere
un discorso fatto da un esperto su un argomento matematico, [...] andrebbe
aancata, integrata, alternata ad altre metodologie, che sviluppano altre
competenze negli studenti [16, (p. 26)].
Purtroppo, ad oggi, la lezione frontale rimane la tipologia di insegnamento più diusa e solo saltuariamente viene aancata da pratiche di insegnamento di tipo diverso. Quello che si auspica è che con il tempo, anche
in seguito ad attività di formazione insegnanti sempre più attive, le lezioni
scolastiche rappresentino maggiormente, per l'alunno, momenti di costruzione attiva di nuova conoscenza e per l'insegnante non un banale transfert
di saperi, bensì un'occasione per coadiuvare i propri allievi nel processo di
apprendimento.
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