V assioma
Geometria euclidea
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PROBLEMATICA
– IL V POSTULATO E LE PRIME CRITICHE
dal 300 a.C
– L’OPERA DI SACCHERI (1667-1733)
– L’OPERA DI GAUSS (1777-1855)
– LOBACEVSKIJ (1792-1856) E BOLYAI
(1802-1860)
– L’OPERA DI RIEMANN (1826-1866)
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Proposizioni equivalenti al postulato V
• per un punto esterno ad una retta si
può condurre una sola parallela alla
retta data
• la somma degli angoli interni di un
triangolo è uguale ad un angolo piatto
• l’area di un triangolo può superare
qualunque area assegnata grande a
piacere (Gauss 1777-1855)
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Approccio al problema
del V postulato da parte di
Saccheri
Data una retta r e un punto P fuori di essa
allora
a) per P passa esattamente una retta
parallela a r
o
b) per P non passano rette parallele a r
o
c) per P passano almeno due rette parallele
a r.
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LOB. e BOLYAI
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Se consideriamo i primi
quattro postulati e l’ipotesi c
• Tutti i teoremi di geometria che
discendono dall’applicazione dei primi
quattro postulati continuano ad essere
teoremi della nuova geometria
Valgono inoltre i seguenti teoremi:
• la somma degli angoli interni di un
triangolo è sempre minore di un piatto
• non si può costruire un rettangolo
• non vale il teorema di Pitagora
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