Esercizio 1

Esercizio 1
Si lanciano 2 monete. Per ognuna di esse la probabilità di ottenere testa è pari a p ( 0  p  1 ).
Se il risultato del lancio è testa, la moneta viene lanciata una seconda volta.
a) Costruire lo spazio degli eventi elementari
b) Costruire la variabile casuale X= “numero di teste risultanti.”
c) Determinare la funzione di probabilità di X
d) Determinare il numero atteso di teste nel caso in cui la moneta non sia truccata
Soluzione
a) b)Per entrambe le monete i possibili risultati sono
(TC), (TT), T
I possibili risultati dell’esperimento sono dati da
C
(TC)
(TT)
C
 3 =C,(TT)
2 =C,(TC)
1 =C,C
4 = (TC),C  5 = (TC),(TC)  6 = (TC),(TT)
(TC)
(TT) 7 = (TT),C
 8 = (TT),(TC)  9 = (TT),(TT)
X :    , con  ={0,1,2,3,4}
c)
La funzione di probabilità di X è data da una funzione  :     definita da (x)  PX  x e
gode delle seguenti proprietà

 ( x)  0

 ( x)  0 tranne al più per un' infinità numerabile di valori (cioè tranne per x  R X )
   ( x)    ( x) 1
 x
xR X
 (0)  P1   1  p 2
 (1)  P 2   P 4   p1  p 1  p   1  p  p1  p   2 p1  p 2
 (2)  P3  P5  P7   1  p p 2  p 2 1  p2  p 2 1  p  21  p p 2  p 2 1  p2
 (3)  P 6   P 5   P8   21  p  p 3
 (4)  P 9   p 4
d)
2
2
E ( X )   x ( x)  2 p1  p   (2) 21  p  p 2  p 2 1  p   (3)( 2)1  p  p 3  4 p 4 

xR X

 2 p 1  p  p2  p3



p 1 / 2
Esercizio 2

13
 1.625
8
Si lanciano 5 monete. Per ognuna di esse la probabilità di ottenere testa è pari a p ( 0  p  1 ).
Se il risultato del lancio è testa, la moneta viene lanciata una seconda volta.
a) Determinare la funzione di probabilità della variabile casuale X= “numero di teste
risultanti al secondo lancio.”
b) Determinare il valore atteso di teste risultanti al secondo lancio nel caso in cui la
moneta non sia truccata
Soluzione
a)Per ogni moneta la probabilità di successo (esce testa) al secondo lancio è la probabilità dell’evento
(T;T) che è pari a p 2 . La variabile casuale X conta il numero di successi in 5 lanci indipendenti.
Quindi X  B 5, p 2
5 
 (k )  P {X=k}=   p 2 k (1  p 2 ) 5k per k=0,1,..5
k 
2
2
b) E(X)= np = 5 p =5/4=1.25


Esercizio 3
Sia X una variabile casuale discreta con funzione di probabilità
c2 -x x  1,2,..
 x   
altrove
0
Determinare
a) il valore della costante c.
b) PX  1
c) il valore più probabile di X
d) la probabilità che X sia pari
Soluzione
a)  :     è una funzione di probabilità se gode delle seguenti proprietà

 ( x)  0

 ( x)  0 tranne al più per un' infinità numerabile di valori (cioè tranne per x  R X )
   ( x)    ( x) 1
 x
xR X
 1
Quindi devo determinare c in modo tale che 1   c 
x 1  2 
z
z
z
 1
 1
1
 2 , da cui
Ricordo che la serie geometrica 1         
x 1 2 
x  0 2 
1  1/ 2
z
z
 1
1
    2  1  1 . Quindi 1  c     c
x 1 2 
x 1 2 
b)
1 1
PX  1=1- PX  1= 1  
2 2
c) Devo determinare max  x   max 2  x

x 1, 2, 3,
x 1, 2, 3,
Il max si ha in corrispondenza di x=1, in quanto la funzione  x   2  x è decrescente


k 1
k 1
d) Devo determinare  PX  2k    2
Esercizio 4
2 k
k
k
 1
1
4
1
1
      1 
1  1 
k 1 4 
k  0 4 
1  1/ 4
3
3

Sia   1 ,  2 , 3  con P1   P2   P3   1 / 3 .
Definiamo X e Y:    come segue
X 1   2, X  2   3, X 3   1
Y 1   2, Y  2   2, Y 3   1
a) Costruire le funzioni di probabilità di X e Y
b) Stabilire se X e Y sono indipendenti
c) Costruire le funzioni di probabilità di Z=X+Y e W=XY
d) Determinare valore atteso e varianza di Z=X+Y
Soluzione
a)
1

 X (1)  P 3   3
1 / 3 se x  1

1 / 3 se x  2
1


 X (2)  P1   , da cui  X x   
3

1 / 3 se x  3
1

0
altrove
 X (3)  P 2   3

1

1 / 3 se y  1
 Y (1)  P 3   3

da cui  Y  y   2 / 3 se y  2

 (2)  P   P   2
0
altrove
Y
1
2

3

b)
X\Y
1
2
3
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
P X  1, Y  1  P3   1 / 3
P X  1, Y  2  0
P X  2, Y  1  0
P X  2, Y  2  P1   1/ 3
P X  3, Y  1  0
P X  3, Y  2  P2   1/ 3
Quindi
X\Y 1
2
1
1/3 /
2
/
1/3
/
1/3
3
X e Y non sono indipendenti . Ad esempio 0  P X  1, Y  2  P X  1PY  2 
c)
Z=X+Y 1
1
2
2
3
4
3
Sia Z=X+Y
2
3
4
5
12
33
 Z (2)  P X
 (3)  P X
 Z

 Z (4)  P X
 Z (5)  P X
 1, Y  1  1 / 3
1 / 3
1 / 3
 1, Y  2  P X  2, Y  1  0

, da cui  Z z   
 2, Y  2  P X  3, Y  1  1 / 3
1 / 3
0
 3, Y  2  1 / 3
W=XY 1 2
1
1 2
2
2 4
3 6
3
Sia W=XY
W (1)  1 / 3
1 / 3
 (2)  0
W
1 / 3


W (3)  0 , da cui W w  
1 / 3
 (4)  1 / 3
W
0

 W 6  1 / 3
se z  2
se z  4
se z  5
altrove
se w  1
se w  4
se w  6
altrove
d)
1
1
 1  11
E ( Z )   z Z ( z )  (2)   (4)   (5)   =3.667
zR z
3
3
3 3
4  16  25  11 
Var (Z )  E ( Z )  E ( Z )   z  Z ( z )  E ( Z ) 
    1.556
zR z
3
3
2
2
2
2
2
Esercizio 5
Ad un concorso i candidati devono rispondere a 30 domande con risposte Vero\Falso.
Vengono assegnati 0 punti per ogni risposta errata o non data e un punto per ogni risposta
esatta. Un candidato risponde esattamente a 15 domande ed ad altre 10 in modo casuale.
(a) Determinare la funzione di probabilità della variabile casuale “punteggio finale del
candidato”
(b) Calcolare la probabilità che il punteggio finale sia 23.
Soluzione
(a) Sia N la variabile casuale “numero di risposte esatte2 su 10 domande, ossia “numero di successi” su
10
Prove con probabilità di successo in ogni singola prova pari a 1/2 . Quindi N  B10,1 / 2
Sia X la variabile casuale “punteggio finale del candidato” .
Si ha X  N  15
x 15
10 x 15
10  1   1 
 (x)  PX  x  PN  15  x  PN  x  15  
   
per x=15,16,..25
 x  15  2   2 
10
10
 1 
 

da cui  (x)   x  15  2 

0
x  15, ,25
altrove
10  1 
10  9  8  1 
(b) Devo determinare PX  23     
   0.117
6 2
 7  2 
10
10
Esercizio 6
Sia X una variabile casuale di Poisson di parametro  . Sapendo che PX  1  P{X  2}
calcolare PX  4.
Soluzione
La funzione di probabilità di X è data da
 e  x
x  0,1,2,.....

 x    x!
0
altrove

e  
e   2
 PX  1  P{X  2} =
1!
2!
2
da cui 2     2     0  Dal momento che  >0, l’unica soluzione accettabile è   2 .
e 2 2 4
Quindi PX  4=
=0.090
4!
Esercizio 7
Due centralini telefonici, tra loro indipendenti, ricevono nell’unità di tempo un numero di
chiamate X e Y di legge di Poisson di parametri rispettivamente  e  . Supponiamo   2 e
  4.
(a) Determinare la probabilità che nell’unità di tempo i due centralini ricevano insieme non
più di tre telefonate.
(b) Sapendo che nell’unità di tempo i due centralini hanno ricevuto 8 telefonate, qual è la
probabilità che il primo ne abbia ricevute x? Per quali valori di x questa probabilità è
massima?
Soluzione
(a) X e Y sono v.c indipendenti di legge di Poisson di parametri rispettivamente   2 e   4 .
Quindi X  Y  P     P6
La funzione di probabilità di X  Y è
 e         k
k  0,1,2,.....

 k   
k!
0
altrove

e 6 6 k
e 6 6 2 e 6 6 3
 e -6  6e 6 

 e -6 1  6  18  36  0.151
k 0
k!
2!
3!
(b) Devo determinare
PX  x | X  Y  k  PX  x, Y  k  x
PX  x | X  Y  k  


PX  Y  k 
PX  Y  k 
3
P{X+Y  3}= 
e   x e    k  x
PX  xPY  k  x
k!
x
 kx
x! k  x !

     


PX  Y  k 
   k x!k  x !    x    k  x
e
k!
 k   

  
 x     
x

 
1 

 
k x
per x  0,, k

 
 1
Quindi si tratta di una B k ,
  B k , 
 3
 
 1
( X | X  Y  8 )~ B 8, 
 3
x
8 x
 8  1   2 
PX  x | X  Y  8=      =  x 
 x  3   3 
x 1
8 x 1
x
8 x
 8  1   2 
 8  1   2 
32  x 
   
0
      
2x  1
 x  1 3   3 
 x  3   3 
Il denominatore è sempre >0 (x=0,…8). Il numeratore è >0 per 2  x  0 , cioè per x  2 . Quindi
finchè x cresce, ma non raggiunge 2, cioè per, x  0,1 la probabilità  x  cresce
D’altra parte  x  1   x  x  2 e  x  1   x  x  2 .
Quindi in questo caso i valori in corrispondenza a cui la probabilità è massima sono x  2 e x  3
 x  1   x  