Esercizio 1 - statistica@unimib

Esercizio 1
Una moneta non truccata viene lanciata 6 volte.
a) Costruire la variabile casuale X “numero di croci nei 6 lanci”
b) Determinare la funzione di probabilità di X
c) Determinare il numero atteso di croci
d) Determinare la varianza di X
Soluzione
a)b)   (1 ,6 ) : i  0,1
X : 
con  ={0,1,2,3,4,5,6}
Si tratta di una successione di lanci indipendenti con probabilità di successo in ogni singolo lancio
data da
p=P{C}=1/2
 1
Quindi X è una variabile casuale di legge binomiale di parametri n=6 ,p=1/2: X  B 6, 
 2
 6  1  x  1  6 x
    
 ( x)   x  2   2 

altrove
0
1
c) E ( X )  np  6   3
2
per x  0,1,2,...6
 1  1  1
d) Var ( X )  np(1  p )  2   
 2  2  2
Esercizio 2
Supponiamo che nel gioco del lancio di due monete non truccate un giocatore vinca 1 Euro se si
presentano due croci, perda 50 centesimi se si presentano due teste, mentre non vinca né perda in
tutti gli altri casi. Determinare il guadagno atteso.
Soluzione
I possibili risultati dell’esperimento sono dati da
T
C
T (T,T) (T,C)
C (C,T) (C,C)


  (T , T )(T , C )(C , T ), (C , C )
   
 1 2 3
 4 

Sia X=guadagno
X 1   1 X 2   0 X 3   0 X 4   0.5
Il condominio di X è dato da RX   0.5,0,1
La funzione di probabilità di X è data da una funzione  :     definita da (x)  PX  x e
gode delle seguenti proprietà

 ( x)  0

 ( x)  0 tranne al più per un' infinità numerabile di valori (cioè tranne per x  R X )
   ( x)    ( x) 1
 x
xR X
1
 (0.5)  PX  0.5  P 4  
4
1
 (0)  PX  0  P 2   P3  
2
1
 (1)  PX  1  P1  
4
Quindi
se x  0.5
1 / 4
1 / 2
se x  0

 (x)  
se x  1
1 / 4
0
altrove
1
1
1 1
E ( X )   x ( x)  (0.5)   (0)   (1)   =0.125 centesimi di Euro
4
2
4 8
xR X
Esercizio 3
Sia X una variabile casuale discreta con funzione di probabilità
x0
c
c  0.3
x 1

 x    3
x2
2 c

0
altrove
Determinare
a) il valore della costante c.
b) il valore atteso di X
c) la varianza di X
d) la funzione di ripartizione di X
e) la funzione di probabilità di Y  3X  1
Soluzione
a)  :     è una funzione di probabilità se gode delle seguenti proprietà

 ( x)  0

 ( x)  0 tranne al più per un' infinità numerabile di valori (cioè tranne per x  R X )
   ( x)    ( x) 1
 x
xR X
Quindi deve essere
0.2
0.5
3

c  c  0.3  c  1  c  0.2    x   
2
0.3
0
b)
E ( X )   x ( x)  0.5  0.6  1.1
x0
x 1
x2
altrove
xRX
c)
Var (X )  E ( X 2 )  E ( X ) 2   x 2 ( x)  E( X ) 2 
xRX
 (0) 0.2  (1) 0.5  (2) 0.3  1.7  (1.1) 2  0.49
d) La funzione di ripartizione di X è data da
(t )    ( x)
2
2
2
x t
per t  0
0
0.2
per 0  t  1

(t )  
per 1  t  2
0.7
1
per t  2
e) Y=3X+1. Determiniamo il condominio di Y : RY  1,4,7
Y (1)  P {Y=1}=P{ X =4}=0.2
Y (4)  P{Y=4}=P{ X =1}=0.5
Y (7)  P{Y=2}=P{ X =2}=0.3
0.2
0.5

Y ( y)  
0.3
0
se y  1
se y  4
se y  7
altrove
Esercizio 4
Una moneta non truccata viene lanciata 4 volte. Si definiscano le variabili casuali:
X= numero totale delle teste
Y = 1 se il numero di teste è uguali al numero di croci
=-1 se il numero di teste è diverso dal numero di croci
a) Costruire la funzione di probabilità di Y
b) Determinare media e varianza di Y
c) Stabilire se X e Y sono indipendenti.
Soluzione
a) Si tratta di una successione di lanci indipendenti con probabilità di successo in ogni singolo
lancio data da p=P{T}=1/2
 1
Quindi X è una variabile casuale di legge binomiale di parametri n=4 ,p=1/2: X  B 4, 
 2
se X  2
- 1

Y  1
se X  2
0
altrove

 4  1 
Y (1)  P {Y=1}=P{ X =2}=     0.375
 2  2 
Y (1)  P{Y=-1}=1-P{ X =2}=0.625
b) E (Y )   yY ( y)  (1)(0.375)  (1)(0.625)  0.25
4
yR y
Var (Y )  E (Y 2 )  E (Y ) 2   y 2Y ( y )  E (Y ) 2  0.375  0.625  (0.25) 2  0.9375
yR y
c)
Y\X
-1
1
 X (x)
0
0.0625
0
0.0625
1
2
0.25
0
0
0.375
0.25 0.375
3
0.25
0
0.25
4
Y ( y)
0.0625 0.625
0
0.375
0.0625
0=P{X=0,Y=1}  P{X=0}P{Y=1}=(0.0625)(0.375)
X e Y non sono indipendenti
Esercizio 5
Quattro domande vengono poste a caso a due studenti in modo tale che ogni domanda abbia la stessa
probabilità di essere posta a ciascuno studente. Sia X la variabile casuale numero delle domande poste al
primo studente. Determinare la funzione di probabilità di X
Soluzione
Siano {A,B,C,D} le domande. Per i=1,2
Ai  ”la domanda A viene posta allo studente i
Bi  ”la domanda B viene posta allo studente i
Ci  ”la domanda C viene posta allo studente i
Di  ”la domanda D viene posta allo studente i
Si ha P( Ai ) =P( Bi ) =P( C i ) =P( Di ) =1/2
Il condominio di X è dato da RX  0,1,2,3,4
1
2
 (0)  PX  0  PA2  B2  C 2  D2    
4
 4  1 
1
 (1)  PX  1     
4
1  2 
4
 4  1 
6
 (2)  PX  2     
16
 2  2 
4
 4  1 
1
 (3)  PX  3     
4
 3  2 
4
 4  1 
1
 (4)  PX  4     
16
 4  2 
 1
In definitiva X  B 6, 
 2
4
Esercizio 6
Sia X una variabile casuale X: X :   0,1 , tale che
PX  0  1 / 3
P{ X  1}  2 / 3
Siano X 1 ,, X 10 delle variabili casuali indipendenti ed equidistribuite aventi la stessa distribuzione di
X. Detta Y= numero di X i  1 , i=1,…,10,
calcolare PY  2, PY  2
Soluzione
X ha legge do Bernoulli
10
Y=
X
i 1
i
rappresenta il numero di successi in 10 prove indipendenti con probabilità di successo pari a
p=2/3
 2
Quindi X è una variabile casuale di legge binomiale di parametri n=10 ,p=2/2: X  B10, 
 3
2
8
10  2   1 
=0.003045
PY  2      
 2  3   3 
0
10
1
9
10  2   1 
10  2   1 
PY  2=1- PY  1  1              0.99964
 0  3   3 
1  3   3 
Esercizio 7
Il numero di errori di battitura di una segretaria ha distribuzione di Poisson con media  per pagina.
Sapendo che la probabilità in una certa pagina non compaiano errori è pari 0.135, calcolare
a) la media 
b) la probabilità che in una certa pagina compaia più di un errore
Soluzione
Sia X =” numero di errori”
X  P 
La funzione di probabilità di X è
 e  x
x  0,1,2,.....

 x    x!
0
altrove

e   0
 e - =0.135 da cui    log 0.135  2
0!
b) P{X>1}=1-P{X=0}=1-0.135=0.865
a) P{X=0}=