Esercizio 1 - statistica@unimib

Esercizio 1
cx (  1)
xr
Sia  x   
xr
0
con r  0,   0
a)Determinare c tale che  x  sia una funzione di densità
b)Determinare la funzione di ripartizione di X
c) Per r    3 , calcolare E(X), Var(X)
Soluzione
a)Una funzione  :    è una funzione di densità di probabilità se e solo se
  0 ,  integrabile su  e  (x)  1 . Dobbiamo quindi determinare c tale che


r
 cx
 1

 x (  1)1 
 x  
r 
  c
  c
=1  c  r 
dx  1  c

(


1
)

1




r

r
r  x (  1)
xr
 x   
xr
0
t
t

t
b) (t )    ( x)dx r  x

 1
r
 x  
t  r 
  r  (
dx r 

)  1  r  t 





r

Quindi
se t  0
0
1

 (t )   t 6-t 
se 0  t  3
9
se t  3
1
3 x 31
c) E(X)=  x ( x)   3 xx dx   3 x dx 
2



1

1
4

3

1
3x 21
E ( X )   x  ( x)dx   3x x dx   3x dx 
1
2



1
2
2

1
4
3
2

2
3
1
2
3
Var(X)= E ( X )  E ( X )  3    =0.75
2
2
2
Esercizio 2
Sia R una variabile casuale di legge uniforme su (0,1), R~ U 0,1 e sia V il volume di una sfera
di raggio R. Determinare il valor medio di V.
Soluzione
La variabile casuale R ha funzione di densità
per 0  x  1
1
 x   
altrove
0
4
Il volume di una sfera di raggio R è dato da V  R 3
3
 
4 1 3
4 r4
4 3 4
3
E(V)= E  R   E R =   r dr  
3 0
3 4
3
 3
1
0
1
 
3
Esercizio 3
La statura X della popolazione degli adulti di sesso maschile residenti in una certa nazione è
una variabile casuale normale con media pari a 174 cm ed il 99% degli individui ha statura
compresa tra 154 cm e 194 cm.
a) Determinare la varianza della statura
a) Determinare il 10° percentile della statura.
Soluzione
a) X ~ N   174,  2


154  174 X  174 194  174 
 20 
 20 
0.99  P154  X  194  P 


        





 
  
 20 
 20 
 20 
    1     2   1
 
 
 
(Per la simmetria della funzione di densità normale si ha ( x)  1  ( x) )
 20  1  0.99
 20 
Quindi devo trovare  tale che   
, cioè tale che    0.995
2
 
 
Risulta
20

 2.58 da cui   7.752 cm
b)
Devo determinare il valore di k tale che PX  k =0.1
 X  174 k  174 
 k  174 
 174  k 
0.1  P{ X  k}  P 

  1  

  
7.752 
 7.752
 7.752 
 7.752 
 174  k 
da cui 
  0.9
 7.752 
174  k
 1.29  k  164
da cui
7.752
Esercizio 4
Una ditta confenziona scatole di caffè il cui peso si distribuisce normalmente con valor medio
pari a 1 Kg e con deviazione standard di 6 grammi. Sapendo che la legge impedisce di mettere
in commercio col peso dichiarato di 1 Kg, confezioni che contengono meno di 985 grammi,
quante confezioni in media, ogni mille, non potranno essere messe in commercio?
Soluzione
Sia X la variabile casuale peso
X ~ N   1000,  6
 X  1000 985  1000 
P{ X  985}  P 

   2.5  1  2.5  1  0.994  0.006
6
6


Quindi su mille confezioni, 6 non potranno essere messere in commercio
Esercizio 5
Sia X la durata in anni della batteria di un cellulare. Si supponga che X segua una distribuzione
esponenziale con durata media 4 anni.
a) Determinare la probabilità che una batteria durata 2 anni duri, complessivamente, più
di 4 anni
b) Quando una batteria si guasta, viene sostituita da una nuova dello stesso tipo, che
funziona indipendentemente dalla precedente. Calcolare la probabilità che usando 2
batterie la durata complessiva sia superiore a 6 anni. Calcolare media e deviazione
standard della durata complessiva
Soluzione
a) X è una variabile aleatoria di legge esponenziale di parametro  =1/4=0.25
Devo determinare
4
1   e x dx
1  e x | 04 e  4
PX  4, X  2 PX  4
1
0
PX  4 | X  2 



  2  e  2  1 / 2 
2
x 2
PX  2
PX  2 1  e x dx 1  e | 0 e
e

0
 0.607
b) Sia Y  X 1  X 2 la variabile casuale durata complessiva, con X 1 , X 2 indipendenti di legge
esponenziale di parametro  =1/4
Y è una variabile casuale di legge gamma di parametri   2 ,   1/ 4 .
1
 x
    1 x
1
4
x
e

x
e
per 0  x  

Y x     
162
0
altrove

6
 1 x 6 6 1 x 
2
x
2
PY  6  1  PY  6  1    x e dx  1    xe
  e dx  
0
0
0
 

 6 6  1 x  6 
1
1
 6
 1    e    2 e    1   2  e 6  2 e 6  2   1  6  1e 6  1 

 
 
 0 
 
 
2
 6  1e 6  2.5e 3 / 2  0.558
(Si ricordi che la funzione   è tale che    (  1)  1 per   1 . Inoltre per valori di 
interi (   n ) si ha n  (n  1)! )

8


Var ( X )  2  32

E( X ) 
Esercizio 6
Una fabbrica possiede due diverse linee di produzione che producono elementi esteriormente
indistinguibili, ma di qualità diversa. I pezzi prodotti dalla linea A sono il 70% del totale e
hanno un tempo di vita distribuito secondo una legge esponenziale di parametro  . I pezzi
prodotti dalla linea B sono il rimanente 30% e hanno un tempo di vita distribuito secondo una
legge esponenziale di parametro    .
a) Un pezzo viene scelto a caso e indichiamo con T il suo tempo di vita. Qual è la
probabilità che T  t ?
b) Calcolare il valor atteso di T.
Soluzione
a)
Siano X A , X B i tempi di vita dei pezzi provenienti dalla linea A e dalla linea B rispettivamente.
X A ~Esp(  ) , X B ~Esp(  )
PX A  t  FX A (t )  1  e t
PX B  t  FX B (t )  1  e  t
PT  t  PT  t | APA  PT  t | BPB  PX A  tPA  PX B  tPB 
 1  e t 0.7  1  e  t 0.3  0.7  0.3  0.7e t  0.3e  t  1  0.7e t  0.3e  t
per t  0 .
b)
Bisogna determinare la densità di T. Al punto a) abbiamo calcolato la funzione di ripartizione.
Derivando si ottiene la densità:
0.7e t  0.3e  t
per 0  t  
T t   
altrove
0


0.7 0.3
E T    tT t dt   t 0.7e t  0.3e  t dt 



0


