Esercizio 1. Sia X1, ..., Xn un campione casuale

Soluzioni del Tutorato di Statistica 1 del 15/11/2010
Docente: Prof.ssa Enza Orlandi
Tutore: Dott.ssa Barbara De Cicco
Esercizio 1.
Sia X1 , ..., Xn un campione casuale dalla distribuzione Poissoniana di
parametro λ.
1. Determinare
Pnla funzione generatrice dei momenti e la distribuzione di S = i=1 Xi .
P
−λ x
t
mX (t) = E[etX ] = ni=1 etx e x!λ = eλ(e −1)
Pn
t
S = i=1 Xi quindi S ∼ P o(nλ) da cui E[etS ] = enλ(e −1) .
2. Si calcoli lo stimatore per λ con il metodo dei momenti.
0
0
µ1 = λ e M1 = X̄ da cui otteniamo che Tθ̂ = X̄.
3. Si calcoli lo stimatore di massima verosimiglianza
per λ.
Pn
Qn e−λ λxi
Qn
i=1 Xi
e−nλ
λ
L(λ) = i=1 f (xi , λ) = i=1 xi ! = Qn xi !
i=1
Passando al logaritmo
Qn
Pn si ottiene:
logL(λ) = −nλ + i=1 xi log(λ) − log i=1 xi !
derivando
Pn in λ si ha:
Pn
xi
i=1 xi
−nλ + λ = 0 da cui otteniamo che λ̂ = i=1
= X̄.
λ
4. Trovare una statistica sufficiente.
Poichè la distribuzione di Poisson appartiene alla famiglia esponenziale,Qinfatti si può scrivere
Pncome: Q
n
n
1
−nλ
i=1 xi logλ
L(λ) = i=1 f (xi , λ) =
i=1 x!
Pen e
Si ha quindi che S = i=1 Xi è una statistica sufficiente.
5. Determinare un UMVUE di λ.
Dalla disuguaglianza di Cramer-Rao si ottiene:
0
λ)2
1
1
V ar[T ] ≥ nE[( ∂(τlogf
= nE[(−1+
=
X
X2
)]
(x,λ))2 ]
λ
∂λ
nE[1+
λ2
− 2X
]
λ
=
λ
n
Ora poichè X̄ è uno stimatore non distorto di λ e la sua varianza coincide con quella del limite inferiore di Cramer-Rao, allora
possiamo concludere che X̄ è un UMVUE per τ (λ) = λ.
6. Dimostrare
P che le statistiche
T1 = n1 ni=1 1(0) (Xi )
1
Pn
T2 = ( n−1
)
n
i=1 (Xi )
sono stimatori non distorti di τ (λ) = e−λ . Determinare un UMVUE di τ (λ).
P
P
E[T1 ] = E[ n1 ni=1 1(0) (Xi )] = n1 ni=1 P (Xi = 0) = e−λ .
Pn
P+∞ n−1 s −nλ (nλ)s
i=1 (Xi ) ] = E[( n−1 )S ] =
E[T2 ] = E[( n−1
)
=
s=0 ( n ) e
n
n
s!
−nλ λ(n−1)
−λ
e e
=e .
Quindi T1 e T2 sono due stimatori non distorti per τ (λ) = eλ .
Poichè T2 è uno stimatore non distorto di τ (λ) = eλ ed inoltre
è funzione di S statistica sufficiente, allora T2 è un UMVUE per
τ (λ) = eλ .
7. Calcolare il limite inferiore di Cramer-Rao per lo stimatore di e−λ .
−2λ
(−e−λ )2
V ar[T ] ≥
= λen .
X2
2X
nE[1+
λ
−
λ
]
Esercizio 2.
Sia X1 , ..., Xn un campione casuale da f (x, θ) = 1θ e−x/θ 1(0,∞) (x)
1. Dimostrare che le statistiche θˆ1 , ..., θˆ4 sono stimatori non distorti
di θ e calcolarne gli errori quadratici medi relativi M SE(θˆi ).
2
2
θˆ1 = X1 ; θˆ2 = X1 +X
; θˆ3 = X1 +2X
; θˆ4 = X̄
2R
3
+∞
E[θˆ1 ] = E[X1 ] = 0 x 1θ e−x/θ dx = θ
2
E[θˆ2 ] = E[ X1 +X
] = 12 E[X1 ] + 21 E[X2 ] = θ
2
2
E[θˆ3 ] = E[ X1 +2X
] = 31 E[X1 ] + 23 E[X2 ] = θ
3
E[θˆ4 ] = E[X̄] = θ
Quindi θˆ1 , ..., θˆ4 sono stimatori non distorti di θ.
2. Dimostrare che θˆ4 è una statistica sufficiente e trovare l’ UMVUE
per θ.
La
alla
P
Qn famiglia esponenziale infatti:
Qn distribuzione1 appartiene
xi
n − θ1 n
i=1
i=1 10,∞ (xi )
i=1 (xi , θ) = ( θ ) e
P
Per cui si ha che S = ni=1 Xi è una statistica sufficiente.
Per la disuguaglianza di Cramer-Rao si ha:
2
1
V ar[T ] ≥ nE[(− 11+ X )2 ] =
= n1 = θn
1
X2
2X
θ
θ2
nE[
θ2
+
θ4
−
θ3
]
θ2
Poichè θˆ4 è uno stimatore non distorto di θ e la sua varianza
2
coincide con il limite inferiore di Cramer-Rao, infatti V ar[θˆ4 ] =
θ2
, si ha che θˆ4 è un UMVUE per τ (θ) = θ.
n
3. Trovare un UMVUE per V ar(Xi ).
V ar[Xi ] = E[Xi2 ] − E[Xi ]2 = 2θ2 − θ2 = θ2
Scegliamo come possibile stimatore di θ2 , X̄ 2
Poichè è distorto infatti:
E[X̄ 2 ] = V ar[X̄] − E[X̄]2 = θ2 ( n1 + 1)
n
lo correggiamo e poniamo: Tθˆ2 = n−1
X̄ 2 .
Adesso P
Tθˆ2 è uno stimaotre non distorto di θ2 ed inoltre è funzione
si S = ni=1 Xi , statistica sufficiente trovata al punto (2) dell’esercizio, quindi concludiamo che Tθˆ2 è un UMVUE di τ (θ) = θ2 .
Esercizio 3.
Sia X1 , ..., Xn un campione casuale da:
f (x, θ) = θxθ−1 1(0,1) (x), θ > 0.
θ
1. Trovate lo stimatore di massima verosimiglianza di µ = 1+θ
.
Q
Qn
Qn
n
θ−1
θ−1
n
1(0,1) (xi )
L(θ) = i=1 f (xi , θ) = i=1 θxi 1(0,1) (xi ) = θ
i=1 xi
Passando al logaritmo si ottiene:
P
P
logL(θ) = nlogθ + (θ − 1) ni=1 logxi + ni=1 log1(0,1) (xi )
Derivando in θ otteniamo:
P
∂
logL(θ) = nθ + ni=1 logxi = 0 da cui: θ̂ = − Pnn logXi
∂
i=1
Per cui invertendo la funzione, si ha che lo stimatore di µ è:
M̂ = Pn −n
.
logXi −n
i=1
2. Trovate una statistica sufficiente.
La
esponenziale infatti:
P alla famiglia
Qn distibuzione appartiene
Qn
n (θ−1) n
i=1 logxi
1
f
(x
,
θ)
=
θ
e
i
i=1
i=1 (0,1) (xi )
Pn
Per cui S = i=1 logXi è una statistica sufficiente.
3. C’ è una funzione di θ per la quale esiste uno stimatore non distorto la cui varianza coincide con il limite inferiore di Cramer-Rao?
Dalla disuguaglianza di Cramer-Rao si ottiene:
1
1
V ar[T ] ≥ nE[( 1 +logX)
2 ] = nE[ 1 +log2 X+ 2 logX]
θ2
θ
θ
Calcoliamo quindi la distribuzione di Y = −logX R
1
P (Y ≤ y) = P (−logX ≤ y) = P (X ≥ e−y ) = e−y xθxθ−1 =
θ
(1 − e−y(θ+1) )
θ+1
d
La densità è: fY (y) = dy
FY (y) = θe−θy 1(0,+∞) (y).
Per cui Y ∼ Exp(θ).
1
θ2
Allora V ar[T ] ≥ nE[ 1 +log21 X+ 2 logX] = nE[ 1 +Y
2 − 2 Y ] = n . Ora sia
θ2
θ
3
θ2
θ
P
Z = Yn , ni=1 Zi ∼ Γ(n, nθ) infatti:
R nz
Rz
P (Z ≤ z) = P ( Yn ) ≤ z) = P (Y ≤ nz) = 0 θeθx dx = 0 θe−θny dy
Avendo effettuato il cambio di variabili
Pn x = ny.
∗
Quindi Z ∼ Exp(nθ) da cui Z = i=1 Zi ∼ Γ(n, nθ).
E[Z ∗ ] = 1θ
V ar[Z ∗ ] = nθ1 2
Osserviamo quindi che Z ∗ è uno stimatore non distorto di 1θ , dalla
disuguaglianza di Cramer-Rao si ha:
(
1
)2
1
= V ar[Z ∗ ].
V ar[T ] ≥ θn2 = nθ
θ2
Quindi una funzione del parametro θ per la quale esiste uno stimatore non distorto che raggiunge il limite inferiore di Cramer-Rao
è 1θ .
4. Trovate l’UMVUE di θ e di 1θ .
Troviamo ora l’UMVUE per θ, cerchiamo quindi uno stimatore
non distorto
θ:n
R +∞ 1di(nθ)
n
= n−1
θ.
E[θ̂] = 0 x γ(n) xn−1 e−nθx dx = nθ Γ(n−1)
Γ(n)
Lo correggiamo:
θ̂∗ = n−1
θ̂ è quindi lo stimatore non distorto di θ ed essenn
do funzione della statistica sufficiente S trovata al punto (2),
concludiamo che θ̂∗ è l’UMVUE di θ.
4