STATISTICA II
STATISTICA MATEMATICA
PROVA SCRITTA DEL 21/2/2005
Esercizio 1 (Riservato agli studenti di Statistica Matematica che non hanno sostenuto l’esame di Statistica e Calcolo delle Probabilità)
Siano A e B due eventi con probabilità pari rispettivamente a 1/2 e 1/3. Si calcoli la
probabilità dell’unione dei due eventi in ciascuno dei seguenti casi:
(1.1) A e B sono incompatibili;
(1.2) A e B sono indipendenti;
(1.3) P(A | B) = 1/4.
Esercizio 2 (Riservato agli studenti di Statistica Matematica)
(2.1) Si trovi il valore della costante k per cui la funzione
(x) = 1 / x
(1<x<k)
rappresenta la funzione di densità di una v.c. unidimensionale X e se ne determini la
funzione di ripartizione.
(2.2) Si calcolino la mediana, la media e la varianza di X.
(2.3) Si determini la funzione di densità della v.c. Y = log(X) e si calcoli la covarianza tra
X e Y.
Esercizio 3
Si supponga che il tempo di attesa ad uno sportello sia interpretabile mediante una v.c. X con
distribuzione Gamma(2,) e si consideri un campione bernoulliano x1,…,xn proveniente da X.
(3.1) Si costruisca lo stimatore T di massima verosimiglianza per = 1 / .
(3.2) Si stabilisca se lo stimatore T è corretto e consistente per .
(3.3) Si determini l’informazione di Fisher e si verifichi se T è efficiente.
Esercizio 4
Ad un campione di 10 pazienti affetti da una certa malattia è stato somministrato un farmaco
sperimentale. La media campionaria delle durate della malattia è stata di 13 giorni in questo
gruppo e di 20 giorni in un gruppo di controllo rappresentato da un campione di 12 pazienti
non trattati con il farmaco.
Supponendo che le due distribuzioni della durata della malattia siano Normali indipendenti
con la medesima varianza e sapendo che le varianze campionarie corrette nei due gruppi sono
pari rispettivamente a 14 e 25,
(4.1) si fornisca una quantità pivotale per la differenza delle durate medie della malattia e,
sulla base di questa, si costruisca un intervallo di confidenza al 95%;
(4.2) si verifichi l’ipotesi di uguaglianza delle durate medie della malattia al livello di
significatività = 0.05;
(4.3) si verifichi la suddetta ipotesi al medesimo livello contro l’ipotesi alternativa che la
durata media della malattia nei soggetti trattati con il farmaco sia superiore a quella
relativa ai soggetti non trattati.
