Esercitazione 3 1. Sia (X1, ..., Xn) un campione casuale estratto

Esercitazione 3
1. Sia (X1 , ..., Xn ) un campione casuale estratto dalla densità:
f (x; θ) = θe−θx I(0,∞) (x), θ > 0.
(a) Mostrare che T = T (X1 , ..., Xn ) =
ciente per θ.
Pn
i=1
Xi è una statistica suffi-
(b) Trovare, se esiste, l’UMVUE per θ e 1/θ.
2. Sia (X1 , ..., Xn ) un campione casuale estratto dalla densità di Bernoulli.
Si mostri che la statistica T1 = X1 − X2 non è completa, mentre risulta
P
esserlo T2 = ni=1 Xi .
3. Sia (X1 , ..., Xn ) un campione casuale estratto dalla densità :
f (x; θ) =
log θ x
θ I(0,1) (x), θ > 1.
θ−1
(a) Trovate, se esiste, una statistica sufficiente completa.
(b) Trovate, se esiste, una funzione di θ per la quale esista uno stimatore non distorto la cui varianza coincida con il limite inferiore di
Cramèr-Rao.
4. Sia (X1 , ..., Xn ) un campione casuale estratto da una popolazione con
densità di probabilità:
2
x
f (x; θ) =
1−
I(0,θ) (x), θ > 0.
θ
θ
(a) Determinare uno stimatore T = T (X1 , ..., Xn ) di θ con il metodo
dei momenti.
(b) Stabilire se T è distorto e calcolarne l’errore quadratico medio.
5. Sia (X1 , ..., Xn ) un campione casuale estratto dalla distribuzione uniforme nell’intervallo (0, θ). Si mostri che la statistica Yn = max(X1 , ..., Xn )
è completa.
6. Sia (X1 , ..., Xn ) un campione casuale estratto da una popolazione con
densità di probabilità
f (x; θ) = 5−θ θxθ−1 I(0,5) (x), θ > 0.
Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza Θ̂M L di θ.
7. Sia (X1 , ..., X8 ) un campione aleatorio di dimensione 8 estratto da una
distribuzione rettangolare uniforme sull’intervallo [−1, b] , con b > −1.
(a) Determinare uno stimatore T1 di b con il metodo dei momenti.
(b) Stabilire se lo stimatore T1 è distorto.
(c) Calcolare l’errore quadratico medio MSET1 (b).
(d) Considerato poi lo stimatore T2 = 4X̄8 − X3 − X5 + 1, calcolare
l’errore quadratico medio MSET2 (b).
(e) Determinare quale dei due stimatori T1 e T2 di b sia preferibile,
giustificando la risposta.