1. LE DEFINIZIONI
Poiché in un triangolo rettangolo i rapporti tra due lati dipendono solo dalla forma del triangolo, cioè dall’ampiezza dei suoi angoli
acuti, detto α uno degli angoli acuti, si definiscono i seguenti numeri
Seno di α : sen α = cateto opposto ad α Coseno di α : cos α = cateto adiacente ad α
ipotenusa
ipotenusa
B
senα =
cioè (fig. 1)
AB
cos α =
,
OB
O
OA
OB
tangente di α : tg α = cateto opposto ad α
cateto adiacente ad α
tgα =
,
AB
OA
A
Trattandosi di rapporti tra grandezze omogenee, sono numeri puri, senza alcuna unità di misura.
Si osserva che
2
2
( ) ( ) = (OB )
( )
(OB )
2
AB OA
AB + OB
sen α + cos α =
2
OB + OB =
OB
2
•
2
2
2
2
AB
senα OB
AB
=
=
= tgα
cos α OA OA
•
=1
1° RELAZIONE FONDAMENTALE
2° RELAZIONE FONDAMENTALE
OB
Si definiscono anche i reciproci dei numeri precedenti
Cosecante di α = cos ecα =
1
senα
Secante di α = sec α =
1
cos α
Cotangente di α = cot gα =
1
tgα
Attraverso le definizioni e le due relazioni fondamentali è possibile, conoscendo una delle funzioni di un angolo, calcolare tutte le
altre.
5
ESEMPIO: sapendo che senα =
e 90° < α < 180° calcola tutte le altre funzioni di α
13
2
Si ha, dalla 1° relazione fondamentale, cos α = ± 1 − sen α . Poiché α si trova nel 2° quadrante, si sceglierà per il suo coseno il segno meno;
2
25
144
12
5
si ottiene cos α = − 1 − = − 1 −
=−
=−
13
169
169
13
5
5
12
13
13
13
e poi tg α =
=−
; cotg α = −
; sec α = −
; cosec α =
12
12
12
5
5
−
13
ESERCIZI
In ognuno dei seguenti casi trova tutte le funzioni di α
4
3
3
e π < α < π R. sen α = − , ecc.
2
5
5
7
24
c) sen α =
e 0° < α < 90° R. cos α =
, ecc.
25
25
a) cos α = −
2
5
e α ∈ 4°quadrante R. sen α = −
, ecc.
3
3
tgα
9 π
9
d) tg α = −
e
< α < π (ricorda che senα =
) R. sen α=
,..
41
40 2
± 1 + tg 2α
b) cos α =
2. LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
E’ la circonferenza disegnata sul piano cartesiano con il centro nell’origine O degli assi e raggio uguale all’unità di misura del sistema
di riferimento; la sua equazione è x 2 + y 2 = 1 . Il punto E(1,0) di intersezione della circonferenza con il semiasse positivo delle x si
dice origine degli archi, e ogni altro punto B della circonferenza permette di individuare l’angolo al centro EOˆ B = α ,di tracciare il
segmento BA┴ OE e di interpretare i numeri appena definiti come misure di segmenti associati al punto B.
Risulta così senα = y B e cos α = x B .
Tracciata la retta t tangente alla circonferenza in E, il prolungamento del raggio OB incontra la retta t in T, e si ha
tgα =
TE
= yT .
OE
Tracciata poi la retta c tangente alla circonferenza nel punto F(0,1), il prolungamento del raggio OB incontra la retta c in Q, e si ha
FQ
= xQ .
OF
Tracciata infine la retta s tangente alla circonferenza in B, che interseca gli assi x e y rispettivamente in S ed S’, si ha
sec α = x S e cos ecα = y S '
cot gα =
3. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
Muovendo B sulla circonferenza si possono studiare la variazioni delle funzioni goniometriche al variare di α, individuarne alcune
proprietà importanti ed ottenere i relativi grafici. In particolare si osserva che :
•
−1 ≤ senα ≤ 1 e −1 ≤ cos α ≤ 1
•
tgα e cotgα possono assumere qualsiasi valore, però non esiste la tangente per i multipli dispari di 90° e non esiste la
cotangente per i multipli pari di 90°
• secante e cosecante assumono solo valori ≤ −1 oppure ≥ 1
fig. 2 : le variazioni di seno e coseno
fig. 3: la costruzione per punti del grafico di y = senx
fig. 4: i grafici di tutte le funzioni goniometriche
4. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI PARTICOLARI ANGOLI
Tra i triangoli rettangoli alcuni sono particolari, in quanto i loro angoli acuti hanno misure che permettono di stabilire relazioni tra le
misure dei lati e da queste dedurre i valori della funzioni goniometriche. Si tratta di
• triangolo con gli angoli di 30° e 60°: il cateto minore misura metà dell’ipotenusa, e la misura del cateto maggiore è il
•
prodotto tra quella del cateto minore e 3
triangolo con gli angoli di 45° : i cateti hanno misure uguali, e la misura dell’ipotenusa è il prodotto tra quella del cateto e
2
Si possono così calcolare le misure delle funzioni di angoli particolari
angolo
0° (0 radianti)
30° (
45° (
60° (
90° (
seno
0
1
2
coseno
1
tangente
0
3
2
3
3
radianti)
2
2
radianti)
3
2
2
2
1
2
radianti)
1
0
π
radianti)
6
π
4
π
4
π
2
ESEMPIO: calcola l’espressione
1
3
non esiste
4sen230°-sec60°+ 2 cosec45°+cos90° -3sec0°+cotg45° =
2
1
1
1
2
1
4⋅ − + 2 ⋅
+ 0 − 3⋅ +1 = 1− 2 + 2 ⋅
+ 0 − 3 + 1 = 1 − 2 + 2 + 0 − 3 + 1 = −1
1
2
1
2
2
2
2
ESERCIZI Calcola il valore delle seguenti espressioni
1
1)
3 cos 30° − 3 sec 60° − sen45° + cos 60° ⋅ cos ec45° − 8sen 2 30° R. − − 2 3
2
1
1
2)
sec 45° − cos 45° − 2 cos 2 30° + 3 cos ec60° − 3tg 30° + 3 cot g 60° R.
2
2
5. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE DEGLI ANGOLI ASSOCIATI
Sulla circonferenza goniometrica, preso un angolo EOˆ B = α , si considerano B’, B’’, B’’’, rispettivamente simmetrici di B rispetto
all’asse y, all’origine e all’asse x; questi punti individuano gli angoli associati ad α , e precisamente di ampiezze 180°- α, 180°+ α,
360°- α (oppure - α).In modo analogo si ottengono altri angoli associati ad α disegnando il simmetrico di B rispetto alla bisettrice del
1° e 3° quadrante o sommando 90° ad α. Le funzioni goniometriche di tali angoli si possono ottenere da quelle dell’angolo α mediante
specifiche formule:
Supplementari:
Differiscono di 180°:
Esplementari:
Opposti:
Complementari:
Differiscono di 90°
α e 180°- α
α e 180°+ α
α e 360°- α
αe -α
α e 90°- α
α e 90°+ α
sen(180°- α)= sen α
sen(180°+ α)= - sen α
sen(360°- α)= - sen α
sen(- α)= - sen α
sen(90°- α)= cos α
sen(90°+ α)= cos α
cos(180°- α) = - cos α
cos(180°+ α) = - cos α
cos(360°- α) = cos α
cos(- α) = cos α
cos(90°- α) = sen α
cos(90°+ α) = - sen α
tg(180°- α) = -tg α
tg(180°+ α) = tg α
tg(360°- α) = -tg α
tg(- α) = -tg α
tg(90°- α) = cotg α
tg(90°+ α) = - cotg α
ESEMPIO Calcola l’ espressione cos(-α) + cos(360°- α) + cos(180- α) - cos(180+ α) = cos α + cos α + (- cos α) – (-cos α) = 2cos α
ESERCIZI Calcola il valore delle seguenti espressioni
1) sen(90°+α)tg(- α) + cos(360- α)cotg(90°- α) –cos(- α)sen(90°- α) R. − cos 2 α
2)
sen(−α ) + cos(180° − α ) − tg (180 + α )
R. 1
tg (180° − α ) − cos(90° − α ) − cos(− α )
3) Calcola tutte le funzioni degli angoli associati a quelli particolari, cioè degli angoli di 120°, 135°, 150°, 210°, 225°, 240°, 300°, 315°, 330°.
