Teorema del Massimo trasferimento di Energia

Teorema del Massimo trasferimento di Energia.
Questo teorema consente di determinare il valore dell’ impedenza di carico che in un
determinato circuito consente il massimo trasferimento di potenza. Esamineremo alcuni casi:
a) Si consideri il semplice circuito di figura, costituito da un generatore di tensione V e da
una resistenza R e si calcoli il valore della resistenza di carico che consente il massimo
trasferimento di
potenza.
I=
V
R + R1
VAB =
P = R1I 2 = VAB I =
V
R1
R + R1
A
V 2 R1
( R + R1 ) 2
2
2

dP V ( R + R1 ) − 2 R1 ( R + R1 ) 
R 2 − R12 2
=
=
V =0
4
4
dR1
( R1 + R )
( R + R1 )
B
se e solo se R = R1
d’altronde:
d 2P
dR12
R = R1
=−
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<0
R13
cioè: la condizione R = R1 implica il massimo trasferimento di potenza.
b) Si consideri ora il caso in cui l’impedenza del generatore sia del tipo: Z g = Rg + iX g e si
trovi la condizione di massimo trasferimento di potenza su un carico resistivo R1 :
I=
Vg
Rg + R1 + jX g
I =
(R
g
Vg
+ R1 ) 2 + X g2
Pertanto, l’espressione della potenza sul
carico R1 è:
P = R1I =
2
(R
g
Vg2
+ R1 ) + X g2
2
1
Rg2 + X g2 − R12
dP
=
=0
2
2
dR1 
2
( Rg + R1 ) + X g 
se e solo se: R1 = Rg2 + X g2
Pertanto, il massimo trasferimento di potenza si ha quando la resistenza di carico è uguale al valore
assoluto dell’impedenza del generatore Vg.
c) Si consideri il caso in cui l’impedenza del generatore sia Z g e l’impedenza del carico
sia Z L :
si ha allora:
I =
I=
Vg
Rg + R1 + j ( X g + X 1 )
Vg
(R
g
+ R1 ) + ( X g + X 1 )
P = R1 I =
2
2
(R
g
g
g
2
Vg2 R1
+ R1 ) + ( X g + X 1 )
2
2
Se si ritiene costante R1 , la condizione di massimo trasferimento di potenza è X 1 = − X g e, in tale
circostanza, la potenza sul carico vale:
PMAX =
Vg2 RL
(R
g
+ RL )
2
Se si considera R1 variabile, la condizione di massimo è Rg = R1 e X 1 = − X g , quindi Z L = Z g* .
Se, infine, si considera il caso di impedenza di carico con parte reattiva costante, si ha:
P = R1 I 2 =
Vg2 R1
(R + R ) + ( X
2
1
(
g
1
+ Xg )
2
)
2
2
2
dP Vg R1 − Rg − ( X g + X 1 )
=
=0
2
2 2
dR1 

( R + Rg ) + ( X g + X1 ) 
 1
se e solo se: R1 = Rg2 + ( X g + X 1 )
2
2
Perciò il massimo trasferimento di potenza si ha quando R1 è pari al valore assoluto di tutta
l’impedenza della rete.
2
Teorema della compensazione
Le Figure (a) e (b) di seguito riportate, si riferiscono al ‘Teorema di compensazione’ che
afferma:
Una impedenza Z a percorsa da una corrente I, può essere sostituita
un generatore di tensione di valore Z a I .
Analogamente, se ai capi di una impedenza Z vi è una tensione V,
l’impedenza può essere sostituita da un generatore di corrente pari
aV Z .
Vc=ZaI1
Teorema di sovrapposizione
Questo importante teorema riguarda le reti governate da leggi lineari in regime stazionario o
in regime non stazionario.
Esso afferma che, se in una rete lineare agiscono contemporaneamente generatori di tensione
e generatori di corrente, la tensione totali tra due nodi qualsiasi della rete (o le correnti nei diversi
rami) è la somma delle tensioni (delle correnti) che scorrerebbero se i generatori fossero attivi uno
alla volta o più di uno alla volta.
Per esempio, la risposta di un determinato circuito a un segnale complesso scomponibile in
sinusoidi è la somma delle risposte ottenibili da ciascuna di esse, pensate come se agissero
indipendentemente.
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Come esempio, si consideri il seguente circuito e si calcoli la corrente che attraversa R3
G
I1
H
I2
Le equazioni di questo circuito sono:
9 = 6i1 + 3i2

4,5 = 3i1 + 6i2
9 = 3i1 + 3i1 + 3i2

4,5 = 3i2 + 3i2 + 3i1
Esse ammettono come soluzioni i1 = 1,5 A e i2 = 0
Applicando il Principio di sovrapposizione, si ha:
I 1 = 2 A ; V AB = 1.5 * 2 = 3V
G
I1
I R3 = 3V / 3Ω = 1A
I 2 = 1A ; V AB = 1,5 *1 = 1,5V
H
I2
I R£ = 1,5V / 3Ω = 0,5 A
i R3TOT = (1 + 0,5) A = 1,5 A
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Teoremi di Thevenin e Norton.
Data una rete lineare a due terminali A e B formata da generatori indipendenti e resistenze,
essa è equivalente ad un generatore ideale (con resistenza interna nulla) con in serie un resistore di
valore opportuno di seguito specificato.
Per quanto attiene al generatore, la d.d.p. che esso genera è quella che si osserva o si deduce
ai morsetti A e B lasciati aperti, cioè con resistenza di carico infinita.
Per quanto attiene la resistenza, essa è uguale a quella che si misura o si calcola ai morsetti
A e B una volta che i generatori di tensione siano stati disattivati, ovvero una volta che ad essi siano
state sostituite le loro resistenze interne, nulle o diverse da zero.
Rth può anche essere calcolata facendo il rapporto tra la tensione di Thevenin e la corrente di
cortocircuito, assumibile o deducibile ai morsetti A e B. Rth = Vth / I cc .
Esempio:
Si consideri il circuito di fig. e si determini la corrente che passa sulla resistenza di
carico una volta connessa ai morsetti A e B.
Calcolo della tensione di Thevenin ai morsetti A e B:
Vth = VAB =
V
R2
R1 + R2
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Dai morsetti A e B, cortocircuitando V , si vede una Rth pari a:
Rth =
R1R2
R1 + R2
In definitiva, per quanto riguarda la corrente che scorre sulla resistenza di carico, collegata ai
morsetti A e B si ottiene:
iC =
Vth
Rth + RC
Teorema di Norton.
Questo teorema, dice che una rete lineare attiva costituita da generatori indipendenti e
resistori dotata di due terminali A e B, è equivalente ad un generatore di corrente ideale con
resistenza interna infinita in parallelo ad una determinata resistenza.
Per quanto attiene il valore della corrente del generatore, essa è quella misurabile o
deducibile quando i morsetti A e B sono cortocircuitati, mentre la resistenza di Norton coincide con
quella di Thevenin.
Il passaggio Norton- Thervenin è viceversa immediato. Infatti, supponiamo di avere a
disposizione il circuito equivalente di Norton di una determinata rete, come illustrato in fig.:
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Per verificare l’equivalenza, si colleghi una resistenza RC ad entrambi i circuiti e si calcoli il
valore della corrente I RC :
I RC = I n
Rn RC 1
Rn + RC Rc
I RC =
Vth
I R
= n n
Rn + RC Rn + RC
che risultano ovviamente uguali.
Teorema di Miller
Questo teorema trasforma la rete di fig.a) nella rete di fig. b), lasciando inalterata la tensione ai nodi
ed esprimendo opposizione per le correnti, cioè I1 = − I 2
Ipotesi: supponiamo di conoscere il valore (V2 V1 ) = K , per quanto attiene la corrente I1 , si ha:
I1 =
V1 − V2 V1 (1 − K )
V1
V
=
=
= 1
Z'
Z'
Z ' (1 − K ) Z1
Quindi se Z1 = Z ' (1 − K ) la corrente I1 nel nuovo circuito sarà la stessa I1 del primo circuito.
Analogamente:
1

V2 1 − 
V −V
K  V2 K − 1 V2
I2 = 2 1 = 
=
=
Z'
Z'
Z' K
Z2
quindi: Z 2 = Z '( K ( K − 1)) .
Con questi valori delle impedenze Z1 e Z 2 , i due circuiti sono equivalenti. Questo teorema è
applicabile in pratica se è possibile determinare il valore di K, cioè il rapporto (V2 V1 ) .
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