Prova Scritta di Elettrotecnica

Prova Scritta di Elettrotecnica
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Energia, curr. Elettrico - Università di Pisa
Pisa, 20 Febbraio 2015
Allievo
Matricola
1. La linea di trasmissione senza perdite rappresentata in figura è lunga ` = 1 m ed è alimentata da un generatore di tensione
sinusoidale vs (t) = 24 · sin(2π f · t) V con impedenza interna Rs = 10 Ω e frequenza f = 30 MHz. Noti i parametri per unità di
lunghezza della linea ed il carico a fondo linea, determinare: a) la tensione di ingresso vin (−`,t) della linea e la tensione sul
carico vL (0,t); b) la corrente sul carico iL (0,t); c) la potenza attiva dissipata sul carico.
z = −`
z=0
1m
+
Rs
V̇s
+
c = 200 pF/m;
V̇in
Z L = 50 − j10 Ω
V̇L
l = 2 µH/m;
−
−
2. Il sistema di figura, alimentato da una terna inversa di tensioni concatenate di valore efficace 405 V e frequenza 50 Hz, è
a regime con gli interruttori aperti. Fissando a fase nulla il generatore di tensione sulla fase 1, determinare l’evoluzione
temporale delle correnti di linea i1 (t), i2 (t), e i3 (t) per t ≥ 0, istante in cui entrambi gli interruttori si chiudono.
e1 (t)
e2 (t)
e3 (t)
i1 (t)
R`
i2 (t)
R`
i3 (t)
R`
L`
R1
R` = 0.1 Ω;
L`
L` = 1.6 mH;
R2
R1 = 1 Ω;
L`
R2 = 2 Ω;
R3
R3 = 3 Ω;
3. Ciascun nucleo magnetico di figura è costituito da materiale ferromagnetico di sezione S, permeabilità magnetica µr e
lunghezza media totale `. Sapendo che la rete è a regime sotto l’effetto del generatore applicato e che il coefficiente di
accoppiamento tra gli avvolgimenti di N1 e N2 spire vale k = 0.7, determinare: a) l’energia magnetica media immagazzinata
complessivamente nel sistema; b) la potenza attiva erogata dal generatore; c) il valore efficace dell’induzione magnetica
nel nucleo in cui è inserito l’avvolgimento di N4 spire.
R
R = 4 Ω; C = 80 µF;
√
π
e(t) = 8 + 24 2 sin(500 t − ) V ;
12
−−−
C
•
N4
•
N1
C
•
•
•
•
•
N3
N2
•
` = 22 cm; S = 9.61 cm2 ;
R
R
µr = 500;
N1 = N2 = N3 = N4 = N = 135;
e(t)
R
4. Il sistema trifase di figura è alimentato da una terna diretta di tensioni simmetriche di valore concatenato Vc = 405 V e
frequenza 50 Hz. Determinare: a) la corrente letta dall’amperometro (ideale); b) la potenza attiva, reattiva ed apparente
assorbita complessivamente dal sistema; c) il valore efficace della corrente (a regime) nei conduttori della linea di alimentazione nel caso in cui avvenga un cto-cto tra i morsetti 10 − 20 − 30 .
Ė1
Ė3
Z`
Z`
10
20
30
Z ` = 0.1 + j0.5 Ω;
A
Ė2
Z`
Zm
Zm
Zm
Pn
Z m = 3 + j6 Ω;
Qn
−−−−−−−
Vn
Vn = 400 V ;
Pn = 110 kW ;
cos ϕ = 0.9;
Soluzione tipo
(resa disponibile dal Docente dopo lo svolgimento della prova)
Esercizio 1: per il calcolo dei punti richiesti è sufficiente applicare le ben note formule relative alle linee di trasmissione senza
perdite.
Risultati numerici:
[Z 0 = 100 Ω; β = 3.77 rad/m; Γ = −0.33 − j0.99; Z in = 59.6 + j38.2 Ω; vin (−`,t) = 21.3 sin(60π × 106 · t + 0.068) V ;
1
vL (0,t) = 16.8 sin(60π × 106 · t + 2.115) V ; iL (0,t) = 0.33 · sin(60π × 106 · t + 2.31) A; PL = · ℜ{V̇L · I˙L∗ } = 2.72 W.]
2
Esercizio 2: Il metodo più semplice per risolvere il problema è l’uso di Laplace “separato”. È necessario studiare il sistema trifase
a regime per t < 0 con gli interruttori aperti e trovare le c.i. allo 0− . Sempre con il metodo fasoriale, si studia il circuito trifase
a regime per t 0 con gli interruttori chiusi. In questo caso, essendo il sistema simmetrico ed equilibrato, si può analizzare il
solo circuito monofase equivalente della fase 1 (le correnti sulle altre due fasi si determinano tramite il parametro α). Dall’analisi
si ricava la soluzione permanente e le c.i. permanenti allo 0. Le condizioni iniziali transitorie con le quali costruire il circuito di
Laplace, valgono: i1t (0) = i1 (0− ) − i1p (0) = 552 A;
i2t (0) = i2 (0− ) − i2p (0) = −268 A;
i3t (0) = i3 (0− ) − i3p (0) = −284 A.
Il circuito trifase nel dominio di Laplace è composto dai soli generatori di c.i. transitorie e dalla resistenza ed induttanza di linea
per ogni fase. Tale circuito può essere analizzato facilmente verificando che la tensione di Millman tra i due nodi della rete è nulla.
La soluzione transitoria per ogni fase è una funzione esponenziale con argomento (−R` /L` ) · t e costante pari al valore della c.i.
transitoria. La soluzione completa per ogni fase è la somma di quella transitoria e di quella permanente.
Risultati numerici:
h
i
√
[i1 (t) = i1t (t) + i1p (t) = 552 · e−62.5·t + 456 2 · sin(ω · t − 1.37) · u(t) A;
i
h
√
i2 (t) = i2t (t) + i2p (t) = −268 · e−62.5·t + 456 2 · sin(ω · t + 0.72) · u(t) A;
h
i
√
i3 (t) = i3t (t) + i3p (t) = −284 · e−62.5·t + 456 2 · sin(ω · t + 2.81) · u(t) A; ]
`
' 3.64 × 105 H −1 . L’intero sistema magnetico può essere modellato
µ0 µr S
con quattro induttori uguali di cui due (quelli relativi agli avvolgimenti N1 e N2 ) mutuamente accoppiati.
Esercizio 3: La riluttanza di ciascun nucleo vale: ℜ` =
Il circuito elettrico risultante deve essere analizzato con la sovrapposizione degli effetti facendo agire separatamente la componente in DC del generatore e quella in AC.
L’energia magnetica complessiva del sistema è la somma di quella in DC e di quella in AC. Con lo stesso metodo si ricava la
potenza attiva (somma della potenza in DC e di quella in AC).
Il valore efficace dell’induzione magnetica nel nucleo in cui è inserito l’avvolgimento di N4 spire si calcola tramite il flusso:
N4 · I4e f f
φ4
, da cui: B4e f f = .
φ4 =
ℜ`
S
[L1 = L2 = L3 = L4 =
Risultati numerici:
p
N2
= 50 mH; M = k · L1 · L2 = 35 mH; W m = W AC +W DC ' 88 mJ; P = PDC + PAC ' 34 W ; B4e f f = 0.475 T ].
ℜ`
Esercizio 4: Dopo aver ricavato un sistema di 3 impedenze a triangolo per il carico equilibrato ed il sistema di tensioni stellate
ad inizio linea, è possibile ridurre il sistema dei carichi ad un unico carico equivalente tenendo conto che l’Amperometro è ideale.
Allo scopo si effettua il parallelo fase per fase delle impedenze dei 3 carichi monofase e di quelle equivalenti del carico trifase.
Poichè l’impedenza parallelo collegata tra i morsetti 10 − 20 è corto-circuitata, il sistema di carichi si riduce ad un’unica impedenza
collegata sulla fase 3. A questo punto, il circuito è nella forma classica per l’applicazione della formula di Millman. Nota la tensione
tra il centro stella del carico e quello del sistema di generatori si ricavano le correnti di linea. Note tali correnti, si determina la
tensione tra i morsetti 1 ≡ 20 e 30 e la corrente nell’impedenza parallelo Z m //Z ∆ collegata tra i morsetti 10 − 30 . Tramite il 1o PdK si
può ricavare la corrente (in valore efficace) letta dall’amperometro.
I parametri di potenza relativi all’intero sistema possono essere calcolati tramite la potenza complessa del generatore trifase.
Con i morsetti 10 − 20 − 30 corto-circuitati il sistema diventa simmetrico ed equilibrato e, pertanto, la corrente di cto-cto (a regime)
nei conduttori della linea di alimentazione si ricava studiando il circuito monofase equivalente della fase 1. In queste condizioni, il
valore efficace delle correnti è uguale per tutte e tre le fasi.
A ' 395 A; P = 68 kW ; Q = 208 kVAR; S = 218.5 kVA; I1cc = I2cc = I3cc ' 456 A].
Risultati numerici: [