1 INDICE CAPITOLO 6 6. Teoremi sulle reti 6.1. Teorema del

INDICE CAPITOLO 6
6.
Teoremi sulle reti
6.1.
Teorema del Massimo trasferimento di Potenza Attiva
1.1.1.
Caso impedenza interna del generatore reale e carico reale
1.1.2.
Caso impedenza interna del generatore reattiva e carico reale
1.1.3.
Caso impedenza interna del generatore reattiva e carico reattivo
6.2.
Teorema della compensazione
6.3.
Teorema di sovrapposizione
6.4.
Teorema di Thevenin
6.5.
Teorema di Norton
6.6.
Teorema di Miller
6.7.
Duale del teorema di Miller
CAPITOLO 6
6. Teoremi sulle reti
6.1.Teorema del Massimo trasferimento di Potenza Attiva
Questo teorema permette di determinare il valore dell’impedenza di carico che in un determinato
circuito consente il massimo trasferimento di potenza attiva. Utilizzando il metodo dei fasori
verranno esaminati alcuni casi:
1.1.1.
Caso impedenza interna del generatore reale e carico reale
Si consideri il semplice circuito di figura, costituito da un generatore di tensione V e da una
resistenza R e si calcoli il valore della resistenza di carico R1 che consente il massimo trasferimento
di potenza attiva
R
A
+
V
R1
I
B
Figura 1
[
]
[ ]
[
]
(
)
2
1
1
1
1
1 VAB
*
Re VAB ⋅ I * =
R1 ⋅ Re I ⋅ I * = R1 ⋅ I 2 =
Re VAB ⋅ VAB =
2
2
2
2 ⋅ R1
2 R1
Per tale circuito sono valide le relazioni:
V
V
1 V 2 R1
I=
V AB =
⋅ R1
;
da cui si ottiene:
PA =
R + R1
2 (R + R1 )2
R + R2
Volendo imporre la condizione di massimo trasferimento di potenza attiva per conoscere il valore
da assegnare alla resistenza di carico, si impone nulla la derivata della potenza rispetto ad R1 e
negativa la derivata seconda:
2
d PA V 2 (R + R1 ) − 2 R1 (R + R1 ) V 2 R 2 − R12
= 0
=
=
4
2 (R + R1 )4
d R1
2 ⋅ (R + R1 )
se e solo se R = R1
PA =
[
]
1
d 2 PA
(per cui si verifica anche
dR12
R = R1
V2 1
=−
2 8 ⋅ R1 3
< 0 , come volevasi)
Quindi ne risulta che la condizione R = R1, ossia resistenza interna del generatore pari a quella di
carico, implica il massimo trasferimento di potenza
1.1.2.
Caso impedenza interna del generatore reattiva e carico reale
Si consideri ora il caso in cui l’impedenza del generatore sia del tipo: Zg=Rg+Xg e si trovi la
condizione di massimo trasferimento di potenza su un carico resistivo R1 :
Rg + j Xg
A
+
R1
Vg
I
-
B
[
]
Figura 2
[ ]
1
1
1
Re VAB ⋅ I * = R1⋅ Re I ⋅ I * = R1⋅ I 2
2
2
2
Vg
Vg
I=
;
I=
(R g + R1 ) + jX g
(R g + R1 )2 + X g2
PA =
Pertanto, l’espressione della potenza su un carico resistivo R1 è:
R1 ⋅ V g2
1
1
2
PA = R1 ⋅ I =
2
2 (R g + R1 )2 + X g2
(
)
2
2
2
2
d PA 1 V g R g + X g − R1
= ⋅
=0
d R1 2 (R + R )2 + X 2 2
1
g
g
[
Se e solo se:
]
R1 = R g2 + X g2
Pertanto, il massimo trasferimento di potenza si ha quando la resistenza di carico è uguale al
modulo dell’impedenza interna del generatore Vg..
1.1.3.
Caso impedenza interna del generatore reattiva e carico reattivo
Si consideri il caso in cui l’impedenza del generatore sia Zg e l’impedenza del carico sia ZL. Si ha
allora:
Zg=Rg + jXg
A
+
Vg
I
-
ZL=R1+ jX1
B
Figura 3
2
I=
(R
Vg
g
+ R1 ) + j (X g + X 1 )
PA =
1
Re[Z L ] ⋅ I
2
1
=
I=
;
R1 ⋅ I
2
=
(R
Vg
+ R1 ) + (X g + X 1 )
2
g
R1 ⋅V
1
2
2
g
2 (R g + R 1 ) 2 + (X g + X 1 ) 2
Le condizioni di massimo trasferimento di potenza si ottengono massimizzando PA rispetto X1 e R1.
Osservando l’espressione di PA si deduce facilmente che la condizione relativa a X1 è data da
X1 = -Xg.
In tale situazione si ottiene per la potenza attiva l’espressione:
2
1 R1 ⋅ V g
PA X = − X =
1
g
2 (Rg + R1 )2
2
2
La seconda condizione di massimo relativa a R1 si ottiene considerando:
2
⎞ V g2 R g − R1
R1
d ⎛⎜ V g
⎟=
=0
d R1 ⎜ 2 (R g + R1 )2 ⎟ 2 (R g + R1 )3
⎝
⎠
Da cui risulta: R1 = Rg
In definitiva le due condizioni di massimo trasferimento di potenza attiva possono essere esplicitate
da: Z1= Zg*
Se, infine, si considera il caso di impedenza di carico con parte reattiva costante, si ha :
R1 ⋅ V g2
1
1
2
PA = R1 ⋅ I =
2
2 (R g + R1 )2 + (X g + X 1 )2
[
]
2
2
2
d PA 1 V g ⋅ R1 − R g + (X g + X 1 )
=
=0
d R1 2 (R + R )2 + (X + X )2 2
1
1
g
g
[
se e solo se:
2
]
R1 = R g2 + (X g + X 1 )
2
Perciò il massimo trasferimento di potenza si ha quando R1 è pari al valore assoluto di tutta
l’impedenza della rete.
6.2.Teorema della compensazione
Le Figure (a) e (b) di seguito riportate, si riferiscono al Teorema di compensazione che afferma:
(a)
(b)
Figura 4
Una impedenza Za percorsa da una corrente I, può essere sostituita da un generatore di tensione di
valore ZaI.
Analogamente, se ai capi di una impedenza Za vi è una tensione V, l’impedenza può essere
sostituita da un generatore di corrente pari a V / Z.
3
6.3.Teorema di sovrapposizione
Questo importante teorema riguarda le reti governate da leggi lineari in regime stazionario o in
regime non stazionario. Esso afferma che, se in una rete lineare agiscono contemporaneamente
generatori di tensione e generatori di corrente, la tensione tra due nodi qualsiasi della rete (o la
corrente in un qualsiasi ramo) è la somma delle tensioni (delle correnti) ottenute considerando i
generatori attivi uno alla volta.
Per esempio, la risposta di un determinato circuito lineare a un segnale complesso scomponibile in
sinusoidi è la somma delle risposte ottenibili da ciascuna di esse, pensate come se agissero
indipendentemente.
Come esempio, si consideri il seguente circuito e si calcoli la corrente che attraversa R3
Figura 5
Le equazioni di questo circuito sono:
⎧ 9 = 3i1 + 3i1 + 3i 2
⇒
⎨
⎩4.5 = 3i 2 + 3i 2 + 3i1
Esse ammettono come soluzioni i1=1.5A e i2=0A.
Applicando il Principio di sovrapposizione, si ha:
⎧ 9[V ] = 6[Ω]i1 + 3[Ω]i 2
⎨
⎩4.5[V ] = 3[Ω]i1 + 6[Ω]i 2
I1=2A
VAB=1.5*2=3V
I2=1A
I2
I2=1A
VAB=1.5*1=1.5V
I1=-0.5A
I1TOT=2A-0.5A=1.5A
;
I2TOT=-1A+1A=0A
6.4.Teorema di Thevenin
Data una rete lineare a due terminali A e B formata da generatori indipendenti e resistenze, essa è
equivalente ad un generatore ideale (con resistenza interna nulla) con in serie un resistore di
valore opportuno (di seguito specificato).
4
⇔
(b)
(a)
Figura 6: (a) rete lineare attiva, (b) circuito equivalente di Thevenin
Per quanto attiene al generatore, la d.d.p. che esso genera è quella che si osserva o si deduce ai
morsetti A e B lasciati aperti, cioè con resistenza di carico infinita.
Per quanto attiene la resistenza, essa è uguale a quella che si misura o si calcola ai morsetti A e B
una volta che i generatori di tensione indipendenti siano stati disattivati.
Rth può anche essere calcolata facendo il rapporto tra la tensione di Thevenin e la corrente di
cortocircuito, assumibile o deducibile ai morsetti A e B. Rth = Vth / Icc.
Esempio: Si consideri il circuito di Figura 7 e si determini la corrente che passa sulla resistenza di
carico una volta connessa ai morsetti A e B.
⇔
(a)
(b)
Figura 7
Calcolo della tensione di Thevenin ai morsetti A e B:
R2
V
R1 + R 2
Dai morsetti A e B, cortocircuitando V , si vede una Rth pari a:
RR
Rth = 1 2
R1 + R2
In definitiva, per quanto riguarda la corrente che scorre sulla resistenza di carico, collegata ai
morsetti A e B si ottiene:
Vth
iC =
Rth + RC
Vth = V AB =
6.5.Teorema di Norton
Data una rete lineare attiva costituita da generatori indipendenti e resistori dotata di due terminali
A e B, essa è equivalente ad un generatore di corrente con in parallelo una determinata resistenza.
5
⇔
(a)
(b)
Figura 8
Per quanto attiene il valore della corrente del generatore, essa è quella misurabile o deducibile
quando i morsetti A e B sono cortocircuitati, mentre la resistenza di Norton coincide con quella di
Thevenin.
Il passaggio Norton-Thervenin è immediato, tenendo conto che Rth=Rn=Rout. Infatti, supponiamo di
avere a disposizione il circuito equivalente di Norton di una determinata rete, come illustrato in fig.:
⇔
(a)
(b)
Figura 9: (a) Norton, (b) Thevenin
Per verificare l’equivalenza, si colleghi una resistenza RC ad entrambi i circuiti e si calcoli il valore
della corrente: IRC :
R n RC 1
Vth
I R
I RC = I n
I RC =
= n n
;
R n + R C RC
R n + RC R n + RC
che risultano, ovviamente, uguali
6.6.Teorema di Miller
Questo teorema garantisce l’equivalenza della rete di Figura 10a) nei circuiti in cui V2=KV1
(condivisione che può essere dovuta, per esempio, alla presenza di un amplificatore di tensione) e la
rete di Figura 10b).
⇔
(b)
(a)
Figura 10
Essendo
V1
= K , la corrente I1 nei due circuiti:
V2
6
quindi se Z 1 =
Z'
, la corrente I1 nel nuovo circuito sarà la stessa corrente I1 del primo circuito.
1− K
Analogamente:
K
.
K −1
Con questi valori delle impedenze Z1 e Z2, i due circuiti sono equivalenti. Questo teorema è
V
applicabile in pratica se è possibile determinare il valore di K, cioè del rapporto 1 .
V2
quindi Z 2 = Z '
6.7.Duale del teorema di Miller
Tramite il duale del teorema di Miller si dimostra l’equivalenza del circuito di figura Figura 11° con
quello di Figura 11b nei circuiti in cui I 2 = KI 1 .
I2
I1
+
V1
+
Z’
-
I2
I1
V2
⇔
+
+
V1
V2
-
-
(a)
Z1
Z2
-
(b)
Figura 11
Per la tensione V1 si ha:
V1 = Z ' ⋅ (I 1 + I 2 ) = Z ' ⋅ (1 + K ) ⋅ I 1
Quindi se Z1=Z’ (1+K) la tensione V1 del nuovo circuito sarà la stessa V1 del primo circuito.
Analogamente:
⎞
⎛1
V2 = Z ' ⋅ (I 1 + I 2 ) = Z ' ⋅ ⎜ + 1⎟ ⋅ I 2
⎠
⎝K
quando Z2=Z’ (1/K + 1).
Con questi valori delle impedenze Z1 e Z2, i due circuiti sono equivalenti. Questo teorema è utile
nella pratica quando sia possibile determinare il valore di K, ossia del rapporto delle correnti I2 / I1.
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