Unità Didattica realizzata dalla prof.ssa De Simone Marilena
A.S. 2015/16
La matematica finanziaria si occupa di tutti i problemi relativi al denaro e al
suo impiego.
Il denaro è lo strumento con cui possiamo effettuare operazioni
commerciali, cioè scambi; infatti con il denaro compriamo e vendiamo
merci. Possiamo, tuttavia, considerare il denaro stesso come una merce
che diventa fonte di guadagno ed è proprio in questo senso che la
matematica finanziaria interpreta il denaro.
Le operazioni finanziarie quindi consistono nello scambio di denaro a una
certa data con altro denaro a un’altra data e i soggetti coinvolti in genere
sono due, il creditore e il debitore.
CREDITORE
Il creditore o mutuante è colui
che «da` in prestito» il denaro.
DEBITORE
Il debitore o mutuatario è colui
che «riceve in prestito» il
denaro, in cambio di un
compenso in denaro.
Possiamo schematizzare le considerazioni svolte con questa figura: il
tempo si rappresenta sulla retta orizzontale orientata, detta asse dei
tempi e denominata con la lettera t.
Prima di risolvere un problema, dobbiamo definire e saper individuare le grandezze
fondamentali di un’operazione finanziaria, che sono cinque e sono ben distinte.
CAPITALE: la somma di denaro prestato e si indica con la lettera C.
INTERESSE: il compenso che il creditore richiede per il contratto di prestito e si indica
con la lettera I.
L’interesse è il compenso per aver messo a disposizione, per un certo intervallo di tempo,
una somma di denaro, rinunciando temporaneamente alla sua disponibilità .
MONTANTE: La somma del capitale e
dell’interesse, si indica con la lettera M,
M=C+I
ed è l’importo che il debitore restituisce al creditore al
termine dell’operazione.
RICORDA!
Il montante avrà
un valore sempre
maggiore di
quello del capitale
e, naturalmente,
di quello
dell’interesse.
TEMPO: o durata è l’intervallo di tempo che intercorre fra il
prestito del capitale e la restituzione del montante e si indica con
la lettera t.
PERIODO: è l'unità di tempo con la quale si misura il tempo.
TASSO D’INTERESSE: è l’interesse maturato per ogni unità di
capitale e per periodo; si indica con la lettera i.
Il tasso d’interesse è un dato fondamentale per il calcolo
dell’interesse I; si esprime in forma percentuale e può essere riferito
all’anno o a frazioni di anno, per esempio semestri, quadrimestri,
trimestri, ecc. I calcoli si eseguono con il tasso d’interesse espresso
in forma di numero decimale.
IMPORTANTE
In matematica
finanziaria si usa
l’anno commerciale,
costituito da 360
giorni suddivisi in 12
mesi, ciascuno
composto da 30
giorni.
ESEMPIO
Il tasso d’interesse del 4% annuo corrisponde,
nell’arco di un anno, a un interesse di € 0,04 per
ogni euro di capitale prestato; mantenendo la
forma percentuale, questo tasso corrisponde a un
interesse di € 4 per ogni € 100 di capitale prestato
in un anno.
Il tasso d’interesse del 3% trimestrale corrisponde,
in tre mesi, a un interesse di € 0,03 per ogni euro
di capitale prestato.
I regimi di interesse
Ricordiamo che la relazione fondamentale della capitalizzazione è
M=C+I
I procedimenti per il calcolo del montante costituiscono i regimi d’interesse e i
più importanti sono:
il regime dell’interesse semplice;
il regime dell’interesse composto.
INTERESSE SEMPLICE:
In regime d’interesse semplice, l’interesse è direttamente proporzionale al
capitale e al tempo d’impiego.
Questa definizione si può esprimere mediante la seguente relazione
I=C∙i∙t
dove C e` il capitale, i il tasso d’interesse e t e` la durata dell’impiego del
capitale.
Questa formula ci permetterà di calcolare l’importo dell’interesse maturato e,
successivamente, anche il montante.
ESEMPIO
Determina l’interesse semplice del capitale di E 20 000 impiegato al tasso annuo
del 2,11% per 2 anni. Inoltre determina il montante semplice.
I dati del problema sono:
C = 20 000€
i=2,11% annuo →forma decimale per eseguire il calcolo
2,11
100
= 0,0211
t = 2 anni
Le incognite sono:
I=?
M =?
Per determinare l’importo dell’interesse semplice, utilizziamo la formula I=C∙i∙t,
sostituendo le grandezze note
I = 20 000 ∙ 0,0211∙2 =844 €
La seconda richiesta riguarda il montante semplice e per il calcolo usiamo la
formula M=C+I, sostituendo gli elementi noti
M = 20 000 + 844= € 20 844
L’interesse semplice è di € 844 e il montante semplice dell’operazione è € 20844.
Il montante semplice, che è l’importo da corrispondere alla scadenza
dell’impiego, si calcola sommando al capitale l’interesse semplice maturato
M=C+I
(1)
Abbiamo visto che l’interesse semplice si calcola con la formula
I =C ∙i ∙t
(2)
Otteniamo la legge della capitalizzazione semplice, se nella prima relazione
all’interesse I sostituiamo la formula 2
M = C + I = C + C∙i∙t
raccogliendo a fattor comune C si ha
M = C (1+ i∙t)
(3)
Il montante a interesse semplice si può quindi ottenere in modo diretto
moltiplicando il capitale C per il fattore (1+ i∙t)
ATTENZIONE!
Il binomio (1+i∙t), detto fattore di montante
a interesse semplice, è il montante di € 1
calcolato al tasso annuo i per un tempo t.
Infatti, se si pone C =1 nella (3) , si ottiene
M = 1 + i∙t
Il fattore (1+i∙t) è un operatore che «trasla in
avanti» il capitale nel tempo .
Quando si applica la
legge della
capitalizzazione
semplicem, prima si
calcola il valore del
fattore di montante,
facendo attenzione a
eseguire prima la
moltiplicazione fra il tasso i
e il tempo t e poi
sommando a
questo prodotto 1, dopo
lo si moltiplica per il
capitale C.
RICORDA!
Le formule (2) e (3) permettono di
risolvere anche i problemi inversi,
ossia quei problemi in cui sono noti
l’interesse o il montante e bisogna
determinare il capitale, il tempo o il
tasso d’interesse.
Non è necessario ricorrere alle
formule inverse per risolvere tali
problemi; ogni volta possiamo
utilizzare le formule (2) o (3)
rendendole equazioni da risolvere
rispetto all’incognita che è la
grandezza da determinare.
Primo principio
d’equivalenza delle
equazioni
Sommando o
sottraendo a entrambi i
membri di
un’equazione uno
stesso numero si ottiene
un’equazione
equivalente a quella
data.
RICORDA!
Secondo principio
d’equivalenza delle
equazioni
Moltiplicando o
dividendo entrambi i
membri di un’equazione
per uno stesso numero,
diverso da zero, si ottiene
un’equazione
equivalente a quella
data.
ESEMPIO
Ricerca del capitale noto l’interesse
E` stato prestato un certo capitale per 4 mesi al 6%; l’interesse maturato è di €12,50. Qual è la
somma prestata?
I dati sono:
T = 4 mesi
i = 6% annuo → forma decimale 0,06
I = €12;50
L’incognita è: C= ?
Sostituendo nella (2) i dati, si ottiene l’equazione nell’incognita C
4
12
12,5 = C ∙0,06∙
→ 12,5= C ∙ 0;02
scambiando i membri e ricavando C con il secondo principio di equivalenza delle equazioni,
si ottiene
C=
12,5
1=
0,02
€ 625
La somma prestata è di € 625.
Nella capitalizzazione semplice, l’interesse maturato può essere riscosso
solamente al termine della durata dell’investimento del capitale. Se la
durata dell’investimento e` superiore all’anno, si può considerare il
pagamento periodico degli interessi semplici, ossia dopo un anno o una
frazione di anno, si rendono disponibili gli interessi maturati.
Quando gli interessi dovuti, invece di essere incassati dal creditore, sono
capitalizzati, cioè vengano aggiunti al capitale preesistente, incrementano
la somma investita.
Nel periodo successivo l’interesse sarà calcolato non sul capitale iniziale,
bensì` sul capitale incrementato, e cosı` via per ogni periodo.
Il metodo illustrato è il regime dell’interesse composto che consiste nella
capitalizzazione periodica degli interessi semplici
REGIME DELLA CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA
Il regime della capitalizzazione composta prevede che alla fine di ogni
periodo gli interessi semplici maturati siano sommati al capitale
precedente e diventino, con esso, fruttiferi d’interesse nel periodo
successivo
PERIODO DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA
Il periodo di capitalizzazione composta, ossia il periodo al cui termine gli
interessi sono sommati al capitale e iniziano a produrre interessi, è in
genere l’anno e si parla di capitalizzazione composta annua; qualora il
periodo sia inferiore all’anno si parlerà di capitalizzazione composta
frazionata.
Possiamo determinare il montante a interesse composto calcolando
l’interesse periodo per periodo e capitalizzandolo ogni volta.
ESEMPIO
Determina il montante composto, dopo 4 anni, di un capitale di € 10 000
impiegato a interesse composto all’1,5% annuo
Dato un capitale C da impiegare a interesse composto al tasso annuo i per n
anni, dove n e` un numero intero, determiniamo il montante M.
Poniamo M1, M2, M3, ... M i montanti alla fine rispettivamente del 1° anno, 2°
anno, ... n-esimo anno. Mediante la relazione
M = C (1 + i t),
con t =1,
calcoliamo M1
M1=C (1+i)
Per calcolare M2 applichiamo la precedente relazione, con t=1 e con capitale
M1, cioè
M2 = M1 (1 + i) = C (1+i) (1+i) = C 𝟏 + 𝒊
𝟐
Al 3° anno il capitale fruttifero sarà M2, quindi
M3 = M2 (1+ i) = C 𝟏 + 𝐢
𝟐
𝟏+𝐢 =C 𝟏+𝐢
𝟑
Procedendo in modo analogo, dopo gli n anni d’impiego, il
montante M sarà
M =𝑪 𝟏 + 𝒊
(4)
𝒏
Il montante a interesse composto si ottiene moltiplicando il
capitale per il fattore di capitalizzazione composta 𝟏 + 𝒊 𝒏
Questo fattore è il montante a interesse composto di €1 al
tasso annuo i dopo n anni. Infatti, posto
C=1 nella (4) , si ha
M= 1 + 𝑖
𝑛
Anche il fattore 1 + 𝑖 𝑛 e` un operatore che «trasla in
avanti» il capitale nel tempo
ATTENZIONE!
L’interesse composto
si determina
sottraendo al
montante il capitale I
=M - C, perché il
calcolo dell’interesse
composto presenta
una formula
complessa.
