Problemi su esponenziali e logaritmi
1. In chimica si introduce il pH di una sostanza nel modo seguente:
pH = –log [H+]
dove il simbolo [H+] indica la concentrazione degli ioni idrogeno presenti in una
sostanza (la concentrazione si misura in moli/ litro).
a) Determina il pH delle seguenti sostanze:
• uova con [H+] = 1,6 ⋅10–2 moli/litro;
• pomodori con [H+] = 6,3 ⋅10–5 moli/litro;
b) Determina [H+] delle seguenti sostanze:
• aceto con pH = 3,1;
• succo di limone con pH = 2,3.
2. La luminosità di una stella osservata ad occhio nudo è misurata tramite la magnitudo M,
definita nel modo seguente:
M = 6 – 2,5 log
I
I0
dove I è l’intensità della luce emessa dalla stella e I0 è la minima intensità percepibile.
a) quanto vale la magnitudo delle stelle con la minima luminosità?
b) per le stelle più luminose sia ha M = 1, che cosa puoi dire dell’intensità I?
3. Per misurare€gli effetti di un terremoto si usa spesso la scala Richter, proposta dal
sismologo C. Richter nel 1935. In base a tale scala si calcola la magnitudo M di un
terremoto valendosi della seguente formula:
M=
2
E
log
3
E0
dove E (misurata in Joule) è l’energia totale sviluppata dal terremoto ed E0 è la
minima energia rilevata in un terremoto.
a) Si sa che risulta M = 5,5, quando si ha E = 1013J; quanto vale E0?
€b) Un€terremoto del 2011 in Giappone aveva una magnitudo M = 7,4; quanta energia
è stata liberata in quel terremoto?
4. Per misurare l'intensità della sensazione prodotta da un suono si applica la formula:
P
S = 10 log
(logx = log10 x)
P0
dove S è la misura in decibel dell’intensità della sensazione udita, P è una misura
della potenza trasmessa dall'onda sonora, espressa in W/m2, e P0 è la potenza
corrispondente alla minima intensità udibile dall’orecchio umano.
€
–7
2
a) Un’onda sonora che ha una potenza P di 10 W/m produce una sensazione di 50
decibel; quanto vale P0?
b) Un suono ha un’intensità S di 80 decibel; quanto vale la potenza trasmessa
dall’onda sonora?
c) Due ragazzi suonano in casa una chitarra elettrica che produce un suono intenso
60 decibel e un basso elettrico che produce un suono intenso 40 decibel; qual è
l'intensità complessiva della sensazione sonora prodotta dai due ragazzi?
Daniela Valenti, Treccani scuola
1
5. Un capitale di 1000 euro viene depositato in banca all’interesse (composto) annuo
dell’1% = 0,01.
a) Calcola (in migliaia di euro):
• il capitale C1 (detto montante) alla fine del 1° anno;
• il montante C2 alla fine del 2° anno;
• il montante C3 alla fine del 3° anno.
b) Trova una formula per avere il montante Cn alla fine dell’n-mo anno.
c) Applica la formula trovata per rispondere alle seguenti domande:
• quanto vale il montante C20 alla fine del 20° anno?
• dopo quanti anni il capitale iniziale raddoppia?
6. Scrivi le seguenti formule più generali:
• per calcolare il montante Cn alla fine dell’n-mo anno, se un capitale iniziale di A
euro viene depositato in banca all’interesse (composto) annuo dell’1% = 0,01;
• per calcolare il montante Cn alla fine dell’n-mo anno, se un capitale iniziale di 1000
euro viene depositato in banca all’interesse (composto) annuo r.
7. Scrivi una formula generale per avere il montante Cn alla fine dell’n-mo anno, se un
capitale iniziale di C0 euro viene depositato in banca all’interesse (composto) annuo r.
8. Applica la formula trovata nell’esercizio 17 per risolvere i seguenti quesiti:
a) Quanti anni occorrono per avere un montante Cn = 8000 euro, impiegando un
capitale iniziale C0 = 500 euro ad un tasso d’interesse annuo del 2%?
b) Scrivi una formula per calcolare il numero n di anni necessari per ottenere un
montante Cn, a partire da un capitale C0, impiegato ad un tasso annuo d’interesse r.
9. Applica la formula trovata nell’esercizio 17 per risolvere i seguenti quesiti:
a) Quale capitale iniziale C0 si deve impiegare, ad un tasso del 2,5%, per avere dopo 5
anni un montante C5 = 3000 euro?
b) Scrivi una formula per calcolare quale capitale iniziale C0 si deve impiegare, ad un
tasso r, per avere dopo n anni un montante Cn . (In tal caso C0 è detto valore attuale
di Cn, disponibile dopo n anni)
10. Applica la formula trovata nell’esercizio 17 per risolvere i seguenti quesiti:
a) A quale tasso di interesse r si deve impiegare un capitale iniziale C0 = 4000 euro ,
per avere dopo 10 anni un montante C10 = 5000 euro?
b) Scrivi una formula per calcolare il tasso d’interesse r al quale si deve impiegare un
capitale C0 per avere dopo n anni un montante Cn .
11. Dalle formule
4
3
5=
6=
log(A − B)
10 AB
esplicita le lettere Ae B, indicando la proprietà applicata in ciascun passaggio.
12. Dalle formule
R
A = (P–2Q) ⋅ log
S
QR ⋅10 S
esplicita le lettere P, Q, R S, indicando la proprietà applicata in ciascun passaggio.
€
A=
P
€
Daniela Valenti, Treccani scuola
€
€
2
