LIMITI
Risoluzione della verifica
IN UN’ORA - SECONDA PROVA
1. DEFINIZIONI E CALCOLO
Risoluzione della verifica IN UN’ORA - SECONDA PROVA
1 a) Imponiamo le condizioni date dal problema e determiniamo i parametri a e b.
f (0) = 2 " a0 + 1 = 2 " a = 2,
1
1
lim f (x) =+ 3 " lim+ln
=+ 3 " lim+
=+ 3 " lim+(x - b) = 0 " b = r.
x-b
x " r+
x"r
x"r x - b
x"r
Quindi la funzione è così definita:
Z2x - 1
se x # 0
]
]
se 0 1 x 1 r
f (x) = [ cotg x
1
]] ln
se x 2 r
\ x-r
b) Per studiare il dominio di f(x), studiamo il dominio delle singole funzioni che la compongono:
• la funzione y = 2 x - 1 è definita per ogni reale;
• il dominio di y = cotg x è R - {kr, k ! Z} e l’intervallo in cui si considera la funzione è compreso nel
dominio;
1
1
• il dominio di y = ln
è
2 0 " x 2 r.
x-r
x-r
In definitiva il dominio della funzione è R - {r} .
Studiamo il segno della funzione.
• 2 x - 1 2 0 6x ! R " f (x) 2 0 in x # 0 .
• cotg x 2 0 se 0 + kr 1 x 1
01x1
• ln
r
+ kr , quindi nel dominio considerato abbiamo che f(x) è positiva se
2
r
r
e negativa se
1 x 1 r.
2
2
1
1
2 1 " x - r 1 1 " x 1 1 + r , quindi nel dominio considerato abbiamo che
2 0 se
x-r
x-r
f(x) è negativa se x 2 1 + r , positiva se r 1 x 1 1 + r .
In definitiva la funzione è positiva negli intervalli C- 3;
r
,] r; r + 1[ e negativa altrimenti.
2 9
Sfruttiamo le proprietà delle trasformazioni geometriche per
disegnare il grafico di y = f (x) .
y
c) Dal grafico deduciamo i limiti richiesti.
• lim- f (x) = 2
• xlim
f (x) = 0
"-3
• lim- f (x) =- 3
• xlim
f (x) =- 3
"+3
x"0
x"r
Per verificare che lim- f (x) =- 3 dobbiamo dimostrare che,
x"r
fissato un reale M 2 0 , arbitrariamente grande, esiste un intorno sinistro di r in cui la disuguaglianza f (x) 1- M è verificata
per ogni x di questo intorno.
In un intorno sinistro di r la funzione è definita da f (x) = cotg x ,
quindi abbiamo:
y = f(x)
2
π+1
O
π
–
2
π
x
f (x) 1 - M " cotg x 1 - M " arccotg (- M) + kr 1 x 1 r + kr .
Copyright © 2012 Zanichelli editore S.p.A., Bologna
1
LIMITI
Risoluzione della verifica
IN UN’ORA - SECONDA PROVA
1. DEFINIZIONI E CALCOLO
Poiché l’intervallo ] arccotg (- M); r [ è un intorno sinistro di r, il limite è verificato.
Per verificare che x lim
f (x) =- 3 dobbiamo dimostrare che, fissato un reale M 2 0 , arbitrariamente
"+3
grande, esiste un intorno di + 3 in cui la disuguaglianza f (x) 1- M è verificata per ogni x dell’intorno.
1
, quindi abbiamo:
In un intorno di + 3 la funzione è definita f (x) = ln
x-r
f (x) 1 - M " ln
1
1
1-M "
1 e-M .
x-r
x-r
Passando ai reciproci otteniamo x - r 2 e M cioè l’intervallo x 2 e M + r che è proprio un intorno di + 3 .
Quindi il limite è verificato.
2 Condizione necessaria perché possiamo calcolare il limite di una funzione in un punto a di R è che a sia un
punto di accumulazione per la funzione. Non è detto che un punto di accumulazione appartenga al dominio,
quindi, per entrambi i limiti, non è corretto affermare che r appartiene necessariamente al dominio.
ln (1 + 3x)
0
3 a) Calcoliamo il limite lim
che si presenta nella forma indeterminata .
2x
x"0
0
1-e
lim
x"0
ln (1 + 3x)
ln (1 + 3x) 3 - 2x
3
= lim
$ $ 2x
=- ,
x"0
3x
2 e -1
2
1 - e 2x
dove abbiamo utilizzato i limiti notevoli lim
x"0
b) Calcoliamo il limite xlim
"-3
ln (1 + x)
ex - 1
= 1 e lim
= 1.
x"0
x
x
3x3 - 6x 2
3
che si presenta nella forma indeterminata
.
3
2x3 + x 2 - 8x - 4
6
x3 b3 - l
x
3x3 - 6x 2
3
= xlim
= .
lim
x " - 3 2x 3 + x 2 - 8x - 4
"-3 3
1
8
4
2
x b2 + - 2 - 3 l
x
x
x
c) Calcoliamo il limite xlim
d
"+3
x2 - 1 x
n che si presenta nella forma indeterminata 13 .
x2 + 1
R
S x 2 b1 x
x2 - 1
S
lim d
n = x lim
x " + 3 x2 + 1
"+3 S 2
S x b1 +
T
1 VWx
l
b1 x2 W
lim
=
x "+3
1 W
b1 +
2 lW
x
X
-1
1 -x x
1 x
1
+
=
b
l G
l
- x2
x2
= xlim
= 1,
1
"+3
1 x
x2 x
l
1
x2
=b1 + 2 l G
x
2
1 x
1
+
= e.
dove abbiamo usato il limite notevole xlim
b
"+3
xl
4 Rappresentiamo il triangolo e determiniamo le limitazioni per x.
Deve essere:
x + 3x 1 r " 4x 1 r " x 1
r
r
, dunque x ! C0; 9.
4
4
Troviamo il raggio rc della circonferenza circoscritta con il teorema
della corda:
BC = 2rc sen BW
AC " rc =
F
C
a
.
2 sen x
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rc
a
E
ri
B
x
A
2
LIMITI
Risoluzione della verifica
IN UN’ORA - SECONDA PROVA
1. DEFINIZIONI E CALCOLO
S
Calcoliamo poi il raggio ri della circonferenza inscritta con la formula ri = , dove S rappresenta l’area del
p
triangolo e p il semiperimetro.
Applichiamo il teorema dei seni per trovare le misure di AC e AB.
AC
CB
AC
a
sen 3x
.
=
"
=
" AC = a
V
W
x
x
3
sen
sen
sen x
sen CB A
sen CA B
AB
CB
AB
a
sen 4x
.
=
"
=
" AB = a
W
W
x
(
x
)
4
sen
sen
sen x
r
sen BC A
sen CAB
L’area del triangolo è S =
1
V , dunque S = 1 a sen 4x $ a sen 3x " S = 1 a 2 sen 4x sen 3x .
AB $ BC sen CBA
2
2 sen x
2
sen x
Il semiperimetro è:
p=
a
1
1
sen 4x
sen 3x
(BC + AB + CA) " p = b a + a
(sen x + sen 4x + sen 3x) .
+a
"p=
2
2
sen x
sen x l
2 sen x
Quindi abbiamo:
S
ri =
=
p
1 2 sen 4x $ sen 3x
a
sen 4x $ sen 3x
2
sen x
= a$
.
a
sen x + sen 3x + sen 4x
(sen x + sen 3x + sen 4x)
2 sen x
Calcoliamo ora i limiti richiesti.
• lim+rc = lim+
x"0
x"0
a
=+ 3 .
2sen x
• lim+ri = lim+a
x"0
x"0
sen 4x sen 3x
= lim+a
sen x + sen 3x + sen 4x
x"0
sen 4x
sen 3x
$ 3x
4x
3x
=
sen x
sen 3x
sen 4x
+ 3x
+ 4x
x
x
3x
4x
4x
sen 4x sen 3x
$
4x
3x
.
= lim+a
sen x
sen 3x
sen 4x
x"0
+3
+4
x
3x
4x
12x
Applichiamo il limite notevole lim
x"0
sen x
= 1 e otteniamo come risultato 0.
x
sen 4x sen 3x
a
ri
+ sen 3x + sen 4x = lim 2 sen x sen 4x sen 3x = 0 .
x
sen
• limr - = limr r - sen x + sen 3x + sen 4x
r
a
c
x"
x"
x"
4
4
4
2 sen x
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