Prova di fisica

Scuola Galileiana di Studi Superiori – Classe di Scienze Naturali
Prova Scritta di Fisica – a.a. 2009–2010
Si risolva il maggior numero possibile di problemi, anche soluzioni parziali saranno valutate.
Nel risolvere i problemi con dati numerici, questi ultimi si usino solo nelle espressioni finali.
Problema 1
Un cilindro di raggio R = 1cm è disposto verticalmente, manca della base superiore, cosicché
è aperto all’aria. Esso contiene un liquido viscoso di densità ρL = 103 kg/m3 e calore specifico
cL = 4 · 103 J/kg K. L’altezza del liquido è L = 1m. Sul fondo viene posta una sferetta di
raggio r = 2mm, densità ρS = 0.8 · 103 kg/m3 e calore specifico cS = 2 · 103 J/kg K. La sferetta
parte da ferma, e si osserva che quando arriva alla superficie libera del liquido essa ha velocità
praticamente costante. La sferetta esce in aria e raggiunge un’altezza h = 3.3cm rispetto alla
superficie del liquido prima di fermarsi.
a) Trascurando la resistenza dell’aria si determini l’energia meccanica ∆E dissipata nel liquido.
b) La forza viscosa che agisce sulla sferetta è proporzionale alla velocità ~v , e si può scrivere
come F~ = −k ~v . Si determini k.
c) Quale conseguenza produce la dissipazione dell’energia meccanica? È percepibile?
Problema 2
Le tre leggi di Keplero riguardano una particella massiva che si muove nel campo gravitazionale generato da un corpo statico di massa M . In particolare, secondo la terza legge il
rapporto tra il quadrato del periodo T e il cubo del semiasse maggiore a dell’ellisse, Cg = T 2 /a3 ,
è indipendente dalla particella, essendo Cg = 4π 2 /(GM ) dove G è la costante di Newton. Si
consideri il caso analogo di una particella di carica −q < 0 che si muove nel campo elettrico generato da una carica statica puntiforme Q > 0. Sfruttando le analogie esistenti tra l’interazione
gravitazionale e quella elettrostatica,
a) si dica quali delle leggi di Keplero si applicano anche al caso elettrostatico;
b) si esprima nel caso elettrostatico il rapporto Ce = T 2 /a3 in termini di q, Q, della massa m
della particella carica, e della costante dielettrica del vuoto ε0 .
Si osserva che nel punto P1 di minima distanza r1 della particella carica da Q la sua velocità
vale v1 , e che nel punto P2 di massima distanza da Q essa dista r2 = 2 r1 da Q. Sfruttando le
leggi di Keplero, e supponendo note solo r1 e v1 , si determini,
c) la velocità v2 della particella in P2 ;
d) il periodo T dell’orbita.
Problema 3
Due moli di elio compiono un ciclo reversibile formato dalle seguenti trasformazioni: un’espansione
dallo stato A allo stato B lungo una retta nel piano (p, V ); un’espansione adiabatica dallo
stato B allo stato C; una compressione isoterma dallo stato C allo stato iniziale A. I valori
dei volumi e delle pressioni negli stati A e B sono VA = 5 · 10−2 m3 , pA = 1.01 · 105 N/m2 ,
VB = 75 · 10−3 m3 , pB = 2.02 · 105 N/m2 , e il rendimento del ciclo vale η = 0.45. La costante dei
gas vale R = 8.31J/mole K.
a) Si disegni schematicamente il ciclo nel piano (p, V ).
b) Si determini il lavoro WAB compiuto dal gas nella trasformazione A → B.
c) Si determini il calore QAB scambiato dal gas nella trasformazione A → B.
d) Si determini il lavoro WCA compiuto dal gas nella trasformazione C → A.
e) Si determini la variazione di entropia ∆SAB del gas nella trasformazione A → B.
Problema 4
Una slitta A lunga L = 70cm di massa mA = 0.5kg è appoggiata sul piano orizzontale
(x, y), ed è vincolata a muoversi di moto rettilineo lungo l’asse delle x, per effetto di due guide
lisce a contatto con le pareti laterali della slitta. L’attrito dinamico tra A e il piano d’appoggio
ha coefficiente µ2 = 0.04. Sopra la slitta è appoggiato un corpo B di massa mB = 0.2kg,
di dimensioni trascurabili, costretto da un binario liscio sulla slitta a muoversi anch’esso in
direzione x lungo la slitta. Nel contatto del piano inferiore di B con quello superiore di A si
esplica un attrito dinamico con coefficiente µ1 = 0.2. Inizialmente il sistema è in quiete e B si
trova all’estremo posteriore della slitta. Viene applicata a B una forza costante F~ giacente nel
piano (x, y) di intensità F = 3N, che forma con l’asse delle x positive un angolo ϑ = 30o . Si
determini:
a) l’accelerazione aB di B;
b) l’accelerazione aA di A;
c) la forza f~ che le guide esercitano su A;
d) il tempo T che B impiega a raggiungere l’estremo anteriore della slitta.
Problema 5
Una sferetta di dimensioni trascurabili e massa m = 50g è vincolata a muoversi nella
sottile intercapedine tra due superfici coniche lisce quasi coincidenti, in presenza del campo
gravitazionale terrestre. Prendendo come asse z la verticale ascendente, la base dei coni giace
nel piano orizzontale (x, y), e i loro vertici quasi coincidenti si trovano nel punto P di coordinate
P = (0, 0, h), con h = 1m. Il raggio R della base eguaglia l’altezza dei coni, R = h. La sferetta
è legata attraverso una fune inestensibile di massa trascurabile e lunghezza l = 80cm al vertice
P . Inizialmente essa compie un moto circolare uniforme con velocità v0 = 4m/s.
a) Si determini la tensione T della fune.
b) La sferetta esercita una pressione sul cono interno o su quello esterno?
c) Durante il moto circolare la fune si spezza e la sferetta scivola verso il basso all’interno
dell’intercapedine, raggiungendo la base nel punto A di coordinate A = (0, h, 0). Si determini
il modulo v della velocità in A.
d) Si determinino le componenti cartesiane (vx , vy , vz ) della velocità in A.
Problema 6
Nell’atomo di idrogeno classico l’elettrone compie inizialmente un’orbita circolare attorno
al protone, con raggio uguale al raggio di Bohr r = 5.3 · 10−9 cm.
a) Si determini il periodo T dell’orbita conoscendo i valori numerici della velocità della luce
e2
c = 3·108 m/s, e dell’espressione L ≡
= 2.8 · 10−13 cm, dove m è la massa dell’elettrone,
2
4πε0 mc
e la sua carica, e ε0 la costante dielettrica del vuoto.
b) Si esprima l’energia meccanica totale E dell’elettrone in termini di r, ε0 ed e.
c) Secondo l’Elettrodinamica classica una particella non relativistica di carica e e accelerazione
e2 | ~a|β
~a emette radiazione elettromagnetica di potenza W =
, dove l’esponente β è un numero
6πε0 c3
reale. Quanto vale β?
d) Si determini la frazione di energia meccanica f = ∆E/|E| persa dall’elettrone durante un
periodo.
e) Si stimi il tempo ∆t durante il quale il raggio dell’atomo di idrogeno classico diminuirebbe
del 50%.