Prova di fisica

Scuola Galileiana di Studi Superiori – Classe di Scienze Naturali
Prova Scritta di Fisica – a.a. 2008–2009
Si risolva il maggior numero possibile di problemi, anche soluzioni parziali saranno valutate.
Nel risolvere i problemi con dati numerici, questi ultimi si usino solo nelle espressioni finali.
Problema 1
Uno sportivo di massa M = 80 kg si lascia cadere da un ponte alto h = 40 m, agganciato ad
una corda elastica di massa trascurabile e lunghezza a riposo l0 = 30 m, un’estremità della
quale è fissata al ponte. Si assuma che, per un allungamento ∆l > 0, una corda elastica sia
assimilabile ad una molla di costante elastica k. Trascurando la resistenza dell’aria ed ogni
altro attrito, calcolare: (a) quanto deve valere la costante elastica k della corda perché la
minima distanza dal suolo durante il moto sia zmin = 4 m; (b) la quota z ∗ alla quale viene
raggiunta la massima velocità; (c) la velocità massima raggiunta v ∗ ; (d) i valori massimo Rmax
~ agente sullo sportivo.
e minimo Rmin del modulo della forza risultante R
Problema 2
Nuotate con una vostra amica in una piscina di lunghezza L = 25 m. Procedendo a velocità
costante (le virate avvengono in un tempo trascurabile), nel tempo h di un’ora voi percorrete
N1 = 72 vasche (tratti di lunghezza L), la vostra amica N2 = 108. Siete partiti insieme
dal bordo della vasca al tempo t0 = 0 ed arrivate contemporaneamente. (a) Quante volte
S la vostra amica vi ha sorpassato (contando come sorpasso l’arrivo ma non la partenza)?
(b) Quante volte I la avete incrociata mentre nuotava in senso opposto? (c) A che istanti tn
sono avvenuti i sorpassi? (d) In quali punti della vasca sono avvenuti i sorpassi?
Problema 3
Si consideri una sfera statica di raggio R e centro nell’origine degli assi coordinati, uniformemente carica con densità di carica ρ > 0, fatta eccezione per una cavità pure sferica, di
raggio r0 = R/4 e centro nel punto P0 di coordinate x0 = R/2, y0 = z0 = 0. (a) Si determini
~ nel punto P1 di coordinate x1 = 2R, y1 = z1 = 0, indicando con 0 la
il campo elettrico E
costante dielettrica del vuoto ed esprimendo il risultato in funzione dei soli parametri ρ, R ed
0 . Una particella di carica q > 0 e massa m ha velocità ~v1 , diretta verso l’origine, quando
si trova nel punto P1 . Trascurando la forza gravitazionale: (b) si determini il valore minimo
v1∗ del modulo di ~v1 affinché la particella raggiunga la superficie della sfera di raggio R; (c) in
corrispondenza a tale valore v1∗ , si determini il valore asintotico ~v∞ del vettore velocità della
particella per tempi molto grandi.
Problema 4
Si considerino una sfera solida omogenea di massa M e raggio R, ed un condotto cilindrico,
molto sottile e liscio, che la attraversa. Sia rmin = (3/5) R la distanza minima del condotto
dal centro della sfera. (a) Si calcoli la forza gravitazionale F~grav agente su una particella
di massa m M nel punto generico del condotto (se può essere utile, si tenga presente
l’analogia formale tra la legge di Coulomb dell’elettrostatica e la legge di Newton della gravitazione universale). (b) Trascurando ogni tipo di attrito, si scriva l’equazione del moto per
tale particella, esplicitandone in particolare la componente lungo la direzione del condotto.
(c) Supponendo che il moto della particella sia sempre confinato all’interno del condotto, si
determini il tempo ∆t che intercorre tra due passaggi successivi della particella per il centro
del condotto.
Problema 5
All’interno di un cilindro verticale termicamente isolato può scorrere senza attriti una parete
divisoria orizzontale pure isolante, di massa m = 2 kg. Inizialmente la parete è bloccata nella
posizione mediana, con il cilindro diviso in due scomparti di ugual volume V0 = 0.5 m3 . Nella
parte inferiore sono contenute nO = 2 moli di ossigeno (O2 ), in quella superiore nN = 1 moli
di azoto (N2 ), ed entrambi i gas si trovano alla stessa temperatura iniziale T0 = 300 K (stato
0 per l’intero sistema). La parete viene sbloccata e, dopo complicate oscillazioni, si ferma
ad una quota superiore di ∆z = 20 cm rispetto a quella di partenza, in un nuovo stato di
equilibrio (stato 1 per l’intero sistema). (a) Qual è l’area minima Amin della superficie della
parete divisoria se si vuole che, appena sbloccata, essa si muova verso l’alto? (b) Sia U
l’energia interna totale dei due gas (la somma): quanto vale la differenza fra i suoi valori U1
nello stato 1 e U0 nello stato 0? (c) Se, partendo dallo stato 0, creiamo un’apertura nella parete
divisoria senza sbloccarla, i due gas si mescolano e si realizza un diverso stato di equilibrio
alla temperatura T2 . Questa sarà maggiore, minore od uguale a T0 ? Si trascuri l’influenza di
sblocco ed apertura della parete sui bilanci energetici del problema, si considerino i due gas
(all’equilibrio) come ideali e si prenda per la costante dei gas R ' 8.31 J/(mol K).
Problema 6
In un’onda elettromagnetica piana e monocromatica nel vuoto, le componenti cartesiane lungo
~ e magnetico B
~ assumono rispettivamente la forma
l’asse x dei campi elettrico E
Ex = E0 cos[k(z − c t)] ,
Bx = −(E0 /c) sin[k(z − c t)] ,
dove c è la velocità della luce nel vuoto e k 6= 0 una costante. (a) Si determinino le restanti
~ e B.
~ (b) Trascurando la forza peso, si dimostri che un elettrone
componenti cartesiane di E
nel campo di quest’onda può compiere moti circolari uniformi, determinandone periodo T e
raggio R. Si assuma che la velocità dell’elettrone sia molto minore di c. (c) Assumendo che
un elettrone sia assimilabile ad una sferetta di ‘raggio classico’ r0 , si dia una stima della forza
in direzione z, Fz , esercitata dall’onda sull’elettrone.