Quesiti di Analisi Matematica I

Quesiti di Analisi Matematica I
Corso di Laurea in Ingegneria per l'Ambiente e il territorio
Corso di Laurea in Ingegneria Civile (corso A, dalla lettera P alla Z)
Docente: R. Argiolas
Anno Accademico: 2007/2008
Insiemi e Funzioni reali di variabile reale
1) Dare la definizione di insieme (esiste?) e di insieme numerico.
2) Definire l’unione, l’intersezione, la differenza tra insiemi.
3) Dare la definizione di funzione reale di variabile reale. A cosa equivale geometricamente
questa definizione?
4) Definire la varie simmetrie di una funzione.
5) Quand’è che una funzione è periodica?
6) Quand’è che una funzione è monotona?
7) Qual è la differenza, se esiste, tra funzioni monotone crescenti e strettamente crescenti?
8) Una funzione pari non è mai invertibile. E’ vera questa affermazione?
9) Una funzione dispari non è mai invertibile. E’ vera questa affermazione?
Derivazione
10) Dare la definizione di derivata di una funzione in un punto e in un intervallo;
11) Illustrare il significato geometrico di derivata;
12) Utilizzando la definizione di derivata, calcolare la derivata della funzione esponenziale,
logaritmica, polinomiale;
13) Scrivere l’equazione della retta tangente alla funzione f(x)=logx nel punto x=2.
14) Classificare i punti di non derivabilità (rappresentarli anche graficamente);
15) Spiegare il procedimento per determinare i punti di massimo e minimo relativo e assoluto
per una funzione f(x);
16) Il teorema di Fermat è una condizione necessaria o sufficiente per l’esistenza dei punti di
massimo e minimo?
17) Enunciare e dimostrare il teorema di Lagrange;
18) Enunciare il teorema di Mac Laurin e di Taylor;
19) Illustrare il problema della linearizzazione;
20) Cosa si intende per “o piccolo”?
21) Enunciare le proprietà dell’ “o piccolo”;
22) Dare il significato geometrico di derivata seconda;
23) Come si determinano i punti di flessi di una funzione f(x)?
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Integrazione
24) Illustrare il “problema” della nascita del concetto di integrale e darne la definizione
25) Enunciare e dimostrare il teorema della media
26) Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale;
27) Elencare le proprietà dell’integrale;
28) Illustrare il metodo di integrazione per parti (precisare bene tutto il procedimento che
porta alla formula);
29) Dare la definizione di primitiva di una funzione continua;
30) Tutte le funzioni continue hanno primitiva?
31) Funzioni discontinue possono avere primitiva? Quando?
32) Enunciare la condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia integrabile
secondo Riemann;
33) Esistono funzioni discontinue che sono integrabili secondo Riemann?
34) Illustrare il metodo di integrazione per sostituzione;
35) Funzioni che presentano discontinuità di seconda specie sono integrabili secondo
Riemann?
36) Illustrare i vari tipi di integrazione in senso generalizzato;
37) Enunciare i criteri di integrabilità al finito e all’infinito.
Grafici di funzione
38) Assegnato il seguente grafico della funzione f(x):
30
20
10
-4
-2
2
-10
-20
-30
o
o
o
o
Determinarne il campo di esistenza
Studiarne il comportamento agli estremi
Dire se esistono massimi e minimi relativi e assoluti
Tracciare il grafico di f (x)
Successioni numeriche
39) Dare la definizione di successione numerica;
40) Dare la definizione di limite di una successione;
2
4
41) Dare la definizione di successione convergente, divergente, irregolare;
42) Una successione limitata è convergente? È vero il viceversa?
43) Una successione convergente o divergente è monotona? È vero il viceversa?
44) Dimostrare il teorema di unicità del limite per le successioni (la dimostrazione è la stessa
del teorema di unicità del limite per le funzioni);
45) Illustrare il comportamento della successione geometrica.
Serie numeriche
46) Illustrare il “problema” della nascita del concetto di serie.
47) Dare la definizione di serie e illustrare la sua relazione con la successione delle somme
parziali.
48) Illustrare il comportamento della serie geometrica, armonica e armonica generalizzata.
49) Enunciare la condizione necessaria per la convergenza di una serie.
50) Enunciare i diversi criteri di convergenza di una serie. Tali criteri sono una condizione
necessaria o sufficiente per la convergenza di una serie?
51) Dare la definizione di serie assolutamente convergente
52) Una serie assolutamente convergente, converge anche semplicemente?
Numeri Complessi
53) Dare la definizione di insieme dei numeri complessi;
54) Definire l’inverso, il coniugato e il modulo di un numero complesso;
55) Come si rappresentano i numeri complessi nel piano di Gauss;
56) Enunciare la formula di De Moivre;
57) Dare la rappresentazione esponenziale e trigonometrica di un numero complesso;
58) Come si calcola ( 3 − 1) 24 ?
59) Come si calcolano le soluzioni di z 3 = 1 − i ?
60) Geometricamente cosa rappresentano nel piano di Gauss le soluzioni di un’equazione con
variabile complessa?
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