Distribuzioni
Distribuzioni di probabilità di interesse
Distribuzione binomiale
Distribuzione normale
Distribuzione del t di Student
Distribuzione di F di Fisher
Distribuzione del 2
Distribuzione di Poisson
Distribuzione del Q
Distribuzione binomiale negativa
Distrib Gamma, beta, Cauchy,
Gumbel, Weibull, Log-normale
ecc…
Distribuzione binomiale
Il caso più semplice di distribuzione di variabili discrete è la
binomiale. Viene detta binomiale perché sono contemplate solo
due possibilità, due possibili realizzazioni.
Convenzionalmente ad una delle due realizzazioni possibili viene
assegnata l’etichetta di “successo” e viene indicata con 1. L’altra
(“insuccesso”) viene indicata con 0.
Si indicano:
P(1) = p
P(0) = q = (1 - p)
• Supponiamo di fare un esperimento con appena 2 risultati possibili.
• Gli
–
–
–
–
–
esempi comuni sono:
passare/fallire un esame
vincere/perdere al gioco
Osservare testa/croce lanciando una moneta
includere una persona in una lista [fumatori | non fumatori]
vivere/morire a causa di un ricovero in ospedale
• Si consideri una variabile casuale dicotomica.
• La variabile deve assumere uno di due possibili valori; questi risultati
mutuamente esclusivi possono essere, ad esempio:
[maschio o femmina], [salute o malattia].
Una variabile di questo tipo è nota come
variabile casuale di Bernoulli.
Le prove di Bernoulli e la distribuzione binomiale
• Un esperimento che consiste di singolo lancio di una
moneta, o una singola classificazione è denominato
una prova di Bernoulli.
• Se l'esperimento (o prova) è ripetuto piò volte e le
ripetizioni sono indipendenti tra loro, allora la
distribuzione di probabilità della variabile casuale
• X= # dei successi in n prove indipendenti di
Bernoulli è denominata “distribuzione binomiale”.
Una distribuzione è binomiale quando:
1. Il risultato di ogni prova è uno di 2 risultati, riferito
spesso come un successo|fallimento.
2. La probabilità p di successo è la stessa in ogni prova.
3. Le prove sono indipendenti: il risultato di una prova
non ha influenza sul risultato di un'altra prova.
La variabile casuale Y (numero di successi in un
campione di numerosità n) è una variabile discreta che
ha possibili realizzazioni:
0, 1, 2, …, n
Si tratta in sostanza di associare una probabilità a
ciascuna di queste realizzazioni.
Indicando con y una delle possibili realizzazioni di Y, la
formula è la seguente:
n!
p( y )
p y (1 p) ( n y )
y!(n y )!
n
n!
x x!(n x )!
Coefficiente binomiale
Teorema binomiale
100
15
Abbiamo bisogno
di nuovi mezzi di
calcolo!
n
(a+b)n =
Un foglio più
grande potrebbe
bastare!
i=0
n
i
ai bn-i
Triangolo di Pascal
La funzione di distribuzione binomiale è data da
Studiamo la distribuzione binomiale
• La distribuzione binomiale è semplicemente una distribuzione
discreta di probabilità.
• Possiamo studiare la distribuzione scrivendo i risultati possibili
nello spazio dei campioni e determinando la loro probabilità.
Cominciamo con un esempio semplice nel quale una moneta è
gettata due volte.
• Poi studiamo la possibilità di gettare la moneta n=3 volte. Ciò
induce a provare a generalizzare la probabilità di quale risultato
avremmo se la moneta fosse lanciata n=4 volte, o persino di più
volte.
Caratteristiche della distribuzione binomiale
n!
p( y )
p y (1 p) ( n y )
y!(n y )!
Dove y è una delle possibili realizzazioni di Y
È descritta da un solo parametro: p
Se i dati sono espressi come frequenze:
Valore medio (valore atteso): =np
Varianza: 2= np(1-p)
Caratteristiche della distribuzione binomiale
Nel calcolo della probabilità con la distribuzione binomiale
e con la funzione di ripartizione binomale sono utili le
seguenti relazioni
Caratteristiche della distribuzione binomiale
Relazione di ricorrenza
La forma della distribuzione dipende dal valore della
probabilità di successo p
p=1/2 (p=1-p)
La forma della distribuzione dipende dal valore della
probabilità di successo p
p<1/2
Distribuzione normale
Tra le varie distribuzioni di probabilità, una ha ruolo fondamentale in
statistica: la distribuzione normale o Gaussiana
1
y
e
2
1 x
2
2
Distribuzione normale
Tra le proprietà della Gaussiana ricordiamo:
La variabile x (variabile casuale) può avere valore da - a +
E’ completamente definita da 2 parametri (media e varianza –
ovvero dev. St.) e viene sinteticamente indicata con N(; )
E’ simmetrica intorno alla media ed è a forma di campana
Ha il massimo in x= e 2 flessi in
0,6
N(6;2)
0,5
N(6;3,5)
0,4
N(8;0,5)
N(11;1)
0,3
0,2
0,1
0
0
5
10
15
Esistono infinite curve normali (per ogni possibile media & dev. st.)
1
y
e
2
1 x
2
2
La funzione di distribuzione o funzione di
ripartizione normale è data da:
La curva più importante della famiglia è la distribuzione
normale standardizzata.
Per ricavare questa distribuzione, data la variabile aleatoria X si
passa alla nuova variabile aleatoria Z, detta variabile
standardizzata, ponendo:
Poiché la distribuzione di probabilità f(x) di una variabile
aleatoria X distribuita normalmente non può essere
integrata in forma chiusa tra gli estremi a e b di un
intervallo, per il calcolo di f(x) e F(x) si usano delle tavole.
Visto che è sempre possibile trasformare una distribuzione
normale nella corrispondente normale standardizzata (per
mezzo del cambiamento di variabile), le tavole riportano
solitamente i valori della normale standardizzata.
Proprietà utili per l’uso delle tavole:
La
distribuzione binomiale permette di
calcolare, per numeri n piccoli, le probabilità di
avere un certo numero k di successi nelle n
prove.
Se abbiamo molte prove, n diventa molto
grande, e trovare le probabilità dei successi k
diventa difficile.
Per
alti n il problema non è di trovare la
probabilità connessa ad uno specifico numero
k di successi, ma di trovare ad esempio la
probabilità di trovare più o meno di k successi.
Si
ricorre allora alla distribuzione NORMALE (
GAUSSIANA) che vale per n molto grande.
In
questo caso lo scaloide della distribuzione
di probabilità binomiale, ossia l’insieme dei
rettangoli che rappresentano le probabilità dei
singoli k, tende a diventare un’area
sottostante ad una linea continua..
La forma della curva cui tende la distribuzione al tendere di
n all’infinito è differente secondo il valore che p (e quindi q)
assume.
Si danno due casi:
Nel primo caso p e q non sono molto differenti fra loro e
quindi nessuno dei due valori si scosta molto dal valore di
probabilità ½. In questo caso al tendere di n all’infinito la
distribuzione tende alla curva teorica che si chiama
gaussiana.
Si intende di solito che una distribuzione di probabilità è
normale quando il prodotto n p è maggiore di 5 (nel caso
p>q).
Nel secondo caso p è molto maggiore o molto minore di q,
in modo che ambedue si discostano molto da probabilità ½.
Se al tendere di n all’infinito il prodotto p n rimane
costante, la distribuzione tende alla cosiddetta curva di
Poisson.
Funzioni di densità (o di probabilità) congiunte.
Nel caso in cui su uno stesso spazio campionario W si definiscono più
funzioni allora si è in presenza di v.c. multiple.
Dato uno spazio campionario W, riferito ad un dato esperimento, supponiamo
di costruire:
- una prima regola, X, che associa ad ogni elemento di W un numero reale, x;
- una seconda regola, Y, che associa ad ogni evento di W un numero reale, y;
successivamente, calcoliamo le probabilità del contemporaneo verificarsi
delle coppie (x,y).
X :W
e X (e)
Y :W
e Y (e)
Pr X x, Y y
X
x1
x2
….
xi
….
xs
Y y1
y2
p11
p21
….
pi1
….
ps1
p1
p12
p22
….
pi2
….
ps2
p2
….
….
….
….
….
….
….
….
yj ….. yr
p1j
p2j
….
pij
….
psj
pj
….
….
….
….
….
….
….
p1r
p2r
….
pir
….
psr
pr
p ij Pr X x i ; Y y j
p1
p2
….
pi
….
ps
1
p ij Pr X x i ; Y y j
È la probabilità del contemporaneo verificarsi della coppia di modalità
(xi,yj).
Inoltre,
r
pi pij
j 1
s
p j pij
i 1
Sono le probabilità marginali, rispettivamente, di X e di Y.
Def. 22. Si chiama funzione di probabilità congiunta delle v.c.
discrete X ed Y la funzione
f ( x, y) Pr X x, Y y
Che soddisfa le seguenti proprietà
1) f(x, y) 0
2)
(x, y)
f(x, y) 1
x
y
Da f(x,y) è possibile determinare le f. di p. marginali di X e di Y, cioè
f ( x ) f ( x, y )
y
f ( y ) f ( x, y )
x
Da f(x,y) è possibile determinare le f. di p. condizionate, cioè
f ( x, y )
f ( x / y)
f ( y)
f ( y) 0
f ( x, y )
f ( y / x)
f ( x)
f ( x) 0
NEL CONTINUO
Def. 23. Si chiama funzione di densità congiunta delle v.c.
continue X ed Y la funzione
f ( x, y )
avente le seguenti proprietà
1) f(x, y) 0
2)
(x, y)
f(x, y)dxdy 1
x y
Condizione di indipendenza
Def. 24. Due v.c. X ed Y sono indipendenti se e solo se una delle
seguenti condizioni è soddisfatta
1) f ( x, y ) f ( x) f ( y ) (x, y)
2) f ( x / y ) f ( x) (x, y)
3) f ( y / x) f ( y ) (x, y)
Momenti misti di ordine k+m
Def. 25. Siano X ed Y due v.c. con fd ( o fp) congiunta f(x,y), è
chiamato momento misto di ordine k+m la quantità:
x
k ,m E X k Y m
k
y m f ( x, y )dxdy
nel caso continuo.
k ,m E X Y
k
m
x y
k
x
nel caso discreto.
y
m
f ( x, y)
Def. 26. Valore Atteso Condizionato.
Sia (X,Y) una v.c. bidimensionale con fd congiunta f(x,y) e sia
g(.,.) una funzione di due variabili. Il valore atteso condizionato di
g(X,Y) dato che X=x è definito dalla seguente
Eg ( X , Y ) / X x g ( x, y ) f ( y / x)dy
N.B. Dato che effettuiamo l’integrale definito rispetto a y tale quantità è
funzione di x.
Def. 27. Varianza Condizionata.
La varianza di Y dato X=x è definita da:
V Y / X x E Y / X x EY / X x
2
2
Dove si è posto nella definizione precedente g(X,Y)=Y2 e g(X,Y)=Y per
definire, rispettivamente, il momento secondo ed il momento primo di Y
dato che X=x.
Covarianza
La covarianza è una misura della strettezza del legame lineare tra due v.c.
X ed Y. Supposto che esistano sia i momenti primi di X e di Y che il
momento primo misto, la covarianza è definita da
Cov(X, Y)
(x
1, 0
)( y 0,1 )f ( x , y)dxdy
Nel caso continuo
Cov(X, Y) ( x 1, 0 )( y 0,1 )f ( x, y)
x
Nel caso discreto
y
Teo. 13. Disuguaglianza di Cauchy-Swartz.
Siano X ed Y due v.c. con momenti secondi finiti, allora
Cov(X, Y)
V( X)V(Y)
Cov(X, Y)
V(X)V(Y)
2
Inoltre,
2
Se e solo se tra X ed Y vi è una perfetta relazione lineare.
Covarianza
Date due variabili aleatorie X ed Y con varianza finita, si definisce covarianza la
quantità definita da
XY Cov( X ,Y ) E[ XY ] E[ X ]E[Y ]
Se la covarianza è nulla le due variabili si dicono non correlate. Solitamente
viene introdotto un coefficiente di correlazione definito come
XY
XY
XY
Due variabili si dicono indipendenti se la funzione di
distribuzione congiunta FXY(x, y) è fattorizzabile nel
prodotto delle marginali FX(x)FY(Y).
Due variabili indipendendi con varianza finita sono
anche non correlate ma non è vero il viceversa.
Esercizio 39
La v.c. doppia (X,Y) segue una distribuzione di probabilità
discreta rappresentata dalla tavola seguente:
X
Y
2
3
4
1
2
3
1/12
1/6
0
1/4
1/6
0
1/3
1/2
1/12 1/3
1/6 1/3
0 1/3
1/4 1
Calcolare :
f(x); f(y); f(x/y=2); f(x/y=3); f(x/y=4); f(y/x=1); f(y/x=2); f(y/x=3);
E(X); E(Y); E(X/Y=2); E(X/Y=3); E(X/Y=4); E(Y/X=1);
E(Y/X=2); E(Y/X=3); V(X); V(Y); V(X/Y=2); V(X/Y=3);
V(X/Y=4); V(Y/X=1); V(Y/X=2); V(Y/X=3); Cov(X,Y); (X,Y).
Verificare se X ed Y sono indipendenti.
Esercizio 40
La v.c. doppia (X,Y) ha fd data da:
ke ( x y )
f ( x , y)
0
x<0 e y<0
altrove
a) determinare il valore della costante k;
b) Calcolare le fd marginali e condizionali;
c) Verificare se le v.c. X ed Y sono tra loro indipendenti.
Esercizio 41
La v.c. doppia (X,Y) ha come fd congiunta:
4xy
f x , y
0
0 < x < 1, 0 < y < 1
altrove
a) calcolare E(X), E(Y), V(X), V(Y), V(X/Y), V(Y/X);
b) calcolare la Cov(X,Y) e (X,Y).
c) dire se X e Y sono indipendenti.
Esercizio 42
Se X=Z+W e Y=T+W, essendo le v.c. Z,T,W tra loro
incorrelate e con varianza costante, si dimostri che (X,Y)=1/2.
Normale Bi-dimensionale.
Def. 28. Si dice che la v.c. (X,Y) ha distribuzione Normale Bidimensionale
se presenta la seguente fd congiunta
f ( x, y; x , y , x , y , )
1
2x y 1
2
2
2
y
y
1
x x
x x
y
y
2
exp
2
x
y
2(1 ) x
y
con
x , y , x 0, y 0 e [-1,1]
