la distribuzione normale

CAPITOLO 2 : DISTRIBUZIONI TEORICHE DI PROBABILITA’
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Per studiare i fenomeni casuali si può ricorrere ad alcune distribuzioni di probabilità teoriche che
possono adattarsi a descrivere fenomeni casuali reali.
Studieremo una distribuzione di probabilità discreta e una continua.
LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE : varabile discreta.
Questa distribuzione descrive bene il lancio ripetuto di una moneta ( esiti:testa o croce)
il numero di pezzi lavorati (esiti: difettoso o perfetto)
le risposte di un test (esiti: corretta o errata)
La distribuzione binomiale si applica quando si verificano le seguenti condizioni:
*si devono realizzare n prove ( o esperimenti)
**ciascuna prova ha due esiti possibili : successo o insuccesso
***se, quando la probabilità di successo è p, la probabilità di insuccesso è 1-p
**** se si vuole conoscere la probabilità di avere K successi in n prove.
Se si eseguono n prove indipendenti, con successo di probabilità p ed insuccesso di probabilità
(1-p)=q , la probabilità di avere k successi in n prove indipendenti è
n
Pk   p n q n k
k 
La variabile casuale X= numero k dei successi in n prove indipendenti
ha come distribuzione di probabilità:
X
P
0
P0
1
P1
2
P2
…….n
Pn
tale distribuzione di probabilità si chiama: distribuzione binomiale o di Bernoulli .
I parametri della distribuzione Binomiale sono n ed p: B(n, p)
Si può dimostrare che il valor medio della distribuzione è
μ =np e la varianza è σ2= npq
Esempio: in una officina con 5 macchine uguali che si guastano indipendentemente l’una dall’altra
con probabilità 20%, si vuole studiare la variabile casuale Bernoulliana
X= numero di macchine guaste contemporaneamente
Svolgimento: n=5 p=0,2 quindi q=0,8 ,
5
P0   0,2 0  0,85  0,32768 ecc…..
 0
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’ DELLA VARIABILE X
X 0
P 0,32768
1
0,4096
media μ =5*0,2=1
2
0,2048
3
0,0512
4
0,0064
2
varianza σ =5*0,2*0,8=0,8
5
0,00032
0 1 2 3
scarto quadratico medio σ=0,8944
4
ESERCIZI
1)Da un mazzo di 40 carte si estrae 4 volte una carta rimettendo ogni volta la carta estratta nel
mazzo, studiare la variabile binomiale X= numero delle figure estratte
Soluzione: p=1/4 n=4
X 0
1
2
3
4
P 0,2401 0,4116
0,2646 0,0756 0,0081
media μ =1/4*4=1
varianza σ2=1/4*4*3/4=0,75
scarto quadratico medio σ=0,866
5
2
quindi una figura si presenta in media una volta in ogni prova( 4 estrazioni di una carta) con uno
scarto medio di 0,86
2) L probabilità di essere colpiti da una malattia è 0,05%. Calcolare il numero medio di ammalati e
lo scarto quadratico medio in una popolazione di 100000 abitanti.
Svolgimento: p= 0,0005 n= 100000
media μ =0,0005*100000=50
varianza σ2=49,975 scarto quadratico medio σ=7,06
quindi in media i malati sono 50 con uno scarto quadratico medio di circa 7 malati.
LA DISTRIBUZIONE NORMALE O DI GAUSS
La distribuzione normale si applica allo studio di fenomeni economici, fisici, chimici, alla teoria
delle stime campionarie e alla verifica delle ipotesi statistiche.
La distribuzione normale si applica, ad esempio, quando si devono studiare i pesi di numerose
confezioni di zucchero da 1kg. I pesi delle confezioni sono spesso, un po’ al di sopra o un po’ al di
sotto di1kg. e la distribuzione di probabilità che approssima meglio questa situazione è quella
normale. Lo stessa distribuzione normale si ritrova con le altezze di un gruppo di persone o le
lunghezze ripetute del lato più lungo di un tavolo.
Per definire la distribuzione normale basta conoscere due suoi parametri: la media μ e la deviazione
standard σ.
Il suo grafico è una curva a campana simmetrica rispetto ad un asse che interseca l’asse x in x= μ e
ha due punti di flesso in x=+σ.
la funzione densità della distribuzione normale e il grafico:

1
f ( x) 
e
 2
( x )2
2 2
con x  (,)
proprietà:
μ-σ
μ
*)la media μ =alla mediana = alla moda
**) l’area della regioen compresa tra la
curva e l’asse x è 1
μ+σ
E’ utile trasformare la distribuzione normale in una standardizzata, con μ=0 e σ2=1.
x
Per ottenere ciò, si fa la sostituzione Z =
e si ottiene la funzione di distribuzione

2
standardizzata
1 
f (Z ) 
e
2
z
2
.
3
Esempio:
L’altezza media di un gruppo 20000 persone è 170cm. , con distribuzione normale e varianza
102cm2.
a) qual è la probabilità che l’altezza sia compresa tra 155 e 180 cm?
b) quante persone sono alte almeno 200 cm?
c) quante persone sono alte non più di 160 cm?
svolgimento: z= (x-μ)/σ = (x-170)/10
a- x1= 155
z1= (155-170) /10= -1,5
x2=180 z2=1 P(-1,5<Z<1)=0,7745 del 77%circa
b- x3 = 200 z3= 3 P(X>200)=P(Z>3)=0,5-0,4987= 0,0013 0,0013*20000=26 persone
c- x4=160 z4= -1
P(X<160)= P(Z<-1)=0,5- P(-1<Z<0) = 0,1587 :
quindi 0,1587*20000=3174 persone hanno altezza minore o uguale a 160cm
APPROSSIMAZIONE DI UNA DISTRIBUZIONE BINOMIALE CON LA NORMALE.
Quando n è molto grande la distribuzione binomiale non è comoda da usare.
Il teorema di De Moivre – Laplace dice che:
una variabile binomiale X con parametri n ed p, al tendere all’infinito del numero delle prove n,
tende ad una distribuzione normalizzata con Z 
x  np
.
npq
Se si deve calcolare la probabilità che il valore cada tra x1 ed x2, si calcola Z1 ed Z2 poi ad essi si
sostituisce z1- 0,5 ed z2 + 0,5.
Esempio: Si lancia per 600 volte un dado. Calcolare la probabilità che il numero di volte che si presenta la
faccia 2 sia superiore o uguale a 120.
Svolgimento: X= numero di volte che si presenta la faccia 2
Approssimo con la distribuzione normale perché il numero n è molto alto .
μ = np = 1/6*600= 100
σ =(1/6*600*5/6)1/2= 9,12871
Z=(x-100)/9,12871 z1=(119,5-100)/ 9,12871 = 2,13611
P( Z>2,13611 )=0,5-0,4837=0,0163
la faccia 2 si presenta mediamente almeno 120 volte, con
probabilità di 1,63% .