CAPITOLO 2 : DISTRIBUZIONI TEORICHE DI PROBABILITA’ 1 Per studiare i fenomeni casuali si può ricorrere ad alcune distribuzioni di probabilità teoriche che possono adattarsi a descrivere fenomeni casuali reali. Studieremo una distribuzione di probabilità discreta e una continua. LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE : varabile discreta. Questa distribuzione descrive bene il lancio ripetuto di una moneta ( esiti:testa o croce) il numero di pezzi lavorati (esiti: difettoso o perfetto) le risposte di un test (esiti: corretta o errata) La distribuzione binomiale si applica quando si verificano le seguenti condizioni: *si devono realizzare n prove ( o esperimenti) **ciascuna prova ha due esiti possibili : successo o insuccesso ***se, quando la probabilità di successo è p, la probabilità di insuccesso è 1-p **** se si vuole conoscere la probabilità di avere K successi in n prove. Se si eseguono n prove indipendenti, con successo di probabilità p ed insuccesso di probabilità (1-p)=q , la probabilità di avere k successi in n prove indipendenti è n Pk p n q n k k La variabile casuale X= numero k dei successi in n prove indipendenti ha come distribuzione di probabilità: X P 0 P0 1 P1 2 P2 …….n Pn tale distribuzione di probabilità si chiama: distribuzione binomiale o di Bernoulli . I parametri della distribuzione Binomiale sono n ed p: B(n, p) Si può dimostrare che il valor medio della distribuzione è μ =np e la varianza è σ2= npq Esempio: in una officina con 5 macchine uguali che si guastano indipendentemente l’una dall’altra con probabilità 20%, si vuole studiare la variabile casuale Bernoulliana X= numero di macchine guaste contemporaneamente Svolgimento: n=5 p=0,2 quindi q=0,8 , 5 P0 0,2 0 0,85 0,32768 ecc….. 0 DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’ DELLA VARIABILE X X 0 P 0,32768 1 0,4096 media μ =5*0,2=1 2 0,2048 3 0,0512 4 0,0064 2 varianza σ =5*0,2*0,8=0,8 5 0,00032 0 1 2 3 scarto quadratico medio σ=0,8944 4 ESERCIZI 1)Da un mazzo di 40 carte si estrae 4 volte una carta rimettendo ogni volta la carta estratta nel mazzo, studiare la variabile binomiale X= numero delle figure estratte Soluzione: p=1/4 n=4 X 0 1 2 3 4 P 0,2401 0,4116 0,2646 0,0756 0,0081 media μ =1/4*4=1 varianza σ2=1/4*4*3/4=0,75 scarto quadratico medio σ=0,866 5 2 quindi una figura si presenta in media una volta in ogni prova( 4 estrazioni di una carta) con uno scarto medio di 0,86 2) L probabilità di essere colpiti da una malattia è 0,05%. Calcolare il numero medio di ammalati e lo scarto quadratico medio in una popolazione di 100000 abitanti. Svolgimento: p= 0,0005 n= 100000 media μ =0,0005*100000=50 varianza σ2=49,975 scarto quadratico medio σ=7,06 quindi in media i malati sono 50 con uno scarto quadratico medio di circa 7 malati. LA DISTRIBUZIONE NORMALE O DI GAUSS La distribuzione normale si applica allo studio di fenomeni economici, fisici, chimici, alla teoria delle stime campionarie e alla verifica delle ipotesi statistiche. La distribuzione normale si applica, ad esempio, quando si devono studiare i pesi di numerose confezioni di zucchero da 1kg. I pesi delle confezioni sono spesso, un po’ al di sopra o un po’ al di sotto di1kg. e la distribuzione di probabilità che approssima meglio questa situazione è quella normale. Lo stessa distribuzione normale si ritrova con le altezze di un gruppo di persone o le lunghezze ripetute del lato più lungo di un tavolo. Per definire la distribuzione normale basta conoscere due suoi parametri: la media μ e la deviazione standard σ. Il suo grafico è una curva a campana simmetrica rispetto ad un asse che interseca l’asse x in x= μ e ha due punti di flesso in x=+σ. la funzione densità della distribuzione normale e il grafico: 1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2 con x (,) proprietà: μ-σ μ *)la media μ =alla mediana = alla moda **) l’area della regioen compresa tra la curva e l’asse x è 1 μ+σ E’ utile trasformare la distribuzione normale in una standardizzata, con μ=0 e σ2=1. x Per ottenere ciò, si fa la sostituzione Z = e si ottiene la funzione di distribuzione 2 standardizzata 1 f (Z ) e 2 z 2 . 3 Esempio: L’altezza media di un gruppo 20000 persone è 170cm. , con distribuzione normale e varianza 102cm2. a) qual è la probabilità che l’altezza sia compresa tra 155 e 180 cm? b) quante persone sono alte almeno 200 cm? c) quante persone sono alte non più di 160 cm? svolgimento: z= (x-μ)/σ = (x-170)/10 a- x1= 155 z1= (155-170) /10= -1,5 x2=180 z2=1 P(-1,5<Z<1)=0,7745 del 77%circa b- x3 = 200 z3= 3 P(X>200)=P(Z>3)=0,5-0,4987= 0,0013 0,0013*20000=26 persone c- x4=160 z4= -1 P(X<160)= P(Z<-1)=0,5- P(-1<Z<0) = 0,1587 : quindi 0,1587*20000=3174 persone hanno altezza minore o uguale a 160cm APPROSSIMAZIONE DI UNA DISTRIBUZIONE BINOMIALE CON LA NORMALE. Quando n è molto grande la distribuzione binomiale non è comoda da usare. Il teorema di De Moivre – Laplace dice che: una variabile binomiale X con parametri n ed p, al tendere all’infinito del numero delle prove n, tende ad una distribuzione normalizzata con Z x np . npq Se si deve calcolare la probabilità che il valore cada tra x1 ed x2, si calcola Z1 ed Z2 poi ad essi si sostituisce z1- 0,5 ed z2 + 0,5. Esempio: Si lancia per 600 volte un dado. Calcolare la probabilità che il numero di volte che si presenta la faccia 2 sia superiore o uguale a 120. Svolgimento: X= numero di volte che si presenta la faccia 2 Approssimo con la distribuzione normale perché il numero n è molto alto . μ = np = 1/6*600= 100 σ =(1/6*600*5/6)1/2= 9,12871 Z=(x-100)/9,12871 z1=(119,5-100)/ 9,12871 = 2,13611 P( Z>2,13611 )=0,5-0,4837=0,0163 la faccia 2 si presenta mediamente almeno 120 volte, con probabilità di 1,63% .