aleatorio

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La probabilità matematica
In generale parliamo di eventi probabili o improbabili quando non siamo sicuri se si verificheranno.
DEFINIZIONE. Un evento (E) si dice casuale, o aleatorio, quando il suo verificarsi dipende
unicamente dal caso.
DEFINIZIONE. Un evento si dice:
•  certo quando è possibile stabilire con assoluta certezza il suo verificarsi;
•  impossibile quando non potrà mai realizzarsi;
•  incerto negli altri casi.
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1 1
La probabilità matematica
Definiamo in termini matematici la probabilità dell’evento E: << esce il numero 5 >>.
ESEMPI
!  Consideriamo il lancio di un dado. Poiché i possibili esiti del lancio sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, e uno solo è
il caso favorevole diremo che la probabilità dell’evento è
1
6
.
!  Se consideriamo lo stesso evento nell’estrazione di un numero della tombola, dobbiamo considerare
90 possibili esiti e uno solo favorevole; in questo
€ caso la probabilità è
1
.
90
!  Calcoliamo la probabilità dello stesso evento nell’estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte. Il
€
numero complessivo di esiti è 40, mentre quello di esiti favorevoli è 4 (uno per ogni seme) quindi la
probabilità dell’evento è
Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 268
4
40
oppure, semplificando la frazione,
1
10
.
2 1
La probabilità matematica
In generale:
DEFINIZIONE. La probabilità p(E) di un evento E è data dal rapporto fra il numero f di casi
favorevoli all’evento e il numero complessivo n dei casi possibili. In simboli:
p(E ) =
f
n
PROPRIETÀ. La probabilità di un evento certo è sempre uguale a 1.
PROPRIETÀ. La probabilità di€
un evento impossibile è sempre uguale a 0.
PROPRIETÀ. La probabilità di un evento casuale è sempre un numero compreso fra 0 e 1. In
simboli:
0 ≤ p(E ) ≤ 1
Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 269
3 2
Il teorema della probabilità totale
DEFINIZIONE. Due eventi E1 e E2 si dicono incompatibili quando il verificarsi del primo esclude il
verificarsi del secondo ovvero i due eventi non si possono verificare contemporaneamente.
TEOREMA. La probabilità di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità
di ciascun evento. In simboli:
pt = p1 + p2 + ... + pn
ESEMPIO
€ una pallina rossa, tre palline nere e due palline verdi e
Mettiamo in un sacchetto
calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina rossa o una pallina nera.
Probabilità di estrarre
una pallina rossa
pr =
1
6
Probabilità di estrarre
una pallina nera
pt = pr + pn =
€
Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 270
pn =
3 1
=
6 2
1 1 4 2
+ = =
6 2 6 3
€
4 2
Il teorema della probabilità totale
DEFINIZIONE. Due eventi E1 e E2 si dicono compatibili quando il verificarsi del primo non esclude
il verificarsi del secondo ovvero è possibile che i due eventi si verifichino contemporaneamente.
ESEMPIO
Calcoliamo la probabilità che nell’estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte essa sia una
figura (Ef) oppure una carta di denari (Ed) .
In questo caso i due eventi sono compatibili
perché bisogna conteggiare anche l’evento che la
carta estratta sia una figura di denari
I casi favorevoli ai singoli eventi sono:
12 per Ef (3 per ogni segno), pertanto
€
10 per Ed (le dieci carte di denari nel mazzo), pertanto
€
Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 271
pc =
3
40
12 3
pf =
=
40 10
pd =
10 1
=
40 4
Continua
5 2
Il teorema della probabilità totale
I casi favorevoli all’evento totale (Et <<esce una figura o una carta di denari>>) sono 19 (le dodici
figure + le altre sette carte di denari), quindi:
pt =
19
40
In questo caso la probabilità totale pt è uguale alla
somma delle probabilità dei due eventi (pf + pd)
diminuita della probabilità dell’evento comune ai
due eventi (pc).
cioè:
€
pt = pf + pd − pc =
3 1 3 19
+ −
=
10 4 40 40
In generale:
TEOREMA. La probabilità di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità di
€ diminuita della probabilità dell’evento comune ai due eventi. In simboli:
ciascun evento
pt = p1 + p2 − pc
Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 271
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Il teorema della probabilità totale
DEFINIZIONE. Due eventi E1 e E2 si dicono complementari quando il verificarsi del primo esclude
il verificarsi del secondo ma sicuramente uno dei due si verificherà.
ESEMPIO
Vogliamo calcolare la relazione tra la probabilità con cui, da un mazzo di 40 carte, venga estratta
una figura (Ef) e la probabilità con cui venga estratta una carta contrassegnata da un numero (En).
€
La loro somma è
€
Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 271
p(Ef ) =
12 3
=
40 10
p(En ) =
28 7
=
40 10
3 7
p(Ef ) + p(En ) =
+
=1
10 10
7 2
Il teorema della probabilità totale
In generale:
REGOLA. La somma delle probabilità di due eventi complementari è sempre uguale a 1. In simboli:
p(E1) + p(E2 ) = 1
Dalla regola precedentemente
€ definita è facile dedurre il seguente:
TEOREMA (DELLA PROBABILITÀ CONTRARIA). Se p è la probabilità di un evento E1, allora la
probabilità del suo evento complementare E2 è data dalla formula
p(E2 ) = 1− p(E1)
Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 271
€
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