La probabilità composta

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La probabilità composta
DEFINIZIONE. Un evento E si dice composto se il suo verificarsi è legato al verificarsi
contemporaneo (o in successione) degli eventi E1, E2 … che lo compongono.
Consideriamo il lancio consecutivo di due monete e calcoliamo la probabilità che esca
contemporaneamente testa su entrambe le monete.
• se con il lancio della prima moneta esce testa,
con la seconda si può ottenere testa o croce:
(T; T)
e
(T; C)
• se con il lancio della prima moneta esce croce,
con la seconda si può ottenere testa o croce:
(C; T)
e
(C; C)
Complessivamente i casi possibili sono quattro:
(T; T)
Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 466
(T; C)
(C; T)
(C; C)
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1
La probabilità composta
Consideriamo l’estrazione di due assi da un mazzo di 40 carte senza rimettere la carta estratta nel
mazzo:
• il numero complessivo di carte della prima estrazione (40) è diverso da quello della seconda (39);
• se alla prima estrazione è stato estratto un asso significa che nella seconda estrazione il numero
complessivo di assi è 3.
Rispetto all’esempio della diapositiva precedente, questo esempio presenta una differenza notevole:
 nel primo esempio l’esito del primo lancio non influenza quello del secondo;
 nel secondo esempio la seconda estrazione è dipendente dalla prima.
DEFINIZIONE.
 Due eventi composti si dicono indipendenti se il verificarsi di uno qualsiasi di essi non modifica
la probabilità del verificarsi dell’altro evento.
 Due eventi composti si dicono dipendenti se il verificarsi di uno qualsiasi di essi modifica la
probabilità del verificarsi dell’altro evento. La probabilità che si verifichi l’evento E2 nell’ipotesi
che l’evento E1 si sia già realizzato è detta probabilità condizionata ed è indicata con la
scrittura p(E2/E1).
Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 466
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1
Eventi indipendenti
Consideriamo il lancio di una moneta e calcoliamo la probabilità che su due lanci esca entrambe le
volte testa.
Per ogni lancio esiste una probabilità su due che venga testa.
Per calcolare la probabilità che esca due volte testa
consecutivamente dobbiamo quindi calcolare quanti
sono nel complesso i casi possibili e quanti quelli
favorevoli.
1 1 1
Nel nostro caso p E  p E1  p E2   
2 2 4
    
TEOREMA (DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA).
La probabilità di un evento E, costituito da due eventi
indipendenti E1 ed E2, si ottiene effettuando il
prodotto delle probabilità di ciascun evento. In

simboli:
pE1 
1
2
1 lancio
pE2  
1
2
2 lancio
Testa
Croce
Testa
Testa
Croce
Testa
Croce
Croce
pE   pE1 pE2 
Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 467
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1
Eventi dipendenti
Consideriamo un’urna contenente 15 palline rosse e 5 bianche e calcoliamo la probabilità di
ottenere, in due estrazioni consecutive, prima una pallina rossa poi una bianca:
• per l’evento E1 “estrazione di una pallina rossa” abbiamo
• per l’evento E2 “estrazione di una pallina bianca” abbiamo
pE1 
15 3

20 4
5
pE2  
19
 E “viene estratta prima una pallina rossa poi una
In questo caso, la probabilità dell’evento composto
bianca” è data dal prodotto
pE   pE1 pE2/ E1 
3 5 15
 
4 19 76
TEOREMA (DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA). La probabilità di un evento E, costituito da due
eventi dipendenti E1 ed E2, si ottiene moltiplicando la probabilità dell’evento E1 per la probabilità
condizionata dell’evento E2 (nell’ipotesi che il primo evento si sia verificato); in simboli:

Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 468
pE   pE1 pE2 / E1
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La probabilità frequentista
Si parla di probabilità frequentista nel caso in cui si ha a disposizione un numero molto grande di
osservazioni che avvengono sempre nelle stesse condizioni.
DEFINIZIONE. Sia n il numero di prove eseguite, tutte uguali e nelle medesime condizioni, ed f il
numero degli esiti favorevoli. La probabilità frequentista p(E) di un evento E è data dalla frequenza
relativa dell’evento, cioè dal rapporto tra f e n
f
pE  
n
In generale:

TEOREMA (LEGGE DEI GRANDI NUMERI O LEGGE EMPIRICA DEL CASO). Se sottoponiamo
un evento casuale ad un numero elevato di prove, mantenendo sempre le condizioni iniziali,
otteniamo una frequenza che si avvicina molto alla probabilità teorica; aumentando il numero di
prove, la frequenza tende a coincidere sempre più con la probabilità teorica.
Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 472
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La probabilità soggettiva
La probabilità soggettiva misura la fiducia che un individuo, basandosi su conoscenze e opinioni in
merito a una determinata situazione, ripone nell’avverarsi di un evento.
Si tratta di una scommessa la cui valutazione di esito dipende esclusivamente dal giudizio personale
di chi scommette.
Nel caso di una partita di calcio, ad esempio, un certo individuo può valutare la probabilità che si
verifichi l’evento della vittoria di una squadra sull’altra al 60%; giudica equo pagare € 60 per
riceverne in cambio 100 (guadagnandone così 40); un altro individuo potrebbe assegnare allo stesso
evento una probabilità diversa.
DEFINIZIONE. La probabilità soggettiva p(E) di un evento E è il rapporto tra il prezzo P che un
individuo è disposto a pagare e la somma S che vuole ricevere in caso si verifichi l’evento.
P
pE  
S
Area 3 - Capitolo 2 - PAG. 474

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