In analisi matematica, per studio di funzione, si intende quell’insieme di procedure che hanno lo
scopo di analizzare una funzione f(x) : R->R, al fine di determinarne alcune caratteristiche, e di
tracciarne il grafico.
INSIEME DI DEFINIZIONE
Per determinare l’insieme di definizione, o il dominio, di una funzione, si deve determinare il
sottoinsieme di numeri reali più esteso, entro il quale l’espressione che la definisce non perda di
senso.
In particolare:
1. Le funzioni fratte non esistono nei punti dove il denominatore si annulla (condizioni di
esistenza o "c.e.": se f(x)= g(x)/h(x), allora h(x) != 0 ;
2. Le funzioni sotto radice di indice pari devono essere poste maggiori o maggiori
uguali a zero, mentre quelle a indice di radice dispari esistono in tutto R (c.e.:
se
, allora
se e solo se è numero pari);
3. Le funzioni logaritmiche accettano solo un argomento strettamente maggiore di
zero (c.e.: se
, allora
);
4. Le funzioni trigonometriche, eccetto seno e coseno, non esistono in determinati
multipli di
o
allora
(c.e.: se ad esempio
,
, con
SIMMETRIE E PERIODICITA’
Si individuano le eventuali simmetrie rispetto all’asse delle ordinate e all’origine degli assi O ( 0,0 ):
1. se f(x)=f(-x), allora la funzione è simmetrica rispetto all’asse y ( pari ), basterà studiare quindi
la funzione solamente nel semiasse positivo delle ascisse, per poi ribaltare il grafico nel
semiasse negativo, facendo corrispondere ad ascisse opposte la stessa ordinata.
2. Se f (-x)=f(-x), allora la funzione è simmetrica rispetto all’origine degli assi O ( 0,0 ) (dispari),
basterà quindi studiare la funzione nel semiasse positivo delle ascisse, per poi ribaltare il
grafico di un angolo piatto nel semiasse negativo, facendo corrispondere a coordinate
opposte, ascisse opposte.
INTERSEZIONI CON GLI ASSI
In questo punto, si ricercano i punti del piano cartesiano che appartengono al grafico
della funzione.
1. Le intersezioni con l’asse delle x, sono gli zeri della funzione, cioè i punti di
coordinate ( x,0 ), dove x è soluzione dell’equazione f(x)=0.
Risolvendo l’equazione, si possono presentare i seguenti casi:
a. L’equazione non ha soluzioni, quindi il grafico non interseca l’asse delle x;
b. L’equazione presenta un numero di soluzioni finite, quindi la funzione
intersecherà l’asse delle x secondo quelle finite soluzioni;
c. L’equazione ha infinite soluzioni, perciò la funzione intersecherà l’asse delle x
in infiniti punti.
2. L’intersezione con l’asse delle y, esiste solamente se lo zero della funzione, fa parte
del dominio della funzione stessa. Nel tal caso è unica, e sarà il punto di coordinate
( 0 , f ( 0 )).
SEGNO DELLA FUNZIONE
In questo punto, si studia il segno della funzione, cioè quando la funzione è positiva o
negativa, ovvero quali siano i valori della x appartenenti al dominio tali che sia soddisfatta
la disequazione f ( x ) > 0 oppure f ( x ) < 0.
Questa operazione sarà molto utile per annerire le parti del piano cartesiano che non sono
più utilizzabili.
CONDIZIONI AGLI ESTREMI ( Calcolo Dei Limiti )
Stabilite alcune caratteristiche della funzione, si passa a studiare la funzione sulla frontiera del
dominio, in particolare si andranno a calcolare i limiti per x che tende a
a.
b.
se il dominio è illimitato inferiormente
se il dominio è illimitato superiormente
c.
se è punto di accumulazione del dominio ma non è un suo punto interno.
In alcuni casi sarà necessario limitarsi a calcolare solo il limite destro o il limite sinistro.
o INDIVIDUAZIONE ASINTOTI
Con il calcolo dei limiti si è in grado di individuare anche l'esistenza di eventuali asintoti sia
verticali, orizzontali che obliqui:
a. Asintoto verticale: è la retta di equazione
b. Asintoto orizzontale: è la retta di equazione
c. Asintoto obliquo: è la retta di equazione
seguenti proprietà:
se
se
,
,
se si verificano nell'ordine le
1.
2.
3.
o
o
o
o
o
Da notare che potranno esserci:
da zero a infiniti asintoti verticali,
da zero a due asintoti orizzontali,
da zero a due asintoti obliqui.
Si devono inoltre precisare alcune caratteristiche specifiche:
le funzioni seno e coseno non presentano alcun asintoto,
un asintoto verticale esiste solo se ci sono dei candidati asintoti nel campo d'esistenza,
ovvero se la funzione è definita su tutto il campo dei reali, non esiste alcun asintoto
verticale.
o
Inoltre, in riferimento al calcolo dell'eventuale asintoto obliquo, è opportuno sottolineare
che:
o
quando
l'asintoto obliquo non esiste e la funzione presenta una crescita sottolineare per x che
tende ad infinito (es.
o
);
quando
l'asintoto obliquo non esiste e la funzione presenta una crescita sovralineare per x che
tende ad infinito (es.
).
MONOTONIA ( Derivata Prima )
In questo punto, si calcola la derivata prima per stabilire la crescenza, la decrescenza, i punti di
massimo e di minimo e gli eventuali punti estremanti della funzione.
1. Crescenza e Decrescenza ( Andamento )
Per individuare l’andamento della funzione, si studia il segno della sua derivata prima, in modo tale
da determinare per quali valori di x essa sia positiva, negativa o nulla:
o
dove
è derivabile e
,
è strettamente crescente,
o
dove
è derivabile e
,
è strettamente decrescente,
o
dove è derivabile e
parallela all'asse ).
,
ha in x un punto stazionario (dove
ha la tangente
2. Punti Di Flesso
Se in un intorno completo di un punto stazionario x0, la funzione ha segno costante, allora la
funzione presenta in x0 un punto di flesso orizzontale, in particolare:
o
flesso ascendente orizzontale se
o
flesso discendente orizzontale se
Se in un punto x0 del dominio la derivata non è definita, ma la derivata sinistra e la derivata
destra sono infinite dello stesso segno, allora la funzione presenta, in x0, un punto di flesso
verticale, in particolare:
o
flesso ascendente verticale se
o
flesso discendente verticale se
CONCAVITA’ ( Derivata Seconda )
Si effettua poi, lo studio della derivata seconda, per valutare se esistono punti di flesso, per
verificare che la derivata si annulli, la concavità, e se i punti stazionari trovati con la
derivata prima sono massimi, minimi di funzione o punti di flesso a tangente orizzontale.
Relazione con la derivata prima:
Se
è derivabile in
:
se
allora
presenta una concavità verso l'alto in x,
se
allora
presenta una concavità verso il basso in x,
se
allora è possibile sia un punto di flesso. In questo caso occorre valutare le
derivate successive oppure il segno della derivata seconda nell'intorno del punto.
