Studio di funzione

Studio di funzione
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Copyright 2009
Pasquale Terrecuso
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Funzioni elementari
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Studio di funzione
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dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
simmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
intersezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
asintoti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Esempi di studio di funzione
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gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
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Funzioni elementari
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Funzione elementare
● Le funzioni, reali di variabile reale, di uso più comune nelle applicazioni si usano chiamare elementari.
Sono ritenute tali le seguenti funzioni:
✦ i polinomi di qualunque grado;
✦ le funzioni razionali fratte cioè quozienti di polinomi;
✦ le funzioni potenza e radice;
✦ le funzioni esponenziali e logaritmo, in qualunque base;
✦ le funzioni trigonometriche e le loro inverse;
✦ la funzione valore assoluto;
✦ le funzioni che si ottengono mediante somme, sottrazioni, prodotti, quozienti delle precedenti;
✦ le funzioni che si ottengono componendo (ove possibile) le precedenti;
✦ le funzioni che si ottengono prendendo (ove possibile, e con opportune convenzioni), le inverse
delle precedenti.
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Studio di funzione
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Studio di funzione
● Per studio di funzione si intende quella metodica che permette di determinare alcune caratteristiche
qualitative di una funzione allo scopo di tracciarne il grafico.
✦ Determinazione del dominio (continuità/discontinuità) e codominio;
✦ determinazione della parità e periodicità (simmetrie e periodicità);
✦ intersezioni con gli assi;
✦ valori sugli estremi del dominio;
✦ studio del segno della funzione;
✦ individuazione degli asintoti;
✦ studio della derivata prima (derivabilità-crescenza-decrescenza-punti stazionari);
✦ studio della derivata seconda (concavità-convessità-flessi).
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Insieme di definizione
● Per determinare l’insieme di definizione (dominio) di una funzione elementare si deve individuare il
sottoinsieme dei numeri reali più esteso entro il quale l’espressione che la definisce non perda di
significato.
✦ le funzioni fratte non esistono nei punti dove il denominatore si annulla;
✦ le funzioni sotto radice di indice pari devono essere poste maggiori o uguali a zero, mentre quelle a
indice di radice dispari esistono in tutto R;
✦ alle funzioni logaritmiche deve essere posto l’argomento strettamente maggiore di zero;
✦ le funzioni trigonometriche tranne seno e coseno non esistono in determinati multipli di π o π/2.
✦ alle funzioni arcoseno ed arcocoseno deve essere posto l’argomento compreso nell’intervallo
[−1, +1];
✦ le funzioni arcotangente ed arcocotangente sono definite su tutto R.
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Simmetrie e periodicità
● Le funzioni possono essere pari, dispari o con parità non definita. Una funzione che assume valori che si
ripetono esattamente a intervalli regolari si dirà periodica, in tal caso bisognerà individuare il periodo.
✦ Per le funzioni pari basterà costruire solo metà grafico poi farne il simmetrico rispetto all’asse delle
y (simmetria assiale). In pratica lo ribalto attorno all’asse y.
✦ Per le funzioni dispari basterà costruire solo metà grafico poi farne il simmetrico rispetto all’origine
(simmetria centrale) In pratica primo lo ribalto rispetto all’asse y ed il risultato lo ribalto ancora
attorno all’asse x.
✦ Per le funzioni periodiche basterà costruire il grafico in un periodo e poi ripeterlo su tutto l’asse
reale.
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Intersezioni con gli assi
● intersezioni con l’asse x:
✦ sono i punti di coordinate (x, 0) dove x è soluzione dell’equazione f (x) = 0. Semplicemente basta
sostituire alla y il valore 0. Può capitare che:
✦ l’equazione potrebbe non avere soluzioni, e in questo caso la funzione non ha intersezione con
l’asse x;
✦ potrebbe avere una o più soluzioni, ma comunque un numero finito di soluzioni (e quindi un
numero finito di punti di intersezione);
✦ ma potrebbe anche averne infinite.
● intersezione con l’asse y:
✦ l’intersezione con l’asse y esiste solamente se lo 0 appartiene al dominio della funzione, nel qual
caso questa intersezione è unica per definizione stessa di funzione, e sarà il punto di coordinate
(0, f (0)).
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Segno della funzione
● studiare il segno della funzione significa chiedersi:
✦ quando la funzione è positiva, cioè il suo grafico si situa sopra l’asse x;
✦ quando la funzione è negativa, cioè il suo grafico si situa sotto dell’asse x;
✦ quando la funzione si annulla, cioè il suo grafico attraversa l’asse x.
● In altre parole ci si chiede:
✦ quali sono i valori della x appartenenti al dominio tali che sia soddisfatta la disequazione f (x) > 0
✦ quali, invece, siano tali che sia soddisfatta la f (x) < 0
✦ e quali sono i valori della x appartenenti al dominio tali che sia soddisfatta l’equazione f (x) = 0
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Individuazione degli asintoti
● Con il calcolo dei limiti si individuano gli eventuali asintoti sia verticali, orizzontali che obliqui:
✦ asintoto verticale, cioè la retta di equazione x = x0
lim f (x) = ∞
se
x→x0
✦ asintoto orizzontale, cioè la retta di equazione y = l
lim f (x) = l
se
x→±∞
✦ asintoto obliquo, cioè la retta di equazione y = mx + q se si verifica:
lim f (x) = ±∞,
x→±∞
f (x)
= m; con m 6= ±∞, e con m 6= 0
x→±∞ x
lim (f (x) − mx) = q .
lim
x→±∞
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Sugli asintoti...
● Si osservi che vi possono essere
✦ da zero a infiniti asintoti verticali,
✦ da zero a due asintoti orizzontali,
✦ da zero a due asintoti obliqui.
● Inoltre accade che
✦ funzioni periodiche come il seno e coseno non presentano alcun asintoto,
✦ una funzione che ammette asintoti orizzontali, non ammette quelli obliqui e viceversa,
mentre non c’è alcuna restrizione per gli asintoti verticali,
✦ una funzione definita su tutto R, non ammette asintoto verticale.
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Esempi di studio di funzione
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Studio della gaussiana.
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Studiamo la funzione
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y = e−x
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Studio di una particolare esponenziale.
⋆ Studiamo la funzione
y = xx
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