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Analisi
Classe quinta
STUDIO COMPLETO
DI UNA FUNZIONE ALGEBRICA RAZIONALE FRATTA OMOGRAFICA
Esempio:
y
3x  6
x1
1) Classificazione e C.E.: Funzione algebrica razionale fratta di secondo grado (omografica),
C.E.: x    1 .
2) Simmetrie :
Non è simmetrica sia rispetto all’asse y che rispetto all’origine degli assi.
3) Studio del segno : Si pone:
3x  6
 0 ossia: N(x) : 3x  6  0  x  2
x1
La funzione è positiva per x  1; x 
esiste per x  1 .
D( x) : x  1  0  x  1
2 , è negativa per 1  x  2 , è nulla per
x  2 , non
4) Intersezione con gli assi cartesiani :
3x  6

y 
x 
x  1  A2;0
y  0
3x  6

y 
y 
x  1  B0;6
x  0
5) Asintoti :
La funzione ha due asintoti: uno verticale ed uno orizzontale, infatti:
sapendo che lim x1
dell’asintoto verticale.
3x  6
3x  6
  e lim x1
  allora x  1 è l’equazione
x1
x1

3x  6 
 , forma d’indecisione, quindi per poter calcolare il limite si può
x1 
3x  6 H
3
applicare il Teorema di De L’Hôpital, pertanto, si ottiene: lim x
 lim x  3 ,
x1
1
analogamente si ha per x   , allora y  3 è l’equazione dell’asintoto orizzontale.
Inoltre, lim x 
6) Crescenza o decrescenza :
Calcolando la derivata prima si ha: y  
3( x  1)  ( 3x  6)
3
, studiando il segno

2
x  1
x  12
della derivata prima si ottiene: N( x) : 3  0  sempre, D( x ) : x  1  0  sempre in
2
C.E., pertanto, essendo la derivata prima sempre positiva nel suo dominio, la funzione data è
sempre crescente, quindi non possono esistere massimi, minimi relativi e punti di flesso a
tangente orizzontale.
PROF. MAURO LA BARBERA
“Studio di una funzione omografica”
1
7) Concavità e convessità :
Calcolando la derivata seconda si ha:
y  
 3( 2x  2)
6( x  1)
6
,


4
4
x  1
x  1
x  13
studiando il segno della derivata seconda della funzione si ottiene: N( x) : 6  0  sempre,
D( x) : x  1  0  x  1  0  x  1 , pertanto, per x  1 la derivata seconda è
3
negativa, quindi la funzione data è concava verso il basso, mentre per x  1 la derivata seconda
è positiva quindi la funzione data è concava verso l’alto, pertanto, non possono esistere punti di
flesso a tangente obliqua.
8) Grafico :
-12 -11 -10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
0
1
Osservazioni:
 Si chiama funzione omografica la funzione y 
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ax  b
con a, b, c e d costanti reali.
cx  d
 In una funzione omografica per determinare sia l’asintoto verticale che l’asintoto orizzontale
si possono utilizzare le seguenti formule:
asintoto verticale: x  
d
a
, asintoto orizzontale: y  .
c
c
 La funzione omografica è simmetrica nel punto d’intersezione dei suoi asintoti, inoltre,
 d a
;  essa assume la
 c c
mediante la traslazione che porta il punto O(0;0) nel punto O  
forma dell’iperbole equilatera avente come nuovo sistema di assi cartesiani i suoi asintoti.
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“Studio di una funzione omografica”
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