Studio di funzione

Studio di funzione
Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le
proprietà di una funzione f ( x ) : R → R allo scopo di determinarne le caratteristiche principali. Al
termine di uno studio di funzione (svolto correttamente) i dati raccolti permetteranno di tracciare un
grafico approssimativo della funzione.
I dati principali da raccogliere sono:
passaggio per punti particolari (intersezione degli assi, punti di massimo/minimo, punti di
flesso)
comportamento (segno, crescenza/decrescenze, concavità)
limiti (asintoti e comportamenti asintotici)
Schema operativo per svolgere lo studio di funzione
1. Dominio
La prima operazione che si deve svolgere consiste nel determinare l'insieme di definizione (il
dominio appunto) della funzione assegnata. (si deve individuare il sottoinsieme dei numeri reali più
esteso entro il quale l'espressione che la definisce non perda di senso).
Si deve porre attenzione alle seguenti situazioni:
funzioni fratte: si devono eliminare quei punti in cui il denominatore si annulla;
funzioni irrazionali di indice pari: si devono considerare quei valori per i quali l’argomento
assume valori maggiori o uguali a zero;
funzioni logaritmiche: si devono considerare quei valori per i quali l’argomento assume
valori maggiori di zero;
funzioni trigonometriche: soltanto seno e cose non presentano problemi di dominio, per le
altre funzioni si devono escludere i valori per i quali esse non sono definite.
2. Intersezioni con gli assi
La seconda operazione da svolgere è l’individuazione di eventuali punti in cui la funzione interseca
gli assi coordinati.
Per determinarle si procede come segue:
Intersezioni con l'asse x: sono i punti del tipo x ( x;0) dove x è soluzione dell'equazione f ( x ) = 0
essi si ottengono ponendo a sistema l’equazione della funzione con l’equazione dell’asse delle x
y = 0 , cioè:
 y = f (x )

y = 0
Osservazioni
Si possono presentare i seguenti casi
l'equazione non ha soluzioni, in questo caso la funzione non ha intersezioni con l'asse x;
l’equazione ha una o più soluzioni, ma comunque un numero finito di soluzioni (e quindi un
numero finito di punti di intersezione);
l’equazione ha infinite soluzioni (come nel caso delle funzioni goniometriche).
Intersezione con l'asse y: l'intersezione con l'asse y esiste solamente se 0 appartiene al dominio
della funzione, in caso affermativo l’intersezione è unica (per definizione stessa di una funzione) e
si ottiene calcolando il valore della funzione in corrispondenza di zero, essa sarà il punto di
coordinate (0; f (0)) .
3. Segno della funzione
Il passo successivo è quello di studiare il segno della funzione, cioè si vuole determinare gli
intervalli per i quali la funzione è positiva (cioè il suo grafico è sopra l'asse x) o negativa (al di
sotto dell'asse x). Si vogliono determinare quali siano i valori per la variabile x per cui sia
soddisfatta la disequazione f ( x ) ≥ 0 e per considerazioni complementari quali siano gli altri valori
per cui f(x) < 0.
Per utilizzare tale risultato è estremamente utile cancellare nel piano cartesiano tutte le sezioni in
cui il grafico della funzione non può passare, ad esempio se nell'intervallo [a; b] la funzione
risultasse positiva si cancellerà la sezione del piano sotto l'asse x compresa fra a e b.
4. Calcolo dei limiti
Una volta stabilito il dominio caratteristico della funzione, si deve studiare il comportamento della
funzione stessa in corrispondenza di quei punti critici in cui la funzione non risulta essere definita
(essi sono i punti della frontiera del dominio esclusi dal dominio della funzione stessa).
Asintoti verticali
Dato un punto x0 non appartenente al dominio (cioè un punto escluso dal dominio in
corrispondenza del quale si verifica una situazione di disuguaglianza stretta cioè x0 > x oppure
x0 < x o di esclusione del tipo x ≠ x0 ) viene definito punto di accumulazione del dominio ed esso
non è un suo punto interno al’insieme di definizione. Per tali punti si deve studiare il
comportamento della funzione in un intorno di tali valori. In alcuni casi inoltre sarà necessario (e
possibile) calcolare solo il limite destro o il limite sinistro.
Il calcolo dei limiti permette di verificare la continuità di una funzione o di valutarne le
discontinuità.
Asintoti orizzontali e obliqui
Il calcolo del limite per x → ±∞ serve per avere delle informazioni riguardo il comportamento della
funzione per valori infiniti.
A riguardo vi sono tre possibilità:
la funzione tende ad infinito asintoticamente ad una retta orizzontale del tipo y = k ;
la funzione tende ad infinito asintoticamente ad una obliqua retta del tipo y = mx + q ;
la funzione tende ad infinito genericamente e non è asintotica ad alcuna retta.
Osservazioni
Asintoto verticale: è una retta verticale di equazione x = x0 dove il valore x0 si ricava dall’analisi
del limite in corrispondenza di punti critici x0 per i quali risulta lim f ( x ) = ±∞ ,
x →c
per avere asintoto verticale i corrispondenza di un valore x0 deve essere che
almeno uno dei due limiti,destro sinistro, siano infiniti.
Asintoto orizzontale: è una retta orizzontale di equazione y = c dove il valore c è un valore finito
che si ricava dall’analisi del limite per x → ±∞ , cioè
lim f ( x ) = c ∈ R .
x→±∞
Potrebbe essere che l’asintoto orizzontale sinistro (cioè quello per x → −∞ )
sia diverso dall’asintoto orizzontale destro (cioè quello per x → +∞ ).
Asintoto obliquo: è una retta di equazione y = mx + q che si determina come già illustrato in
precedenza.
Per determinare l’esistenza dell’asintoto obliquo possiamo riconsiderare il seguente schema:
¬∃ Asintoto Obliquo
±∞

f (x ) 
m = lim
=
0
x →∞ m
∈ ]− ∞;0[ ∪ ]0;+∞[

¬∃ Asintoto Obliquo
± ∞
m = lim[ f ( x ) − mx] = 
x →∞
 R
¬∃ Asintoto Obliquo
∃ Asintoto Obliquo
Soltanto alla fine del processo illustrato possiamo concludere l’esistenza dell’asintoto obliquo, in
tutti gli altri casi l’asintoto obliquo non esiste e la funzione tende ad infinito in maniera generica.
Osservazioni
Si devono inoltre precisare alcune caratteristiche specifiche:
le funzioni seno e coseno non presentano alcun asintoto(esse non hanno punti di
discontinuità e inoltre hanno dominio periodico e limitato),
una funzione che ammette asintoti orizzontali, non ammette quelli obliqui e viceversa,
mentre non c'è alcuna restrizione per gli asintoti verticali,
Un asintoto verticale esiste solo se ci sono eventuali punti di criticità per il campo
d'esistenza.
5. Derivata prima
Il calcolo della derivata prima della funzione serve per studiare la crescenza e stabilire l'esistenza di
eventuali punti stazionari, cioè punti di massimo o di minimo che è possibile individuare tramite lo
studio del segno della derivata.
Si dovrà studiare pertanto il segno della derivata prima in modo da individuare per quali valori di x
essa è positiva, negativa o nulla.
dove f è derivabile e f ′( x ) > 0 , f è crescente;
dove f è derivabile e f ′( x ) < 0 , f è decrescente;
dove f è derivabile e f ′( x ) = 0 , f ha nel punto x un massimo relativo o un minimo relativo
se il segno della derivata prima e dopo il punto x (cioè in un suo intorno) è discorde.
Gli eventuali punti in cui la derivata prima non fosse definita rispetto al dominio della funzione
assegnata rappresentano dei valori in cui si deve studiare il comportamento della derivata stessa
tramite il calcolo del limite per tali valori, il cui risultato indica il comportamento locale (cioè il
coefficiente angolare della retta tangente in quel punto della funzione, in altre parole la direzione
del grafico della funzione in un intorno del punto considerato).
Si definisce un punto di flesso a tangente orizzontale, se il valore della derivata in corrispondenza
dei punti di non derivabilità è nullo (retta orizzontale).
Si definisce un punto di flesso a tangente verticale, se il valore della derivata in corrispondenza dei
punti di non derivabilità è infinito (retta verticale diretta verso l’alto se il limite vale + ∞ , diretta
verso il basso se il limite vale − ∞ ).
6. Derivata seconda
Infine si studia la derivata seconda in modo da valutare se esistono punti di flesso (punti dove la
derivata seconda si annulla) e valutare, quindi, grazie alla possibilità che essa ci dà di studiare la
concavità, se i punti stazionari trovati con la derivata prima sono massimi, minimi di funzione.
Relazione tra segno della derivata seconda e funzione:
se f ′′( x ) > 0 allora f presenta una concavità verso l'alto in x;
se f ′′( x ) < 0 allora f presenta una concavità verso il basso in x;
se f ′′( x ) = 0 allora x è un punto di flesso.
Per avere più informazioni possibili per poter tracciare il grafico di una funzione si possono
calcolare i punti di:
massimo e minimo (come conseguenza dello studio della derivata prima)
i punti di flesso (come conseguenza dello studio della derivata seconda)
intersezioni tra funzione e asintoti orizzontali oppure obliqui per determinare se il grafico
della funzione starà sempre sopra o sotto tali rette o le intersecherà in qualche punto ed
avere una maggiore chiarezza sul comportamento della funzione.
Eventuali simmetrie e periodicità
Si possono studiare anche eventuali simmetrie e periodicità della funzione che, se individuate,
semplificano lo studio della funzione come:
funzioni pari, cioè se f (− x ) = f ( x ) funzione simmetrica rispetto l’asse y;
funzioni dispari cioè se f (− x ) = − f ( x ) funzione simmetrica rispetto l’origine degli assi.
funzione periodica, la si studia all’interno di un periodo, le considerazione fatte poi per
periodicità si estendono lungo tutto l’asse reale.
Tracciare il grafico di una funzione
Per tracciare il grafico di una funzione possiamo procedere come segue.
si tracciano eventuali asintoti verticali (rette verticali tratteggiate)
si tracciano le intersezioni con gli assi
si traccia la positività, separando le sezioni di piano che separano le parti in cui la funzione è
positiva dalle parti in cui la funzione è negativa con rette verticali continue (nel caso in cui
una di esse coincida con un asintoto, la retta verticale va tratteggiata poiché l’asintoto è
legato al significato di esistenza della funzione che è una condizione più forte della
positività),
si tracciano gli eventuali asintoti orizzontali, obliqui
in corrispondenza di eventuali asintoti verticali si traccia un trattino che rappresenta
l’andamento della funzione in un intorno dei valori considerati;
in corrispondenza di eventuali asintoti orizzontali oppure obliqui si traccia un trattino che
rappresenta l’andamento della funzione all’infinito;
se la funzione non ha asintoti orizzontali oppure obliqui si traccia un trattino all’infinito in
maniera generica che sta ad indicare proprio che la funzione va all’infinito in maniera non
asintotica ma generica;
si tracciano gli eventuali punti di massimo, di minimo e di flesso sul grafico, punti per i
quali il grafico della funzione deve passare;
leggendo il segno della derivata prima, cioè la crescenza e la decrescenza della funzione,
partendo dall’estremo a sinistra per i valori del dominio, si uniscono i punti e i
comportamenti asintotici individuati nel piano cartesiano con il procedimento illustrato nei
punti precedenti
si traccia il grafico unendo tra loro i comportamenti partendo da estremi a sinistra con gli
eventuali successivi punti di massimo, minimo o asintoti.
nel raccordare i punti degli intervalli così individuati si deve tener conto della concavità (e
delle eventuali posizione tra grafico e asintoti orizzontai e obliqui).